数学理·广东省中山一中2017届高三上学期第一次统测数学理试卷+Word版含解析

数学理·广东省中山一中2017届高三上学期第一次统测数学理试卷+Word版含解析

‎2016-2017学年广东省中山一中高三（上）第一次统测数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．已知集合A={1，2}，B={x|ax﹣3=0}，若B⊆A，则实数a的值是（　　）‎ A．0，，3 B．0，3 C．，3 D．3‎ ‎2．已知A={x|2x＜1}，B={x|y=}，则A∩B=（　　）‎ A．[﹣2，0） B．[﹣2，0] C．（0，+∞） D．[﹣2，+∞）‎ ‎3．以下选项中的两个函数不是同一个函数的是（　　）‎ A．f（x）=+ g（x）= B．f（x）= g（x）=（）3‎ C．f（x）=• g（x）= D．f（x）= g（x）=x0‎ ‎4．已知幂函数y=f（x）的图象过点（3，），则log4f（2）的值为（　　）‎ A． B．﹣ C．2 D．﹣2‎ ‎5．设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=（　　）‎ A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3‎ ‎6．设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（　　）‎ A．3 B．6 C．9 D．12‎ ‎7．方程log3x+x﹣3=0的解所在的区间是（　　）‎ A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）‎ ‎8．设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是（　　）‎ A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a ‎9．函数y=的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．下列有关命题的说法正确的是（　　）‎ A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”‎ B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”‎ D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题 ‎11．已知关于x的方程ax2+x+3a+1=0，在（0，3]上有根，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（﹣，﹣] B．[﹣，﹣] C．[﹣3，﹣2] D．（﹣3，﹣2]‎ ‎12．设集合S={A0，A1，A2}，在S上定义运算⊕：Ai⊕Aj=Ak，其中k为i+j被3除的余数，i，j∈{1，2，3}，则使关系式（Ai⊕Aj）⊕Ai=A0成立的有序数对（i，j）总共有（　　）‎ A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．已知函数f（x）定义域为[0，8]，则函数g（x）=的定义域为　　．‎ ‎14．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f（x+1）=f（x﹣1），当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（1）=　　．‎ ‎15．设函数f（x）=，则不等式f（x）≤2的解集是　　．‎ ‎16．已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：‎ ‎①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；‎ ‎②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；‎ ‎③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；‎ ‎④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．‎ 其中的真命题有　　（写出所有真命题的序号）．‎ ‎　‎ 三、解答题：本题共6题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）设f（x）=lg（ax2﹣2x+a），‎ ‎（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．‎ ‎（2）若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围．‎ ‎18．（12分）命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：∃x0∈R，x+2ax0+2﹣a=0，若p∧q为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎19．（12分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．‎ ‎（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；‎ ‎（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？‎ ‎20．（12分）已知函数（x∈[1，+∞）且m＜1）．‎ ‎（Ⅰ）用定义证明函数f（x）在[1，+∞）上为增函数；‎ ‎（Ⅱ）设函数，若[2，5]是g（x）的一个单调区间，且在该区间上g（x）＞0恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，‎ ‎（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；‎ ‎（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；‎ ‎（3）设m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？‎ ‎　‎ 请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．（10分）如图，已知PA与圆O相切于点A，OB⊥OP，AB交PO与点C．‎ ‎（Ⅰ）求证：PA=PC；‎ ‎（Ⅱ）若圆O的半径为3，OP=5，求BC的长．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．已知曲线C1：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设P为曲线C1上的点，点Q的极坐标为，求PQ中点M到曲线C2上的点的距离的最小值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，‎ ‎（Ⅰ）求+的最小值；‎ ‎（Ⅱ）求x的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省中山一中高三（上）第一次统测数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．