专题55 范围、最值问题-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

专题55 范围、最值问题-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

专题55范围、最值问题 最新考纲 ‎1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法．‎ ‎2.了解圆锥曲线的简单应用．‎ ‎3.理解数形结合的思想.‎ 基础知识融会贯通 ‎1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．‎ ‎(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有 ‎①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；‎ ‎②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；‎ ‎③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．‎ ‎(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，‎ ‎①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；‎ ‎②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．‎ ‎2．圆锥曲线的弦长 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x2－x1|＝|y2－y1|.‎ ‎3．圆锥曲线的综合问题的解决大多需要具备方程(组)思想：引参—列方程(组)—消参—求值，或围绕函数思想求范围、最值．或根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量解决定值、定点问题．‎ ‎【知识拓展】‎ 过一点的直线与圆锥曲线的位置关系 ‎(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；‎ 过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；‎ 过椭圆内一点的直线与椭圆相交．‎ ‎(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；‎ 过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；‎ 过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线. ‎ ‎(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；‎ 过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；‎ 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．‎ 重点难点突破 ‎【题型一】范围问题 ‎【典型例题】‎ 设抛物线M：x2＝4py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线N：的两个交点分别是A，B，若存在抛物线M使得△FAB是等边三角形，则双曲线N的离心率的取值范围是（　　）‎ A．（，+∞） B．（1，） C．（，+∞） D．（1，+∞）‎ ‎【解答】解：抛物线M：x2＝4py（p＞0）的焦点为F，其准线y＝﹣p，双曲线N：的两个交点分别是A（，﹣p），B（a，﹣p），‎ ‎△FAB是等边三角形，可得，可得a，‎ 所以双曲线N的离心率：e．‎ 双曲线N的离心率的取值范围是：（，+∞）．‎ 故选：A． ‎ ‎【再练一题】‎ 椭圆的左焦点为F，过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆交于不同两点A，B ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）若点B关于x轴的对称点为B’，求|AB'|的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为a2＝2，b2＝1，所以，‎ 所以离心率．‎ ‎（Ⅱ）法一：‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 显然直线l存在斜率，设直线l的方程为y＝k（x+2），‎ 所以，所以（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣2＝0△＝8﹣16k2＞0，所以，‎ 所以，‎ 因为B'（x2，﹣y2），‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以 ，‎ 因为，所以．