深圳市2020

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高三理科数学试题 第 1 页（共 4 页） 绝密★启用前 试卷类型：A 2019-2020学年度第一学期期末质量检测 高三理科数学试题 2020.1 本试卷共 4 页，23 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级和姓名填写在答题卡上． 2．作答选择题时，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡 皮檫干净后，再选涂其他答案． 3．非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的 指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液． 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的,请将答案涂在答题卡上． 1．设复数 1i 1iz  ，则 z  A． 1 2 B． 1 4 C． 2 D． 2 2 2．已知集合 2 280Mxxx， 21xNx，则 M N  A．42xx  B． 40xx x  C．02xx D．48xx  3．已知平面向量 2,0a   ， 2b   ， 2ab   ，则 2ab  A． 23 B． 32 C． 22 D． 27 4．为了研究不同性别在处理多任务时的表现差异，召 集了男女志愿者各 200 名，要求他们同时完成多个 任务，包括解题、读地图、接电话．右图表示了志 愿者完成任务所需的时间分布． 以下结论，对志愿者完成任务所需的时间分布图 表理解正确的是 ①总体看女性处理多任务平均用时更短； ②所有女性处理多任务的能力都要优于男性； ③男性的时间分布更接近正态分布； ④女性处理多任务的用时为正数，男性处理多任务的用时为负数 A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 5．已知 nS 为等差数列 na 的前n 项和，若 9 4a  ， 15 30S  ，则 15a  A． 6 B．15 C．16 D．18 6．中国古代的五音，一般指五声音阶，依次为：宫、商、角、徵、羽；如果把这五个音阶全 用上，排成一个 5 个音阶的音序．且要求宫、羽两音阶在角音阶的同侧，可排成多少种这 样的不同音序 A．120 B． 90 C．80 D． 60 高三理科数学试题 第 2 页（共 4 页） 7．已知函数 ()f x 是定义域为 R 的奇函数，当 0x  时， 2 ,0 1() ln , 1 x xxfx xx    ．函数  ()g xfxa，若 g x 存在 3 个零点，则 a 的取值范围是 A． 11,44  B． 11,22  C． 11,22  D． 11,44  8．已知 ln 2 2a  ， 2 2ln eb  ， 1 ln 2c  （其中 e 是自然 对数的底），则 A．abc B．bac C．acb D．cab 9．执行如右图的程序框图，则输出 S 的值为 A．90 B． 384 C． 474 D． 488 10．设函数  cosf xx ( 0  )，已知  f x 在 0, 2   有且仅有 2 个极小值点，下述选项错误的是 A． 的取值范围是 610， B．  f x 在（ ,64 ）单调递增 C．  f x 在（ 0,12  ）单调递减 D．  f x 在（ 0, 2  ）至多有 2 个极大值点 11．已知双曲线 22 22:1xyC ab的左，右焦点分别为 1F 、 2F ，以 1F 2F 为直径的圆与 C 的一条渐 近线交于点 P ， 12 212PF F PF F，则该双曲线的离心率为 A． 2 B． 3 C． 2 D． 3 12．已知三棱锥 P－ABC 的底面是正三角形，PA= 3 ，点 A 在侧面 PBC 内的射影 H 是△PBC 的 垂心，当三棱锥 P－ABC 体积最大值时，三棱锥 P－ABC 的外接球的体积为 A． 93 2  B． 63 C． 6 D． 9 2  二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知 () ln 1fx x x，则曲线 ()yfx 在点 2, (2)f 处的切线方程是 ． 14．某大型工程遇到一个技术难题，工程总部将这个问题分别让甲研究所和乙研究所进行独立研 究，已知甲研究所独立研究并解决这个问题的概率为 0.6，乙研究所独立研究并解决这个问题 的概率为 0.7，这个技术难题最终能被解决的概率为 ． 15．已知直线 := 1(0)lykxk经过抛物线 2:2Cx py 的焦点 F ，且l 与 C 交于 A 、 B 两点，l 与 C 的准线交于点 E ，若 EF FB   ，则 p  ，k  ．（本题第一空 2 分，第二空 3 分．） 16．