【数学】2019届一轮复习人教B版（文）第2章第1节函数及其表示学案
第一节函数及其表示
1．函数与映射的概念
函数
映射
两集合
A，B
设A，B是非空的数集
设A，B是非空的集合
对应
关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B是一个映射
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然有几部分组成，但它表示的是一个函数．
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于函数f：A→B，其值域是集合B.( )
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( )
(3)函数是一种特殊的映射．( )
(4)若A＝R，B＝(0，＋∞)，f：x→y＝|x|，则对应f可看作从A到B的映射．( )
(5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
2．函数f(x)＝＋的定义域为( )
A．[0,2) B．(2，＋∞)
C．[0,2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
解析：选C 由题意得解得x≥0且x≠2.
3．下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是( )
A．y＝()2 B．y＝＋1
C．y＝＋1 D．y＝＋1
解析：选B 对于A，函数y＝()2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；对于C，函数y＝＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数，故选B.
4．下列图形中可以表示为以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是( )
解析：选C A选项，函数定义域为M，但值域不是N，B选项，函数定义域不是M，值域为N，D选项，集合M中存在x与集合N中的两个y对应，不能构成函数关系．故选C.
5．设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝________.
解析：若a≥0，则＋1＝2，得a＝1；
若a<0，则＋1＝2，得a＝－1.
故a＝±1.
答案：±1
6．已知f＝x2＋5x，则f(x)＝________.
解析：令t＝，则x＝(t≠0)，即f(t)＝＋，
∴f(x)＝(x≠0)．
答案：(x≠0)
[考什么·怎么考]
求函数定义域主要有两种类型，一种是具体函数求定义域，即结合分式、根式及对数式等考查自变量的取值；另一种是抽象函数定义域的求解.常以选择题形式考查，属于基础题.
考法(一) 已知函数解析式求定义域
1．(2018·石家庄模拟)函数y＝ln(2－x)的定义域为( )
A．(0,2) B．[0,2)
C．(0,1] D．[0,2]
解析：选B 由题意知，x≥0且2－x>0，解得0≤x＜2，故其定义域是[0,2)．
2．(2018·济南模拟)函数f(x)＝的定义域为________________．
解析：要使函数f(x)有意义，则(log2x)2－1>0，即log2x>1或log2x<－1，解得x>2或0
0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R；
(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)；
(7)y＝tan x的定义域为.
函数的解析式是函数的基础知识，高考中重视对待定系数法、换元法、利用函数性质求解析式的考查.题目难度不大，常以选择题、填空题的形式出现.
[典题领悟]
(1)已知f＝x2＋，求函数f(x)的解析式．
(2)已知f＝lg x，求f(x)的解析式．
(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．
(4)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．
解：(1)由于f＝x2＋＝2－2，
所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，
故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(2)令＋1＝t，得x＝，
代入得f(t)＝lg，
又x>0，所以t>1，
故f(x)的解析式是f(x)＝lg，x∈(1，＋∞)．
(3)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以解得a＝b＝.
所以f(x)＝x2＋x，x∈R.
(4)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①
得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②
①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x.
即f(x)＝.
故f(x)的解析式是f(x)＝.
[解题师说]
1．依题型准确选用4种方法速求函数解析式
题型
方法
步骤
已知函数f(g(x))＝F(x)求解析式
配凑法
将右边的F(x)整理或配凑成关于g(x)的表达式，然后用x将g(x)代换，便得f(x)的解析式．(如典题领悟(1))
已知复合函数f(g(x))＝F(x)求解析式
换元法
令g(x)＝t，从中解出x(用t表示)，代入F(x)进行换元后，得到f(t)，再将t换成x，便得f(x
)的解析式．(如典题领悟(2))
已知函数类型(如一次函数，二次函数)求解析式
待定系数法
先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的系数．(如典题领悟(3))
求抽象函数解析式(已知函数的抽象关系式求解函数解析式的问题)
解方程组法
已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)的解析式．(如典题领悟(4))
2．谨防求函数解析式的2种失误
(1)在求函数解析式时，一定要注意自变量的范围，也就是定义域问题．求出解析式后要标注x的取值范围．(如典题领悟第1题、第2题)
(2)利用换元法求解析式时要注意新元的取值范围．
如已知f()＝x＋1，求函数f(x)的解析式，可通过换元的方法得f(x)＝x2＋1，函数f(x)的定义域是[0，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)．
[冲关演练]
1．(尝试用换元法解题)
如果f＝，则当x≠0且x≠1时，f(x)等于( )
