2020高中数学 第一章 三角函数 1

2020高中数学 第一章 三角函数 1

第2课时　三角函数线及其应用 学习目标：1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．(重点)2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．(难点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．有向线段 ‎(1)定义：带有方向的线段．‎ ‎(2)表示：用大写字母表示，如有向线段OM，MP.‎ ‎2．三角函数线 ‎(1)作图：①α的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，垂足为M.‎ ‎②过A(1,0)作x轴的垂线，交α的终边或其反向延长线于点T.‎ ‎(2)图示：‎ 图123‎ ‎(3)结论：有向线段MP、OM、AT，分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线．‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)角α的正弦线的长度等于sin α.(　　)‎ ‎(2)当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在．(　　)‎ ‎(3)余弦线和正切线的始点都是原点．(　　)‎ ‎[解析]　(1)错误．角α的正弦线的长度等于|sin α|.‎ ‎(2)正确．‎ ‎(3)错误．正切线的始点是(1,0)．‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)×‎ ‎2．角和角有相同的(　　)‎ A．正弦线　 B．余弦线 C．正切线 D．不能确定 8‎ C　[角和角的终边互为反向延长线，所以正切线相同．]‎ ‎3．如图124，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是(　　)‎ 图124‎ A．正弦线MP，正切线A′T′‎ B．正弦线MP，正切线A′T′‎ C．正弦线MP，正切线AT D．正弦线MP，正切线AT C　[α为第三象限角，故正弦线为MP，正切线为AT，C正确．]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 作已知角的三角函数线 ‎　作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．‎ ‎(1)－；(2)；(3).‎ ‎[解]　如图．‎ 其中MP为正弦线，OM为余弦线，AT为正切线．‎ ‎[规律方法]　三角函数线的画法 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线.‎ (2)作正切线时，应从A(1，0)点引x轴的垂线，交α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)于点T，即可得到正切线AT.‎ ‎[跟踪训练]‎ 8‎ ‎1．作出－的正弦线、余弦线和正切线．‎ ‎[解]　如图：‎ sin＝MP，‎ cos＝OM，‎ tan＝AT.‎ 利用三角函数线解三角不等式 ‎[探究问题]‎ ‎1．利用三角函数线如何解答形如sin α≥a，sin α≤a(|a|≤1)的不等式？‎ 提示：对形如sin α≥a，sin α≤a(|a|≤1)‎ 的不等式：‎ 画出如图①所示的单位圆；在y轴上截取OM＝a，过点(0，a)作y轴的垂线交单位圆于两点P和P′，并作射线OP和OP′；写出终边在OP和OP′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式sin α≤a的角α的范围，其余部分即为满足不等式sin α≥a的角α的范围．‎ 图①‎ ‎2．利用三角函数线如何解答形如cos α≥a，cos α≤a(|a|≤1)的不等式？‎ 提示：对形如cos α≥a，cos α≤a(|a|≤1)的不等式：‎ 画出如图②所示的单位圆；在x轴上截取OM＝a，过点(a,0)作x轴的垂线交单位圆于两点P和P′，作射线OP和OP′；写出终边在OP和OP′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式cos α≤a的角α的范围，其余部分即为满足不等式cos α≥a的角α的范围．‎ 图②‎ ‎　利用三角函数线确定满足下列条件的角α的取值范围．‎ 8‎ ‎(1)cos α＞－；(2)tan α≤；(3)|sin α|≤.‎ ‎[思路探究]　―→―→ ‎[解]　(1)如图，由余弦线知角α的取值范围是.‎ ‎(2)如图，由正切线知角α的取值范围是.‎ ‎(3)由|sin α|≤，得－≤sin α≤.‎ 如图，由正弦线知角α的取值范围是.‎ ‎[规律方法]　利用单位圆中的三角函数线解不等式的方法 (1)首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件，利用三角函数线画出角α满足条件的终边的位置.‎ (2)角的终边与单位圆交点的横坐标是该角的余弦值，与单位圆交点的纵坐标是该角的正弦值.