2017-2018学年吉林省长春市十一高中高二上学期期末考试数学（理）试题 解析版

2017-2018学年吉林省长春市十一高中高二上学期期末考试数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 吉林省长春市十一高中2017-2018学年高二上学期期末考试数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知复数，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 的实部为，虚部为，‎ 故选 ‎2．若原命题为：“若为共轭复数，则”，则该命题的逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为（ ）‎ A． 真真真 B． 真真假 C． 假假真 D． 假假假 ‎【答案】C ‎【解析】设，则，则，所以原命题为真命题，故其逆否命题为真命题 原命题的否命题为“若不互为共轭复数，则”，因为和 不互为共轭复数，但，所以否命题为假命题，故原命题的逆命题为假命题 故选 ‎3．“，”的否定是 A． ， B． ，‎ C． ， D． ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】由全称命题的否定是特称命题，可知“，”的否定是，，故选D．‎ ‎4．“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（ ）‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，所以，‎ ‎ 所以是方程表示焦点在轴上的椭圆的充分不必要条件，故选A.‎ ‎5．设双曲线的离心率是，则其渐近线的方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】双曲线的离心率是，‎ 可得，即，可得 则其渐近线的方程为 故选 ‎6．已知点，点与点关于平面对称，点与点关于轴对称，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意可得：‎ 故选 ‎7．由曲线与直线， 所围成的封闭图形面积为（ ）‎ A． B． C． 2 D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由曲线，直线，解得：‎ 由曲线，直线，‎ 可得交点坐标为 由曲线与直线，所围成的封闭图形面积为 故选 ‎8．若，，，则3个数,,的值( )‎ A． 至多有一个不大于1 B． 至少有一个不大于1 C． 都大于1 D． 都小于1‎ ‎【答案】B ‎【解析】设 则，，‎ 故选 ‎9．点在椭圆上，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 点在椭圆上，‎ ‎，‎ 不妨令，则 原式 则最大值为，‎ 故选 ‎10．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎，‎ 函数的定义域是 ‎，，得 函数在区间上单调递减，‎ ‎，解得 故选 ‎11．在中， ，若一个椭圆经过两点，它的一个焦点为点，另一个焦点在边上，则这个椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设另一焦点为 中， ， ‎ 又， ‎ 在中焦距 则 故选 点睛：本题主要考查了椭圆的简单性质。设另一焦点为，则可在中，根据勾股定理求得，进而根据椭圆的定义知，求得的值，再利用求得，最后在中根据勾股定理求得，得到焦距，进一步求得离心率。‎ ‎12．已知函数， ，若成立，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设 ‎， ，‎ ‎， ‎ 令 则 在上为增函数，且 当时， ，当时， ‎ 在上为减函数，在上为增函数，‎ 当时， 取得最小值，‎ 此时 即的最小值为 故选 点睛：本题主要考查了函数的值以及利用导数研究函数的极值。根据得到的关系，再利用消元法转化为关于的函数，构造函数，求函数的导数，再利用导数研究函数的最值即可得到结论。‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，即 则该圆的直角坐标方程为 即：‎ 表示以为圆心半径等于的圆 故可取 该圆的圆心的极坐标为 ‎14．观察下列各式： ， ， ，则的末四位数字为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】， ， ‎ 观察可以看出这些幂的最后位是以为周期变化的，‎ 的末四位数字与的后四位数相同 故答案为 ‎15．函数在区间上的值域为_________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 当时，‎ 是上的增函数 的最大值在处取得，‎ 的最小值在处取得，‎ 函数的值域为 ‎16．设分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线在第一象限上的一点，若，则内切圆的面积为______________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 双曲线的 由双曲线的定义可得 ‎，解得 ‎ 则边上的高为，运用等面积法得 即，故内切圆的面积为 点睛：本题考查了双曲线的简单性质，考查了三角形的内切圆的面积，注意运用等积法，属于中档题。主要考查了学生的方程思想，定义法以及圆锥曲线的定义，性质与方程知识点的掌握。