‎ 法二：‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 当直线l是x轴时，，‎ 当直线l不是x轴时，设直线l的方程为x＝ty﹣2，‎ 所以，所以（t2+2）y2﹣4ty+2＝0，△＝8t2﹣16＞0，所以t2＞2，‎ 所以，‎ 因为B'（x2，﹣y2），‎ 所以，‎ 因为 ，‎ 所以|AB'|，‎ 因为t2＞2，所以，‎ 综上，|AB'|的取值范围是． ‎ 思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 ‎(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．‎ ‎(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．‎ ‎(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．‎ ‎(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．‎ ‎(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．‎ 故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为(0,1)．‎ ‎【题型二】最值问题 命题点1　利用三角函数有界性求最值 ‎【典型例题】‎ 已知椭圆，直线，则椭圆C上的点到直线l的最大距离为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【解答】解：椭圆，和直线，‎ 设椭圆上的点P（cosθ，sinθ），‎ ‎∴椭圆上的点P到直线l的距离：‎ d，其中tanγ ‎∴当cos（θ+γ）＝1时，椭圆上的点到直线l的距离取最大值：．‎ 故选：C． ‎ ‎【再练一题】‎ 已知直线l：x+y＝3与x轴，y轴分别交于点A，B，点P在椭圆y2＝1上运动，则△PAB面积的最大值为（　　）‎ A．6 B． C． D．‎ ‎【解答】解：直线l：y+x＝3和x轴，y轴分别交于A、B两点，可得|AB|＝3，‎ C在椭圆椭圆y2＝1上运动，设P（cosθ，sinθ），‎ 三角形的高h，其中tanγ，‎ ‎△PAB面积为：3|cos（θ﹣γ）﹣3|，当且仅当cos（θ﹣γ）＝﹣1时取等号，‎ 那么△ABC面积的最大值为．‎ 故选：D．‎ ‎ ‎ 命题点2　数形结合利用几何性质求最值 ‎【典型例题】‎ 已知函数f（x）＝﹣ax+2+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，设抛物线y2＝8x上任意一点M到准线l的距离为d，则d+|MA|的最小值为（　　）‎ A．2 B．‎2‎ C．2 D．2‎ ‎【解答】解：当x+2＝0，解得x＝﹣2，此时y＝3﹣1＝2，‎ 故A（﹣2，2），‎ 由题意得F（2，0），准线方程为x＝﹣2，‎ 利用抛物线的定义，可得当F、M、A三点共线时，‎ d+|MA|取得最小值为|AF|2．‎ 故选：C．‎ ‎ ‎ ‎【再练一题】‎ 点P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x﹣2的距离的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：抛物线y＝x2的焦点坐标（0，）如右图，‎ 设点P（a，b）；则由图象可知，‎ 以点P为切点的直线与y＝x﹣2平行时，‎ P到直线距离取得最小值，‎ 由y′＝2x＝1可得，x，‎ 故点P（，）；‎ 点P到直线y＝x﹣2的距离的最小值为：．‎ 故选：C．‎ 命题点3　转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值 ‎【典型例题】‎ 已知椭圆短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x+4y+6＝0与圆x2+（y﹣b）2＝a2相切．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知过椭圆C的左顶点A的两条直线l1、l2分别交椭圆C于M、N两点，且l1⊥l2，求证：直线MN过定点，并求出定点坐标；‎ ‎（III）在（Ⅱ）的条件下求△AMN面积的最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意即．‎ ‎（Ⅱ）证明：∵A（﹣2，0），设l1：x＝my﹣2（m≠0），，‎ 由得（m2+4）y2﹣4my＝0‎ ‎∴，同理：‎ ‎①m≠±1时，，过定点；‎ ‎②m＝±1时，，也过定点，所以直线MN过定点．‎ ‎（III）由（Ⅱ）知，时取等号，∴时取等号，∴．‎ ‎【再练一题】‎ 在平面直角坐标系xoy中，椭圆C1：（a1＞b1＞0）和椭圆C2：（a2＞b2＞0）的离心率均为，点T（0，1）在椭圆C1上，点S（2，1）在椭圆C2上．