A. B.
C. D.－1
解析：选B 令＝t，得x＝(t≠0且t≠1)，
∴f(t)＝＝(t≠0且t≠1)，
∴f(x)＝(x≠0且x≠1)．
2．(尝试用待定系数法解题)
如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )
A．y＝x3－x2－x B．y＝x3＋x2－3x
C．y＝x3－x D．y＝x3＋x2－2x
解析：选A 设所求函数解析式为f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，
则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)，
由题意知解得
∴f(x)＝x3－x2－x.
3．(尝试用配凑法解题)
已知f＝＋，则f(x)＝( )
A．(x＋1)2 B．(x－1)2
C．x2－x＋1 D．x2＋x＋1
解析：选C f＝＋＝2－＋1，
所以f(x)＝x2－x＋1.
4．(尝试用解方程组法解题)
已知f(x)满足2f(x)＋f＝3x，则f(x)＝________.
解析：∵2f(x)＋f＝3x，①
把①中的x换成，得2f＋f(x)＝.②
联立①②可得
解此方程组可得f(x)＝2x－(x≠0)．
答案：2x－(x≠0)
分段函数作为考查函数知识的最佳载体，一直是高考命题的热点，解题过程中常渗透分类讨论的数学思想，试题常以选择题、填空题的形式出现，难度一般.,常见的命题角度有：,(1)求值问题；,(2)求参数或自变量的值(或范围).
[题点全练]
角度(一) 求值问题
1．已知函数f(x)＝则f的值为( )
A．－1 B．1
C. D.
解析：选B 依题意得f＝f＋1＝f＋1＋1＝2cos＋2＝2×＋2＝1.
[题型技法] 求分段函数的函数值的方法
求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值；当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．
角度(二) 求参数或自变量的值(或范围)
2．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f>1的x的取值范围是________．
解析：由题意知，可对不等式分x≤0,0讨论．
当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋>1，解得x>－，
∴－1，显然成立．
当x>时，原不等式为2x＋2x－>1，显然成立．
综上可知，所求x的取值范围是.
答案：
[题型技法]
求分段函数的参数或自变量的值(或范围)的方法
求某条件下参数或自变量的值(或范围)，先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值或范围，切记代入检验，看所求的自变量的值或范围是否满足相应各段自变量的取值范围．
[题“根”探求]
看个性
角度(一)是求分段函数的函数值；
角度(二)是在角度(一)的基础上迁移考查分段函数已知函数值或范围求参数或自变量的值或范围
找共性
(1)无论角度(一)还是角度(二)都要根据自变量或参数所在区间来解决问题，搞清参数或自变量所在区间是解决问题的先决条件；
(2)解决分段函数有关问题的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段范围，就用这一段的解析式来解决问题
[冲关演练]
1．已知f(x)＝且f(0)＝2，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝( )
A．－2 B．2
C．3 D．－3
解析：选B 由题意得f(0)＝a0＋b＝1＋b＝2，解得b＝1；
f(－1)＝a－1＋b＝a－1＋1＝3，解得a＝.
故f(－3)＝－3＋1＝9，
从而f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2.
2．设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是( )
A. B．(1，＋∞)
C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
解析：选C 若a<0，则f(a)<1⇔a－7<1⇔a<8，解得a>－3，故－3f(1)的解集是( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
解析：选A 由已知得f(1)＝3，
当x≥0时，由f(x)>f(1)得x2－4x＋6>3，
解得0≤x<1或x>3.
当x<0时，由f(x)>f(1)得x＋6>3，
解得－3f(1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．
(一)普通高中适用
A级——基础小题练熟练快
1．下列所给图象是函数图象的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B ①中当x＞0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．
2．(2018·濮阳检测)函数f(x)＝log2(1－2x)＋的定义域为( )
A. B.
C．(－1,0)∪ D．(－∞，－1)∪
解析：选D 由1－2x＞0，且x＋1≠0，得x＜且x≠－1，所以函数f(x)＝log2(1－2x)＋的定义域为(－∞，－1)∪.