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知极点为直角坐标系的原点，极轴为轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线，直线（为参数）.‎ ‎（1）求曲线上的点到直线距离的最小值；‎ ‎（2）若把上各点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的倍，得到曲线.设，直线与曲线交于两点，求.‎ ‎【答案】（1）;（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由极坐标和直角坐标的转化，参数方程和直角坐标的转化关系，可求出结果，然后再根据直线和圆的位置关系，即可求出结果；‎ 伸缩变换为，得到，联立和得.因为，，利用韦达定理即可求出结果。‎ 解析：（1），圆心为，半径为；‎ 圆心到直线距离 ‎ 所以上的点到的最小距离为.‎ ‎（2）伸缩变换为，所以 ‎ 将和联立，得.因为 ‎18．如图，在四棱锥中，平面，，≌，，是线段的中点．‎ ‎（1）求证：∥平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：建立空间直角坐标系，给出相应点坐标，得平面PAB的法向量为，由，即可得∥平面 求出平面的一个法向量，平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出二面角的余弦值；‎ 解析：（1）证明：以B为坐标原点，BA所在的直线为x轴，BC所在的直线为y轴，过点B且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示．‎ 则B(0,0,0)，C(0，，0)，P(1,0,2)，D，A(1,0,0)，E，∴，‎ ‎，．‎ 显然平面PAB的法向量为，由，平面，∴∥平面.‎ ‎（2）由（1）知，，，设平面的法向量为，则，取，则,∴为平面的一个法向量．同理：平面的法向量为 ‎∴，故二面角的余弦值为.‎ ‎19．已知.‎ ‎（1）若，求的单调区间；‎ ‎（2）当时，若在上恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：先求出函数的定义域，再求导，根据得到的单调区间；‎ 根据函数的单调性求出函数的最值，再由在上恒成立，得到的取值范围。‎ 解析：（1）当时，，则，‎ 令，解得，令，解得，‎ 所以增区间为，减区间为.‎ ‎（2）由，，当时，‎ 故在上为增函数，若，则只需，即：‎ ‎，综上有：‎ ‎20．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，且长轴长是短轴长的倍.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程； ‎ ‎（2）设，过椭圆左焦点作斜率直线交于两点，若，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）：‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设椭圆方程，由即可求得的值，进而得到椭圆的标准方程；‎ 设点坐标，三角形面积转化为，联立直线与椭圆方程求得，代入即可解得结果 解析：（1）依题意，,解得，‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ 设直线：，代入椭圆消去得：，‎ 设，则 所以：，即：，‎ 即：，解得：，即，所以：‎ 点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，并求出三角形的面积，在求三角形面积的题目里方法较多，如计算底和高或者分割三角形等，本题采用分割三角形计算三角形面积，联立直线与椭圆方程转化根的求解即可。‎ ‎21．已知抛物线：，过焦点的动直线与抛物线交于两点，线段 的中点为.‎ ‎（1）当直线的倾斜角为时，．求抛物线的方程；‎ ‎（2）对于（1）问中的抛物线，设定点，求证：为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：求得抛物线的焦点坐标，设直线的方程代入抛物线的方程，设，运用韦达定理，弦长公式，解方程可得，进而得到所求方程；‎ 运用中点坐标公式，求得，由两点的距离公式，可得，进而得到 的定值。‎ 解析：（1）由题意知，设直线的方程为，‎ 由 得：，所以：‎ 又由，所以，所以：抛物线的方程为 ‎（2）由（1）抛物线的方程为，此时设 消去得：，设，‎ 则：‎ 所以：‎ ‎ ，即 ‎ 所以： ‎ ‎22．已知.‎ ‎（1）当，时，求证：；‎ ‎（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设，通过求导，判断 的单调性，即可得证；‎ 由条件可知，，设，，求导，判断单调性，对讨论，分时，当时，当时，通过构造函数和求导，得到单调区间，可得最值，即可得到实数的取值范围 解析：（1）设，‎ ‎，由 所以：，‎ 故 ‎，所以，在上递增，所以 ‎（2）由条件知，‎ 设，，则 ‎，‎ 所以在上单调递增，‎ ‎（ⅰ）当时，‎ 在上为单调递增函数，故，‎ 所以：‎ ‎（ⅱ）当时，‎ 设 所以：在上为单调递增函数，‎ 所以：‎ 当时，恒成立，不合题意 综上所述：‎ 点睛：本题考查了运用导数证明不等式以及求参量的取值范围，在第二问的解答过程中，当一阶导数不能解决问题时需要借助二阶导数，通过二阶导数大于零或者小于零来判定一阶导数的单调性，继而求出参量范围，注意分类讨论。‎