如右图，平面四边形 ABCD 中 ABD 的面积是 CBD 面积的两倍，数 列na 满足 1 1a  ， 2 5a  ，当 2n  时，恒有 12nnBD a a BA    1 3nnaaBC   ，则数列na 的前 6 项和为 ． 高三理科数学试题 第 3 页（共 4 页） 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23 为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题，共 60 分 17．（12 分） 在 ABC 中，角 ,,A BC的对应边分别为 ,,abc,已知 22A BC,且 22 22sinacb acC ． （1）求 A ； （2）若 ABC 的面积为 2 ，求 a ． 18．（12 分） 如图，在矩形 ABCD 中， 22AB AD， E 为边CD 的中点，以 EB 为折痕把△CEB 折 起，使点 C 到达点 P 的位置，且使平面 PEB ⊥ 平面 ABED ． （1）证明： PB ⊥平面 PEA； （2）求二面角 DPAE的余弦值． 19．（12 分） 已知椭圆 C： 22 221( 0)xy abab，若 2ab  ，离心率为 3 2 ． （1）求 C 的方程； （2）斜率为 1 2 的直线l 与椭圆交于 ,A B 两点，以线段 AB 为直径的圆过点 71(, )66P  ，求直 线 l 的方程． 20．（12 分） 已知函数 2() 1 sinf xx ax ，  0x aR ，， ， ()f x 是函数 ()f x 的导函数． （1）当 1a  时，证明：函数 ()f x 在区间 0 ， 没有零点； （2）若 () sin 0fx a xa 在  0x， 上恒成，求a 的取值范围． 21．（12 分） 某房产中介统计了深圳市某高档小区从 2018 年 12 月至 2019 年 11 月当月在售二手房均价（单 位：万元/平方米）的散点图，如下图所示，图中月份代码 1 至 12 分别对应 2018 年 12 月至 2019 年 11 月的相应月份． 高三理科数学试题 第 4 页（共 4 页） 根据散点图选择 yabx 和 lnycd x 两个模型进行拟合，根据数据处理得到两个回归方 程分别为 6.9057 0.0195yx   和 6.8639 0.1012lnyx   ，并得到以下一些统计量的值： 6.9057 0.0195yx   6.8639 0.1012lnyx   残差平方和 12 2 iii1 ()yy    0.0148557 0.0048781 总偏差平方和 12 2 iii1 ()yy    0.069193 （1）请利用相关指数 R2 判断哪个模型的拟合效果更好； （2）某位购房者拟于 2020 年 5 月份购买深圳市福田区 (50 160)ss 平方米的二手房（欲 购房为其家庭首套房）．若该小区所有住房的房产证均已满 3 年，请你利用（1）中拟合效果更 好的模型解决以下问题： （ⅰ）估算该购房者应支付的购房金额．（购房金额=房款+税费；房屋均价精确到 0.01 万元 /平方米） （ⅱ）若该购房者拟用不超过 760 万元的资金购买该小区一套二手房，试估算其可购买的 最大面积（精确到 1 平方米） 附注：根据有关规定,二手房交易需要缴纳若干项税费，税费是按照房屋的计税价格进行 征收．（计税价格=房款） 征收方式见下表： 购买首套房面积 s （平方米） 90s  90 144s 144s  契税（买方缴纳）的税率 1% 2% 4% 参考数据： ln 2 0.69,ln 3 1.10,ln17 2.83,ln19 2.94， 2 1.41, 3 1.73, 17 4.12, 19 4.36， 参考公式：相关指数 2 ii2 i1 2 iii1 () 1 () n n yy yy        R （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一 题计分． 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，直线 1l 的参数方程为 2x t ykt    （t 为参数），直线 2l 的参数方程为 2x m my k    （ m 为参数），设 1l 与 2l 的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 1C ．以坐标原 点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 4sin  ． （1）写出 1C 的普通方程； （2）求曲线 1C 和曲线 2C 交点的极坐标． 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知 0ab，函数   21f xx xaba b  （1）若 1, 2ba，求函数 f x 的最小值； （2）证明：  4fx ．