陕西省商洛市2020届高三上学期期末考试教学质量检测数学（理）试题

陕西省商洛市2020届高三上学期期末考试教学质量检测数学（理）试题

商洛市2019-2020学年度第一学期期末教学质量检测 高三数学试卷（理科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出集合、，然后利用交集的定义可得出集合.‎ ‎【详解】或，，‎ 因此，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查交集的运算，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2.（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法和加法法则可计算出所求复数.‎ ‎【详解】.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法与加法计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3.某地有两个国家AAAA级旅游景区——甲景区和乙景区.相关部门统计了这两个景区2019年1月至6月的月客流量（单位：百人），得到如图所示的茎叶图.关于2019年1月至6月这两个景区的月客流量，以下结论错误的是（ ）‎ A. 甲景区月客流量的中位数为12950人 B. 乙景区月客流量的中位数为12450人 C. 甲景区月客流量的极差为3200人 D. 乙景区月客流量的极差为3100人 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别计算甲乙景区流量的中位数和极差得到答案.‎ ‎【详解】根据茎叶图的数据：‎ 甲景区月客流量的中位数为12950人，乙景区月客流量的中位数为12450人.‎ 甲景区月客流量的极差为3200人，乙景区月客流量的极差为3000人.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了茎叶图中位数和极差的计算，意在考查学生的应用能力.‎ ‎4.若，满足约束条件且，则（ ）‎ A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出约束条件对应的可行域，然后利用平移直线法求解出对应的最值，注意根据截距判断最值是否存在.‎ ‎【详解】作出约束条件表示的可行域如下图，‎ 因为，所以，所以，‎ 由图可知，当直线经过点时，‎ 此时直线的截距最小，取得最小值，无最大值.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查根据约束条件求解目标函数的最值，难度较易.采用平移直线法求解线性目标函数的最值，将目标函数的最值与直线的截距联系在一起.‎ ‎5.已知两个单位向量、的夹角为，向量，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量数量积的运算律计算出的值，即可计算出的值.‎ ‎【详解】，因此，.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量模的计算，同时也考查了向量数量积的运算律，在计算平面向量模时，一般将模平方，利用平面向量数量积的运算律来计算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎6.已知，是两个不同的平面，，，是两条不同的直线，且，，‎ ‎，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据面面垂直的性质分别判断充分性和必要性得到答案.‎ ‎【详解】若，则根据面面垂直的性质定理可得；若，则由，可得.‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查了充要条件，理解把握面面垂直的性质是解题的关键.‎ ‎7.在等比数列中，，则的前项和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等比数列的公比为，根据题意得出关于和的方程组，解出这两个量，然后利用等比数列的求和公式可计算出数列的前项和.‎ ‎【详解】设等比数列的公比为，则，解得，‎ 因此，数列的前项和为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列求和，解题的关键就是求出等比数列的首项和公比，一般利用方程思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎8.若函数在上为减函数，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得出在区间上恒成立，分析函数的单调性，得出该函数的最大值，可得出关于实数的不等式，解出即可.‎ ‎【详解】，.‎ 由于函数在上为减函数，则不等式在区间上恒成立，且函数在区间上单调递增，‎ 所以，，解得.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数的取值范围，一般转化为导数不等式在区间上恒成立来求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.‎ ‎9.已知函数的图象如图所示，则函数的单调递增区间为（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复合函数的单调性结合图形找出使得函数单调递减以及满足的对应的取值范围即可.‎ ‎【详解】因为在上为减函数，所以只要求的单调递减区间，且.‎ 由图可知，使得函数单调递减且满足的的取值范围是.‎ 因此，函数的单调递增区间为、.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查对数型复合函数单调区间的求解，在利用复合函数法得出内层函数的单调区间时，还应注意真数要恒大于零.‎ ‎10.已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用辅助角公式将函数的解析式化简为，根据题意得出，可得出关于的表达式，即可求出正数的最小值.‎ ‎【详解】，‎ 由于该函数的图象关于直线对称，则，‎ 得，‎ ‎，当时，取得最小值.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，解题时要将三角函数的解析式利用三角恒等变换思想化简，并通过对称性列出参数的表达式求解，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎11.已知正四棱柱的每个顶点都在球的球面上，若球的表面积为，则该四棱柱的侧面积的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出球的半径为，可得出，设正四棱柱的底面边长为，高为，可得出，然后利用基本不等式可得出该四棱柱侧面积的最大值.