‎ ‎（1）求椭圆C1和C2的方程；‎ ‎（2）P为椭圆C1上任意一点，过点P的直线y＝kx+m交椭圆C2于A，B两点，射线PO交椭圆C2于点Q，‎ ‎①证明为定值；‎ ‎②求△ABQ面积的最大值．‎ ‎【解答】（本小题12分）‎ 解：（1）由题意知b1＝1，有，得a1＝2，‎ 所以椭圆C1的方程为．‎ 由，，得a2＝4，b2＝2‎ 所以椭圆C2的方程为．………………………………………‎ ‎（2）证明①设，由题意知Q（﹣λx0，﹣λy0），‎ 因为，又，即，‎ 所以λ＝2，即．………………………………………‎ ‎②设A（x1，y1），B（x2，y2），将y＝kx+m代入椭圆C2的方程，‎ 可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16＝0，‎ 由△＞0，可得 m2＜4+16k2①‎ 则有，‎ 所以．‎ 因为直线y＝kx+m与y轴交点的坐标为（0，m），‎ 所以△OAB的面积 将y＝kx+m代入椭圆C1的方程，可得 （1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，‎ 由△≥0，可得 m2≤1+4k2②，‎ 令，由①②可知 0＜t≤1，‎ 因此，故 ，‎ 当且仅当t＝1时，即m2＝1+4k2时取得最大值，‎ 由（1）知，△ABQ面积为3S，所以△ABQ面积的最大值．‎ 思维升华 处理圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．‎ 基础知识训练 ‎1．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试】经过坐标原点的两条直线与椭圆：分别相交于点、和点、，其中直线经过的左焦点，直线经过的右焦点.当直线不垂直于坐标轴时，与的斜率乘积为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求四边形面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）最大值6.‎ ‎【解析】‎ 解：（1）设，，由对称性，直线与直线的斜率乘积为.‎ 由，，相减得.‎ 所以，因为，所以，，的方程为.‎ ‎（2）由题设不平行于轴，设：，与联立得.，.‎ 由对称性四边形是平行四边形，其面积的等于面积的4倍，于是 .‎ 设，当时，，函数单调递增，‎ 所以当，即时，取最大值6.‎ ‎2．【甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟】椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）点为椭圆上一动点，连接、，设的角平分线交椭圆的长轴于点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）将代入中，由可得，‎ 所以弦长为，‎ 故有，解得，所以椭圆的方程为：.‎ ‎（Ⅱ）设点，又，则直线的方程分别为； .‎ 由题意可知.‎ 由于点为椭圆上除长轴外的任一点，所以，‎ 所以， ‎ 因为，，‎ 所以，即 ‎ 因此， .‎ ‎3．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)】在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆过点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若直线上存在点，且过点的椭圆的两条切线相互垂直，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意，解得，又，解得 所以椭圆C的标准方程为．‎ ‎（2）①当过点的椭圆的一条切线的斜率不存在时，另一条切线必垂直于轴，易得 ‎ ‎②当过点的椭圆的切线的斜率均存在时，设 切线方程为，‎ 代入椭圆方程得，‎ ‎，‎ 化简得：，‎ 由此得， ‎ 设过点的椭圆的切线的斜率分别为，所以．‎ 因为两条切线相互垂直，所以，即， ‎ 由①②知在圆上，又点在直线上，‎ 所以直线与圆有公共点，‎ 所以，所以． ‎ 综上所述，的取值范围为．‎ ‎4．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试】抛物线：，直线的斜率为2．‎ ‎（Ⅰ）若与相切，求直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若与相交于，，线段的中垂线交于，，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 解：（1）设直线的方程为，联立直线抛物线的方程，得，‎ ‎，所以，，‎ 因此，直线的方程为；‎ ‎（2）设直线的方程为，设点、、、，‎ 联立直线与抛物线的方程，得，，所以，．‎ 由韦达定理得，．‎ 所以，，‎ 因为线段的中点为，所以，直线的方程为，‎ 由，得，由韦达定理得，，‎ 所以，，‎ 所以，，‎ 所以，的取值范围是．‎ ‎5．【辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟考试】已知为椭圆的右焦点，点在上，且轴，椭圆的离心率为 ‎.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆相交于，两点，且（为坐标原点），求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）因为为椭圆的右焦点，点在上，且轴，所以；‎ 又椭圆的离心率为，所以，因此，‎ 所以椭圆的方程为；‎ ‎（2）设，‎ 由得 ，‎ 所以，，‎ 故，‎ 由，得，即，‎ 整理得，解得；‎ 又因，整理得，‎ 解得或；‎ 综上，的取值范围是.‎ ‎6．【浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟考试】已知抛物线：的焦点是，直线：，：分别与抛物线相交于点和点，过，的直线与圆：相切．‎ ‎（1）求直线的方程（含、）；‎ ‎（2）若线段与圆交于点，线段与圆交于点，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）焦点是，可得，即，设，，‎ 抛物线方程为，联立，可得，同理可得，‎ 若斜率存在，可得，‎ 的方程为，化为，‎ 的斜率不存在时，也满足上面的方程，则直线的方程为；‎ ‎（2）过，的直线与圆：相切，可得，‎ 化简为，即有，‎ ‎，‎ 由，可得，，‎ 设，则，‎ 当取等号，即，所以，‎ 又，即，‎ 即有的取值范围为.‎ ‎7．【江苏省南通市2019届高三模拟练习卷（四模)】如图，在宽为的路边安装路灯，灯柱高为，灯杆是半径为的圆的一段劣弧．路灯采用锥形灯罩，灯罩顶到路面的距离为，到灯柱所在直线的距离为．设为灯罩轴线与路面的交点，圆心在线段上．‎ ‎（1）当为何值时，点恰好在路面中线上?‎ ‎（2）记圆心在路面上的射影为，且在线段上，求的最大值．‎ ‎【答案】(1)当为时，点在路面中线上；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）以O为原点，以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，8），P（2，10），Q（7，0），‎ ‎∴直线PQ的方程为2x+y﹣14＝0．设C（a，b），则，‎ 两式相减得：a+b﹣10＝0，又2a+b﹣14＝0，解得a＝4，b＝6，‎ ‎∴．∴当时，点Q恰好在路面中线上．‎ ‎（2）由（1）知a+b﹣10＝0，‎ 当a＝2时，灯罩轴线所在直线方程为x＝2，此时HQ＝0．‎ 当a≠2时，灯罩轴线所在方程为：y﹣10＝（x﹣2），‎ 令y＝0可得x＝12﹣，即Q（12﹣，0），‎ ‎∵H在线段OQ上，∴12﹣≥a，解得2≤a≤10．‎ ‎∴|HQ|＝12﹣﹣a＝12﹣（+a）≤12﹣＝12﹣，‎ 当且仅当＝a即a＝时取等号．∴|HQ|的最大值为（12﹣）m．‎ ‎8．【江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，且垂直于轴，连结并延长交椭圆于另一点，设.‎ ‎（1）若点的坐标为，求椭圆的方程及的值；‎ ‎（2）若，求椭圆的离心率的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）因为垂直于轴，且点的坐标为，‎ 所以，，‎ 解得，，所以椭圆的方程为.‎ 所以，直线的方程为，‎ 将代入椭圆的方程，解得，‎ 所以.‎ ‎（2）因为轴，不妨设在轴上方，，.设，因为在椭圆上，所以，解得，即.‎ ‎（方法一）因为，由得，，，解得，，所以.‎ 因为点在椭圆上，所以，即 ‎，所以，从而.‎ 因为，所以.‎ 解得，‎ 所以椭圆的离心率的取值范围.‎ ‎9．【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷】已知为坐标原点，点，，过点作的平行线交于点.设点的轨迹为.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知直线与圆相切于点，且与曲线相交于，两点，的中点为，求三角形面积的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）因为，‎ 故，‎ 所以，‎ 故，‎ 由题设得，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：.‎ ‎（Ⅱ）由题意，直线的斜率存在且不为0，‎ 设直线的方程为，‎ 因为直线与圆相切，‎ 所以，∴，‎ 由消去得.‎ 设，由韦达定理知：‎ ‎.‎ 所以中点的坐标为，‎ 所以弦的垂直平分线方程为，‎ 即 .‎ 所以.‎ 将代入得 ‎（当且仅当，即时，取等号）.‎ 所以三角形的面积为，‎ 综上所述，三角形的面积的最大值为.‎ ‎10．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷】已知抛物线，过抛物线焦点的直线分别交抛物线与圆于（自上而下顺次）四点.‎ ‎（1）求证：为定值；‎ ‎（2）求的最小值.