3．已知f＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A 令t＝x－1，则x＝2t＋2，f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，则4a－1＝6，解得a＝.
4．已知f(x)＝则f＋ f的值等于( )
A．－2 B．4
C．2 D．－4
解析：选B 由题意得f＝2×＝，
f＝f＝f＝2×＝，
所以f＋f＝4.
5．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为( )
A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x
C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x
解析：选B 设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，
∴解得∴g(x)＝3x2－2x.
6．已知函数f(x)＝且f(x0)＝1，则x0＝( )
A．0 B．4
C．0或4 D．1或3
解析：选C 当x0≤1时，由f(x0)＝2x0＝1，得x0＝0(满足x0≤1)；当x0＞1时，由f(x0)＝log3(x0－1)＝1，得x0－1＝3，则x0＝4 (满足x0＞1)，故选C.
7．函数f(x)＝ln(x＋1)＋(x－2)0的定义域为________．
解析：要使函数有意义，需满足解得x＞－1且x≠2，所以该函数的定义域为(－1,2)∪(2，＋∞)．
答案：(－1,2)∪(2，＋∞)
8．设函数f(x)＝则f(f(2))＝________，函数f(x)的值域是________．
解析：∵f(2)＝，∴f(f(2))＝f＝－－2＝－.
当x>1时，f(x)∈(0,1)，当x≤1时，f(x)∈[－3，＋∞)，
∴f(x)∈[－3，＋∞)．
答案：－ [－3，＋∞)
9．(2018·张掖一诊)已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于________．
解析：∵f(1)＝2＞0，且f(1)＋f(a)＝0，∴f(a)＝－2＜0，故a≤0.依题知a＋1＝－2，解得a＝－3.
答案：－3
10．已知函数f(x)＝若f(f(1))>3a2，则a的取值范围是________．
解析：由题知，f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝9＋6a，
若f(f(1))>3a2，则9＋6a>3a2，即a2－2a－3<0，
解得－10，得t>1或t<－3，因为t≥－3，所以t>1，即f(t)＝lg的定义域为(1，＋∞)，故函数f(x)的定义域为(1，＋∞)．
答案：(1，＋∞)
6．设函数f(x)＝且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)在如图所示的直角坐标系中画出f(x)的图象．
解：(1)由f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)，得
解得所以f(x)＝
(2)函数f(x)的图象如图所示．
7.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系：y＝＋mx＋n(m，n是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)的关系图．
(1)求出y关于x的函数解析式；
(2)如果要求刹车距离不超过25.2 m，求行驶的最大速度．
解：(1)由题意及函数图象，得
解得m＝，n＝0，所以y＝＋(x≥0)．
(2)令＋≤25.2，得－72≤x≤70.
∵x≥0，∴0≤x≤70.故行驶的最大速度是70 km/h.
C级——重难题目自主选做
1．(2017·山东高考)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选C 当0＜a＜1时，a＋1＞1，f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，
∵f(a)＝f(a＋1)，∴＝2a，
解得a＝或a＝0(舍去)．
∴f＝f(4)＝2×(4－1)＝6.
当a≥1时，a＋1≥2，
∴f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，
∴2(a－1)＝2a，无解．
综上，f＝6.
2．已知f是有序数对集合M＝{(x，y)|x∈N*，y∈N*}上的一个映射，正整数数对(x，y
)在映射f下的象为实数 ，记作f(x，y)＝ .对于任意的正整数m，n(m＞n)，映射f由下表给出：
(x，y)
(n，n)
(m，n)
(n，m)
f(x，y)
n
m－n
m＋n
则f(3,5)＝________，使不等式f(2x，x)≤4成立的x的集合是________．
解析：由题表得f(x，y)＝可知f(3,5)＝5＋3＝8.
∵∀x∈N*，都有2x＞x，∴f(2x，x)＝2x－x，
则f(2x，x)≤4⇔2x－x≤4(x∈N*)⇔2x≤x＋4(x∈N*)，
当x＝1时，2x＝2，x＋4＝5,2x≤x＋4成立；
当x＝2时，2x＝4，x＋4＝6,2x≤x＋4成立；
当x≥3(x∈N*)时，2x＞x＋4.