（2015春•定州市期末）已知集合A={1，2}，B={x|ax﹣3=0}，若B⊆A，则实数a的值是（　　）‎ A．0，，3 B．0，3 C．，3 D．3‎ ‎【考点】集合的包含关系判断及应用．‎ ‎【专题】集合．‎ ‎【分析】本题考察集合间的包含关系，分成B=∅，B={1}，或B={2}讨论，求解即可．‎ ‎【解答】解：集合A={1，2}，若B⊆A，则B=∅，B={1}，或B={2}；‎ ‎①当B=∅时，a=0，‎ ‎②当B={1}时，a﹣3=0，解得a=3，‎ ‎③当B={2}时，2a﹣3=0，解得a=，‎ 综上，a的值是0，3，，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题容易忽略B=∅的情况．‎ ‎　‎ ‎2．（2016秋•广东校级月考）已知A={x|2x＜1}，B={x|y=}，则A∩B=（　　）‎ A．[﹣2，0） B．[﹣2，0] C．（0，+∞） D．[﹣2，+∞）‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．‎ ‎【分析】求出集合A，B，根据集合的基本运算，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：A={x|2x＜1}={x|x＜0}=（﹣∞，0），‎ B={x|y=}=[﹣2，+∞）‎ ‎∴A∩B=[﹣2，0），‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．‎ ‎　‎ ‎3．（2016秋•广东校级月考）以下选项中的两个函数不是同一个函数的是（　　）‎ A．f（x）=+ g（x）= B．f（x）= g（x）=（）3‎ C．f（x）=• g（x）= D．f（x）= g（x）=x0‎ ‎【考点】判断两个函数是否为同一函数．‎ ‎【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】判断两个函数是否为同一函数，应判定它们的定义域、值域以及对应关系是否相同，三方面都相同时是同一函数．‎ ‎【解答】解：A中f（x）的定义域是{x|x=1}，g（x）的定义域是{x|x=1}，且对应关系相同，∴是同一函数；‎ B中f（x），h（x）的定义域是R，且对应关系相同，∴是同一函数；‎ C中f（x）的定义域是{x|x≥1}，g（x）的定义域是{x|x≥1，或x≤﹣3}，∴不是同一函数；‎ D中f（x）与g（x）的定义域都是{x|x≠0}，值域都是{1}，对应关系相同，∴是同一函数；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（2015春•温州校级期中）已知幂函数y=f（x）的图象过点（3，），则log4f（2）的值为（　　）‎ A． B．﹣ C．2 D．﹣2‎ ‎【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．‎ ‎【专题】计算题；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】用待定系数法求出幂函数的解析式，计算log4f（2）的值．‎ ‎【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，‎ 图象过点（3，），‎ ‎∴3α=，‎ ‎∴α=，‎ ‎∴f（x）=（x≥0）；‎ ‎∴log4f（2）=log4=log42=×=；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了用待定系数法求出函数的解析式以及利用函数解析式求值的问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（2014•兴安盟二模）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），则f（﹣1）=（　　）‎ A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】据函数为奇函数知f（0）=0，代入函数的解析式求出b，求出f（1）的值，利用函数为奇函数，求出f（﹣1）．‎ ‎【解答】解：因为f（x）为定义在R上的奇函数，‎ 所以f（0）=20+2×0+b=0，‎ 解得b=﹣1，‎ 所以当x≥0时，f（x）=2x+2x﹣1，‎ 又因为f（x）为定义在R上的奇函数，‎ 所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（21+2×1﹣1）=﹣3，‎ 故选D．‎ ‎【点评】解决奇函数的问题，常利用函数若在x=0处有意义，其函数值为0找关系．‎ ‎　‎ ‎6．（2015•新课标II）设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（　　）‎ A．3 B．6 C．9 D．12‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【专题】计算题；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=，‎ 即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，‎ f（log212）==12×=6，‎ 则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（2012•东莞二模）方程log3x+x﹣3=0的解所在的区间是（　　）‎ A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）‎ ‎【考点】对数函数的图象与性质．‎ ‎【专题】数形结合．‎ ‎【分析】方程的解所在的区间，则对应的函数的零点在这个范围，把原函数写出两个初等函数，即两个初等函数的交点在这个区间，结合两个函数的草图得到函数的交点的位置在（1，3），再进行进一步检验．‎ ‎【解答】解：∵方程log3x+x=3即log3x=﹣x+3‎ 根据两个基本函数的图象可知两个函数的交点一定在（1，3），‎ 因m（x）=log3x+x﹣3在（1，2）上不满足m（1）m（2）＜0，‎ 方程 log3x+x﹣3=0 的解所在的区间是（2，3），‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查函数零点的检验，考查函数与对应的方程之间的关系，是一个比较典型的函数的零点的问题，注意解题过程中数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎8．（2015•山东）设a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，则a，b，c的大小关系是（　　）‎ A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a ‎【考点】不等式比较大小．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】直接判断a，b的大小，然后求出结果．