‎ ‎【答案】(1)见证明；(2)108‎ ‎【解析】‎ ‎（1）有题意可知， ‎ 可设直线的方程为，‎ 联立直线和抛物线方程，消可得， ‎ 所以，，‎ 由抛物线的定义可知，，‎ 又， ‎ 所以，‎ 所以为定值16.‎ ‎（2）由（1）可知，，，‎ ‎，‎ 由，可得，‎ 所以（其中）， ‎ 令，， ‎ 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，‎ 所以.‎ 所以的最小值为.‎ ‎11．【天津市北辰区2019届高考模拟考试】已知椭圆（），‎ 为其左右焦点，为其上下顶点，已知椭圆过点，且四边形的面积为2．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过定点的直线与椭圆相交于两点，若，当时，求面积的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）∵椭圆过点，∴，‎ 又∵四边形的面积为2，∴，‎ 结合，解得，，‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）依题意，可设，联立得，‎ 设，，由，解得，‎ 且，，且易知，由可得，‎ ‎∴，则，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，∴，满足，‎ ‎∴，‎ ‎ 设，则，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵在递减，故关于递增，‎ ‎∴．‎ ‎12．【安徽省泗县第一中学2019届高三高考最后一模】已知椭圆：的离心率为，且椭圆上一点的坐标为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆交于，两点，且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由已知，又，则.‎ 椭圆方程为，将代入方程得，，‎ 故椭圆的方程为；‎ ‎（2）不妨设直线的方程，‎ 联立消去得.‎ 设，，则有，①‎ 又以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，∴，‎ 由，得，‎ 将，代入上式得 ‎，‎ 将①代入上式求得或（舍），‎ 则直线恒过点.‎ ‎∴，‎ 设，则在上单调递增，‎ 当时，取得最大值.‎ ‎13．【湖南省雅礼中学2019届高考模拟卷（二)】已知抛物线和的焦点分别为，点且为坐标原点）．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）过点的直线交的下半部分于点，交的左半部分于点，求面积的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）8.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）F1（1，0），，‎ ‎∴，，‎ ‎∴p=2，‎ ‎∴抛物线C2的方程为x2=4y；‎ ‎（2）设过点O的直线为y=kx，‎ 联立得（kx）2=4x，求得M（，），‎ 联立得N（4k，4k2）（k＜0），‎ 从而，‎ 点P到直线MN的距离，‎ 进而 ‎=，‎ 令，‎ 有S△PMN=2（t-2）（t+1），‎ 当t=-2时k=-1，取得最小值．‎ 即当过原点直线为y=-x，‎ ‎△PMN面积的面积取得最小值8．‎ ‎14．【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试】已知椭圆的左、右焦点为，，长轴端点为，，为椭圆中心，，斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，这两点在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若抛物线上存在两个点，，椭圆上存在两个点，，满足，，三点共线，，，三点共线，且，求四边形面积的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 解：（1）设椭圆方程为，‎ 利用数量积运算可得，可得， ‎ 直线的方程为，当时，，‎ 代入椭圆方程可得，‎ 联立解得，，椭圆方程. ‎ ‎（2）①当直线的斜率不存在时，直线的斜率为0，得到，，； ‎ ‎②当直线的斜率存在时，设直线方程为，‎ 与抛物线联立得。‎ 令，，则，，‎ ‎， ‎ 因为，所以直线的方程为，‎ 将直线与椭圆联立，得，‎ 令，，则，，‎ 所以，‎ 所以四边形面积， ‎ 令，‎ 则，‎ 所以，其最小值为.‎ ‎15．【辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试】在平面直角坐标系中，椭圆的上顶点为A，左、右焦点分别为，，直线的斜率为，点在椭圆E上，其中P是椭圆上一动点，Q点坐标为.‎ ‎(1)求椭圆E的标准方程；‎ ‎(2)作直线l与x轴垂直，交椭圆于两点（两点均不与P点重合)，直线，与x轴分别交于点.求的最小值及取得最小值时点P的坐标.