故满足条件的x的集合是{1,2}．
答案：8 {1,2}
(二)重点高中适用
A级——保分题目巧做快做
1.下列所给图象是函数图象的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B ①中当x＞0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，②中当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．
2.(2018·濮阳一高第二次检测)函数f(x)＝log2(1－2x)＋的定义域为( )
A. B.
C．(－1,0)∪ D．(－∞，－1)∪
解析：选D 由1－2x＞0，且x＋1≠0，得x＜且x≠－1，所以函数f(x)＝log2(1－2x)＋的定义域为(－∞，－1)∪.
3．已知f＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选A 令t＝x－1，则x＝2t＋2，f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，则4a－1＝6，解得a＝.
4．(2018·石家庄质检)设函数f(x)＝若f＝2，则实数n的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析：选D 因为f＝2×＋n＝＋n，
当＋n＜1，即n＜－时，
f＝2＋n＝2，
解得n＝－，不符合题意；当＋n≥1，即n≥－时，
f＝log2＝2，即＋n＝4，
解得n＝，符合题意，故选D.
5．(2017·山东高考)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选C 当0＜a＜1时，a＋1＞1，f(a)＝，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，∵f(a)＝f(a＋1)，∴＝2a，
解得a＝或a＝0(舍去)．
∴f＝f(4)＝2×(4－1)＝6.
当a≥1时，a＋1≥2，
∴f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，
∴2(a－1)＝2a，无解．
综上，f＝6.
6.(2018·西安八校联考)已知函数f(x)＝则f(f(4))＝________.
解析：依题意得f(4)＝log4＝－2，
所以f(f(4))＝f(－2)＝2－2＝.
答案：
7.函数f(x)＝的定义域为________．
解析：要使原函数有意义，则
解得0＜x＜2，且x≠1.
所以函数f(x)＝的定义域为(0,1)∪(1,2)．
答案：(0,1)∪(1,2)
8.已知函数f(x)＝若f(f(1))>3a2，则a的取值范围是________．
解析：由题知，f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝9＋6a，
若f(f(1))>3a2，则9＋6a>3a2，即a2－2a－3<0，
解得－1时，y＝2×4×1.8＋3(5x－4)＋3(3x－4)＝24x－9.6，
所以y＝
(2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增，
当x∈时，y≤f＜26.4；
当x∈时，y≤f＜26.4；
当x∈时，令24x－9.6＝26.4，
解得x＝1.5.
所以甲户用水量为5x＝7.5吨，
所交水费为y甲＝4×1.80＋3.5×3.00＝17.70(元)；
乙户用水量为3x＝4.5吨，
所交水费y乙＝4×1.80＋0.5×3.00＝8.70(元)．
6.已知x为实数，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.2]＝1，[－1.2]＝－2，[1]＝1.对于函数f(x)，若存在m∈R且m∉ ，使得f(m)＝f([m])，则称函数f(x)是Ω函数．
(1)判断函数f(x)＝x2－x，g(x)＝sin πx是否是Ω函数(只需写出结论)；
(2)已知f(x)＝x＋，请写出a的一个值，使得f(x)为Ω函数，并给出证明．
解：(1)f(x)＝x2－x是Ω函数，g(x)＝sin πx不是Ω函数．
(2)法一：取k＝1，a＝∈(1,2)，则令[m]＝1，m＝＝，此时f＝f＝f(1)，
所以f(x)是Ω函数．
证明：设k∈N*，取a∈(k2，k2＋k)，令[m]＝k，m＝，则一定有m－[m]＝－k＝∈(0,1)，且f(m)＝f([m])，所以f(x)是Ω函数．
法二：取k＝1，a＝∈(0,1)，则令[m]＝－1，m＝－，此时f＝f＝f(－1)，
所以f(x)是Ω函数．
证明：设k∈N*，取a∈(k2－k，k2)，令[m]＝－k，m＝－，则一定有m－[m]＝－－(－k)＝∈(0,1)，且f(m)＝f([m])，所以f(x)是Ω函数．