‎ ‎【详解】设球的半径为，则，得.‎ 设正四棱柱的底面边长为，高为，则正四棱柱的体对角线即为球的直径，‎ 则有，即，由基本不等式可得，‎ ‎，当且仅当时，等号成立，‎ 因此，该四棱柱的侧面积为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查球体表面积的计算，同时也考查了正四棱柱外接球问题以及正四棱柱侧面积最值的计算，涉及了利用基本不等式求最值，解题的关键就是要根据题意得出定值条件，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎12.已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，为抛物线上一点，且在第一象限，当取得最小值时，点的坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过点作垂直于抛物线的准线，垂足为点，由抛物线的定义可得，可得出，结合图形可知，当直线与抛物线相切时，最大，则最小，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线的方程联立，利用，求出方程组的解，即可得出点的坐标.‎ ‎【详解】如下图所示：‎ 过点作垂直于抛物线的准线，垂足为点，由抛物线的定义可得，‎ 抛物线的准线为，则点，‎ 由题意可知，轴，则，，‎ 由图形可知，当直线与抛物线相切时，最大，则最小，‎ 设直线的方程为，将该直线方程与抛物线的方程联立，‎ 消去得，，，解得，则，‎ 解得，此时，，因此，点的坐标为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查根据抛物线上线段比的最值来求点的坐标，涉及抛物线定义的转化，解题的关键就是要抓住直线与抛物线相切这一位置关系来分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.的展开式中的系数为______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用二项式定理计算得到答案.‎ ‎【详解】的展开式中：，取得的系数为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.‎ ‎14.已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的左支上，且，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用双曲线的定义可求出.‎ ‎【详解】在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得，‎ 因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线定义求焦半径，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎15.已知为偶函数，当时，，当时，‎ ‎，则不等式的解集为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出不等式在的解，然后根据偶函数的性质可得出不等式在上的解集.‎ ‎【详解】当时，令，可得，解得，此时；‎ 当时，令，解得，此时.‎ 所以，不等式在的解为.‎ 由于函数为偶函数，因此，不等式的解集为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数不等式的求解，同时也涉及了函数奇偶性的应用，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎16.在数列中，，且.‎ ‎（1）的通项公式为__________；‎ ‎（2）在、、、、这项中，被除余的项数为__________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意得知数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求出数列的通项公式，即可求出；‎ ‎（2）设，可得出，由为奇数，可得出为的倍数或为的奇数倍且为偶数，求出两种情况下 值的个数，相加即可得出答案.‎ ‎【详解】（1）且，‎ 所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，‎ ‎，；‎ ‎（2）被整除且余数为的整数可表示为，‎ 令，可得，‎ ‎，且，则为奇数，‎ 则为的倍数，或者为的奇数倍且为偶数.‎ 当为的倍数时，的取值有：、、、、，共个；‎ 当为的奇数倍且为偶数时，的取值有：、、、、，共个.‎ 综上所述，在、、、、这项中，被除余的项数为.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查数列通项的求解，同时也考查了数列中项的整除问题，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎17.、、分别为内角、、的对边，已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理边角互化思想以及切化弦的思想得出的值；‎ ‎（2）利用余弦定理求出的值，并利用同角三角函数的平方关系求出的值，最后利用三角形的面积公式即可求出的面积.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，‎ 又，所以，因为，所以；‎ ‎（2）由余弦定理，得，则，‎ 整理得，，解得 因为，所以，‎ 所以的面积.‎ ‎【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，同时也考查余弦定理解三角形以及三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎18.某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三（1）班到高三（5）班随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图.‎ ‎（1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率.‎ ‎（2）已知该省甲市2020届高考考生人数为4万，假设以（1）中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.‎ ‎（i）若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率（结果精确到0.01）；‎ ‎（ii）已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为，若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，求p的取值范围.