‎ ‎【答案】（1）（2）的最小值为，此时点P的坐标为或 ‎【解析】‎ ‎(1)由直线的斜率为可知直线的倾斜角为. ‎ 在中，,于是,‎ 椭圆,将代入得 所以，椭圆E的标准方程 ‎ ‎(2)设点.‎ 于是，直线,令,‎ 所以 ‎ 直线，令，‎ 所以 ‎ 又.代入上式并化简 即， ‎ 当(即)时取得最小值，‎ ‎（Ⅰ）时，化简得 根据题意：，若亦与题意不符，‎ 所以，此时或 ‎（Ⅱ）时，化简得 将代入并化简得：‎ 根据题意：，若，而 所以 不成立，即不成立 综上，或，点P的坐标为或 能力提升训练 ‎1．【湖师范大学附属中学2019届高三数学】已知F1、F2是椭圆C：的左、右焦点，点在椭圆C上，且满足.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）直线l:交椭圆C于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点M（t，0），求mt的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）.设，，由，得，.‎ ‎∴，，‎ ‎∴，∴，，‎ ‎∴椭圆C的方程为 ‎（2）.由得，得，，‎ 由，且，得，‎ 设，，则，‎ ‎，所以AB的中点为 ‎ ‎∵直线AB的斜率为，∴线段AB的垂直平分线为.‎ 依题意，，∴，‎ ‎∵，当且仅当，即时取等号，‎ ‎∴，∴mt的取值范围是 ‎2．【福建省龙岩市（漳州市)2019届高三5月月考】已知离心率为的椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且点到的准线的距离为2.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）若直线与交于两点，与交于两点，且（为坐标原点），求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）因为点到的准线的距离为2，所以，， ‎ 由解得 所以的方程为 ‎ ‎（2）解法一.由（1）知抛物线的方程为. ‎ 要使直线与抛物线交于两点，则直线的斜率不为0，可设的方程为，‎ 由得 ‎ 所以，得.‎ 设 则 所以，‎ 因为，所以，‎ 所以，所以， ‎ 所以直线的方程为，‎ 所以直线过椭圆的右顶点，‎ 不妨设 ，，且， ‎ 所以，‎ 当且仅当时，.‎ ‎3．【山东省烟台市2019届高三5月适应性练习（二)】已知椭圆的离心率为,原点到椭圆的上顶点与右顶点连线的距离为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程;‎ ‎（2）斜率存在且不为零的直线与椭圆相交于,两点,若线段的垂直平分线的纵截距为-1,求直线纵截距的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 解：（1）原点到椭圆上顶点与右顶点连线的距离为. ‎ 又离心率，又因为，‎ 解得，，所以椭圆方程为． ‎ ‎（2）设，直线的方程为：，‎ 将代入得：‎ ‎， ‎ 于是得：‎ 且，‎ 设中点，则，‎ 因为线段的垂直平分线的纵截距为，所以线段的垂直平分线过点，‎ 所以，即， ‎ 因为，所以， 所以， ‎ 代入得，‎ 所以.‎ ‎4．【安徽省1号卷�A10联盟2019年高考最后一卷】已知椭圆上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的倍，且点在椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点作直线与曲线交于两点，求面积的最大值。‎ ‎【答案】(1) .(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意得，，解得，‎ 椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）易知直线的斜率存在.设直线的方程为，，，‎ 联立，消去得，‎ 则，，‎ 令，，，‎ ‎，‎ 易证在上单调递增，，‎ ‎，面积的最大值为.‎ ‎5．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试（二)】已知椭圆：的左右焦点分别为，，点是椭圆上的一点，若，，的面积为1.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过的直线与交于，两点，设为坐标原点，若，求四边形面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题设，，所以 .又，所以.的方程为.‎ ‎（2）由题设不平行于轴，设：，联立，得.，.‎ 因为，所以四边形为平行四边形，四边形面积 .‎ 因为，当且仅当时取等号，于是四边形面积的最大值为.‎ ‎6．【江西省新八校2019届高三第二次联考】已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，点在椭圆上，且的面积的最大值为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知直线与椭圆交于不同的两点，若在轴上存在点 得，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 由题，当点P在上下顶点时，三角形的面积最大，可得，‎ 即可得，解得 椭圆的方程为.