‎ (3)写角的范围时，抓住边界值，然后再注意角的范围的写法要求.‎ 提醒：在一定范围内先找出符合条件的角，再用终边相同的角的表达式写出符合条件的所有角的集合.‎ 母题探究：1.将本例(1)的不等式改为“cos α＜”，求α的取值范围．‎ ‎[解]　如图，由余弦线知角α的取值范围是.‎ 8‎ ‎2．将本例(3)的不等式改为“－≤sin θ＜”求α的取值范围．‎ ‎[解]　由三角函数线可知sin＝sin＝，sin＝sin＝－，且－≤sin θ＜，故θ的取值集合是∪(k∈Z).‎ 利用三角函数线比较大小 ‎　(1)已知cos α＞cos β，那么下列结论成立的是(　　)‎ A．若α、β是第一象限角，则sin α＞sin β B．若α、β是第二象限角，则tan α＞tan β C．若α、β是第三象限角，则sin α＞sin β D．若α、β是第四象限角，则tan α＞tan β ‎(2)利用三角函数线比较sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小. ‎ ‎[思路探究]　(1)→ ‎(2) → ‎(1)D　[由图(1)可知，cos α＞cos β时，sin α＜sin β，故A错误；‎ 图(1)‎ 由图(2)可知，cos α＞cos β时，tan α＜tan β，故B错误；‎ 8‎ 图(2)‎ 由图(3)可知，cos α＞cos β时，sin α＜sin β，C错误；‎ 图(3)‎ 由图(4)可知，cos α＞cos β时，tan α＞tan β，D正确．]‎ 图(4)‎ ‎(2)如图，sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT，sin＝M′P′，cos＝OM′，tan＝AT′.‎ 显然|MP|＞|M′P′|，符号皆正，‎ ‎∴sin＞sin；‎ ‎|OM|＜|OM′|，符号皆负，∴cos＞cos；‎ ‎|AT|＞|AT′|，符号皆负，∴tan＜tan.‎ ‎[规律方法]　(1)利用三角函数线比较大小的步骤：‎ ‎①角的位置要“对号入座”；‎ ‎②比较三角函数线的长度；‎ ‎③确定有向线段的正负.‎ (2)利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点：‎ ‎①关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线.‎ 8‎ ‎②注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2．已知a＝sin，b＝cos，c＝tan，则(　　)‎ A．a＜b＜c　　　　　 B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c D　[由如图的三角函数线知：‎ MP＜AT，因为＞＝，‎ 所以MP＞OM，‎ 所以cos＜sin＜tan，‎ 所以b＜a＜c.]‎ ‎ [当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．如果OM，MP分别是角α＝余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是 ‎(　　)‎ A．MP＜OM＜0　　　 B．MP＜0＜OM C．MP＞OM＞0 D．OM＞MP＞0‎ D　[角β＝的余弦线正弦线相等，结合图象可知角α＝的余弦线和正弦线满足OM＞MP＞0.]‎ ‎2．若角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α终边在(　　)‎ A．y轴上 B．x轴上 C．直线y＝x上 D．直线y＝－x上 B　[由已知得，角α的终边与单位圆的交点坐标为(－1,0)或(1,0)，在x轴上．]‎ ‎3．利用正弦线比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是(　　)‎ 8‎ A．sin 1＞sin 1.2＞sin 1.5‎ B．sin 1＞sin 1.5＞sin 1.2‎ C．sin 1.5＞sin 1.2＞sin 1‎ D．sin 1.2＞sin 1＞sin 1.5‎ C　[如图，画出已知三个角的正弦线，观察可知sin 1.5＞sin 1.2＞sin 1.]‎ ‎4．若a＝sin 4，b＝cos 4，则a，b的大小关系为________．‎ a＜b　[因为＜4＜，‎ 画出4弧度角的正弦线和余弦弦(如图)，‎ 观察可知sin 4＜cos 4，即a＜b.]‎ ‎5．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围，并由此写出角α的集合．‎ ‎(1)sin α≥；(2)cos α≤－. ‎ ‎ [解]　(1)作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则角α的终边在如图①所示的阴影区域内(含边界)，角α的取值集合为.‎ 图①　　 　　　　　图②‎ ‎(2)作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则角α的终边在如图②所示的阴影区域内(含边界)，角α的取值集合为.‎ 8‎