‎ 可能用到的参考数据：取，.‎ ‎【答案】(1)60%；(2) （i）0.12 （ii） ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用上线人数除以总人数求解；‎ ‎（2）（i）利用二项分布求解；（ii）甲、乙两市上线人数分别记为X，Y，得，.，利用期望公式列不等式求解 ‎【详解】（1）估计本科上线率为.‎ ‎（2）（i）记“恰有8名学生达到本科线”为事件A，由图可知，甲市每个考生本科上线的概率为0.6，‎ 则. ‎ ‎（ii）甲、乙两市2020届高考本科上线人数分别记为X，Y，‎ 依题意，可得，. ‎ 因为2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，‎ 所以，即， ‎ 解得，‎ 又，故p的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查二项分布的综合应用，考查计算求解能力，注意二项分布与超几何分布是易混淆的知识点.‎ ‎19.已知椭圆的焦距为，短轴长为.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）若直线与相交于、两点，求以线段为直径的圆的标准方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意求出和的值，即可求出椭圆的方程；‎ ‎（2）设点、，将直线的方程与椭圆 的方程联立，列出韦达定理，求出线段的中点和，即可得出所求圆的标准方程.‎ ‎【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，，‎ 所以，，，所以的方程为；‎ ‎（2）设点、，联立，消去，得.‎ 由韦达定理得，，‎ 所以，线段的中点坐标为.‎ ‎，‎ 所以，所求圆的标准方程为.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算以及圆的标准方程的求解，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法来计算，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎20.如图1，在等腰中，，，分别为，的中点，为的中点，在线段上，且。将沿折起，使点到的位置（如图2所示），且。‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值 ‎【答案】（1）证明见解析 ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）要证明线面平行，需证明线线平行，取的中点，连接，根据条件证明，即；‎ ‎（2）以为原点，所在直线为轴，过作平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.‎ ‎【详解】（1）证明：取的中点，连接.‎ ‎∵，∴为的中点.‎ 又为中点，∴.‎ 依题意可知，则四边形为平行四边形，‎ ‎∴，从而.‎ 又平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2），且，‎ 平面，平面，‎ ‎，‎ ‎，且，‎ 平面，‎ 以为原点，所在直线为轴，过作平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，‎ 则，，，，，‎ ‎，，，.‎ 设平面的法向量为，‎ 则，即，‎ 令，得.‎ 设平面的法向量为，‎ 则，即，‎ 令，得.‎ 从而，‎ 故平面与平面所成锐二面角余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的证明和空间坐标法解决二面角的问题，意在考查空间想象能力，推理证明和计算能力，属于中档题型，证明线面平行，或证明面面平行时，关键是证明线线平行，所以做辅助线或证明时，需考虑构造中位线或平行四边形，这些都是证明线线平行的常方法.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）证明：；‎ ‎（3）证明：.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出和的值，利用点斜式可写出所求切线的方程；‎ ‎（2）构造函数，利用导数求出函数的最小值，由可证明出；‎ ‎（3）证明出，利用（2）中的结论可得出，化简后可得出结论.‎ ‎【详解】（1），，则，，‎ 所以曲线在点处的切线方程为；‎ ‎（2）设函数，则，‎ 令，得；令，得.‎ 所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.‎ 则函数在处取得极小值，亦即最小值，即，‎ 即；‎ ‎（3）因为函数的定义域为，所以，，‎ 由（2）知，，‎ 即，‎ 又，所以等号可以成立，从而.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求切线方程，同时也考查函数不等式的证明，考查推理论证能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，，为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求，，的值；‎ ‎（2）已知点的直角坐标为，与曲线交于，两点，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据极坐标方程得到，根据参数方程得到答案.‎ ‎（2）将参数方程代入圆方程得到，根据韦达定理得到，，计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）由，得，则，即.‎ 因为，，所以.‎ ‎（2）将代入，得.‎ 设，两点对应的参数分别为，，则，.‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了极坐标方程和参数方程，利用直线的参数方程可以简化计算，是解题的关键.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）求不等式解集；‎ ‎（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别计算，，三种情况，综合得到答案.‎ ‎（2）化简得到，利用绝对值三角不等式得到 ‎，解不等式计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）当时，，解得；‎ 当时，，解得，则；‎ 当时，，解得，则.‎ 综上所述：不等式的解集为.‎ ‎（2）‎ ‎，当时等号成立.‎ 若对任意，不等式恒成立，即，‎ 解得或.‎ ‎【点睛】本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式解决恒成立问题，意在考查学生的综合应用能力.‎