‎ ‎（2）由消去整理得，‎ 且 设，线段的中点为 则.‎ 在轴上存在点，使得，‎ ‎，即，‎ 因为 ‎ ‎，当且仅当且，即时等号成立.‎ ‎，故，‎ 实数的取值范围为.‎ ‎7．【天津市和平区2018-2019学年度第二学期高三年级第三次质量调查】设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，，分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由；‎ ‎（Ⅲ）设点是一个动点，若直线的斜率存在，且为中点，，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ).‎ ‎【解析】‎ ‎(Ⅰ)抛物线的焦点坐标为，故，‎ 结合可得：，故椭圆方程为：.‎ ‎(Ⅱ)很明显直线的斜率存在，设，‎ 假设存在满足题意的直线方程：，‎ 与椭圆方程联立可得：，‎ 则，‎ 则：‎ ‎，‎ 结合题意和韦达定理有：，‎ 解得：，即存在满足题意的直线方程：.‎ ‎(Ⅲ)设，设直线AB的方程为，‎ 由于：，‎ 两式作差整理变形可得：，‎ 即：. ①‎ 又 ②‎ ‎ ③‎ ‎①×②可得： ④‎ ‎④代入③可得： ⑤‎ ‎④⑤代入①整理可得：，‎ ‎，据此可得：，‎ 从而.‎ ‎8．【安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测】已知，分别为椭圆的左，右焦点，点在椭圆上，且的面积为 ‎.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过点的直线交椭圆于，两点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由椭圆经过点，且的面积为，得 ‎，且,即.‎ 又，解得，.‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）由（1）知，.设，.‎ 若直线的斜率不存在，可得点的坐标为，‎ 则.‎ 当直线的斜率存在时，设，代入椭圆方程得.‎ 则恒成立.‎ 所以，.‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎.‎ 又，则.‎ 综上可知，的取值范围为.‎ ‎9．【山东省日照市2019届高三5月校际联合考试】已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，动点在椭圆上，的周长为6．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆的另一个交点为，过分别作直线的垂线，垂足为与轴的交点为．若四边形的面积是面积的3倍，求直线斜率的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）因为P是E上的点，且F1，F2为E的左、右焦点，所以|PF1|+|PF2|=2a，‎ 又因为|F1F2|=2c，△PF1F2的周长为6，所以2a+2c=6，‎ 又因为椭圆的离心率为，所以，解得a=2，c=1．所以，‎ E的方程为．‎ ‎（2）依题意，直线PQ与x轴不重合，故可设直线PQ的方程为x=my+1，‎ 由，消去x得：（3m2+4）y2+6my-9=0，‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2）则有△＞0且．‎ 设四边形PMNQ的面积和△PQT面积的分别为S1，S2，‎ 则S1=3S2，又因为，S2=．‎ 所以，‎ 即3（t-1）=2t-（x1+x2），得t=3-（x1+x2），‎ 又x1=my1+1，x2=my2+1，于是t=3-（my1+my2+2）=1-m（y1+y2），‎ 所以，由t＞2得，解得，‎ 设直线PQ的斜率为k，则，所以，‎ 解得，‎ 所以直线PQ斜率的取值范围是．‎ ‎10．【山东省威海市2019届高三二模考试】在直角坐标系中，设椭圆的左焦点为,短轴的两个端点分别为，且，点在上.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程；‎ ‎(Ⅱ)若直线与椭圆和圆分别相切于,两点，当面积取得最大值时，求直线的方程.‎ ‎【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ) .‎ ‎【解析】‎ ‎(Ⅰ)由，可得，①‎ 由椭圆经过点，得，②‎ 由①②得，‎ 所以椭圆的方程为．‎ ‎(Ⅱ)由消去整理得（*），‎ 由直线与椭圆相切得，‎ ‎，‎ 整理得，‎ 故方程（*）化为，即，‎ 解得，‎ 设，则，故，‎ 因此．‎ 又直线与圆相切，可得．‎ 所以， ‎ 所以，‎ 将式代入上式可得 ‎，‎ 由得，‎ 所以，当且仅当时等号成立，即时取得最大值． ‎ 由，得，‎ 所以直线的方程为．‎