‎ ‎【解答】解：由题意可知1＞a=0.60.6＞b=0.61.5，c=1.50.6＞1，‎ 可知：c＞a＞b．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查指数函数的单调性的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎9．（2016•株洲一模）函数y=的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】对数函数的图象与性质．‎ ‎【专题】数形结合．‎ ‎【分析】先由奇偶性来确定是A、B还是C、D选项中的一个，再通过对数函数，当x=1时，函数值为0，可进一步确定选项．‎ ‎【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，‎ 所以排除A，B 当x=1时，f（x）=0排除C 故选D ‎【点评】本题主要考查将函数的性质与图象，将两者有机地结合起来，并灵活地运用图象及其分布是数形结合解题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（2014•南昌模拟）下列有关命题的说法正确的是（　　）‎ A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”‎ B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”‎ D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题 ‎【考点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】对于A：因为否命题是条件和结果都做否定，即“若x2≠1，则x≠1”，故错误．‎ 对于B：因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．‎ 对于C：因为命题的否定形式只否定结果，应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法即可得到答案．‎ ‎【解答】解：对于A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”．因为否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．‎ 对于B：“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．‎ 对于C：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．‎ 因为命题的否定应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．‎ 由排除法得到D正确．‎ 故答案选择D．‎ ‎【点评】此题主要考查命题的否定形式，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，对于命题的否命题和否定形式要注意区分，是易错点．‎ ‎　‎ ‎11．（2016秋•广东校级月考）已知关于x的方程ax2+x+3a+1=0，在（0，3]上有根，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（﹣，﹣] B．[﹣，﹣] C．[﹣3，﹣2] D．（﹣3，﹣2]‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】讨论方程类型和方程在（0，3]上的根的个数，利用二次函数的性质列出不等式解出．‎ ‎【解答】解：当a=0时，方程x+1=0的零点为﹣1，不符合题意，∴a≠0．‎ ‎（1）若方程在（0，3]有一个根，‎ ‎①若3为方程的根，则12a+4=0，解得a=﹣，‎ ‎②若3不是方程的根，则或．‎ 解得a=﹣或无解．‎ ‎（2）若方程在（0，3]上有两个根，则，‎ 解得：﹣＜x≤﹣，‎ 综上，a的范围是[﹣，﹣]．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了方程根的个数判断，一元二次方程与二次函数的关系，不等式的解法，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（2013•广东模拟）设集合S={A0，A1，A2}，在S上定义运算⊕：Ai⊕Aj=Ak，其中k为i+j被3除的余数，i，j∈{1，2，3}，则使关系式（Ai⊕Aj）⊕Ai=A0成立的有序数对（i，j）总共有（　　）‎ A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 ‎【考点】元素与集合关系的判断．‎ ‎【专题】新定义．‎ ‎【分析】由题目给出的新定义可知满足关系式（Ai⊕Aj）⊕Ai=A0成立的有序数对（i，j）应保证（i+j）除以3的余数加i后除以3等于0，分别取i=1，j=1，2，3；i=2，j=1，2，3；i=3，j=1，2，3验证后即可得到答案．‎ ‎【解答】解：有定义可知满足（Ai⊕Aj）⊕Ai=A0成立的有序数对（i，j）应保证（i+j）除以3的余数加i后除以3等于0，‎ i=1，j=1，（1+1）除以3的余数是2，（2+1）除以3的余数是0；‎ i=1，j=2，（1+2）除以3的余数是0，（0+1）除以3的余数是1；‎ i=1，j=3，（1+3）除以3的余数是1，（1+1）除以3的余数是2；‎ i=2，j=1，（2+1）除以3的余数是0，（0+2）除以3的余数是2；‎ i=2，j=2，（2+2）除以3的余数是1，（1+2）除以3的余数是0；‎ i=2，j=3，（2+3）除以3的余数是2，（2+2）除以3的余数是1；‎ i=3，j=1，（3+1）除以3的余数是1，（1+3）除以3的余数是1；‎ i=3，j=2，（3+2）除以3的余数是2，（2+3）除以3的余数是2；‎ i=3，j=3，（3+3）除以3的余数是3，（3+3）除以3的余数是0．‎ 所以满足条件的数对有（1，1），（2，2），（3，3）共3对．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了元素与集合关系的判断，是新定义题，解答的关键是对题意的理解，是基础题型．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．（2016秋•广东校级月考）已知函数f（x）定义域为[0，8]，则函数g（x）=的定义域为　[0，3）∪（3，4]　．‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法．‎ ‎【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】题目给出了函数y=f（x）的定义域，只要让2x在函数f（x）的定义域内，且x≠3，求解x的范围即可．‎ ‎【解答】解：f（x）定义域为[0，8]，‎ ‎∴0≤2x≤8，‎ 即0≤x≤4，‎ ‎∴f（2x）的定义域为[0，4]，‎ ‎∴g（x）=，‎ ‎∴3﹣x≠0，‎ 解得x≠3，‎ 故函数g（x）=的定义域为[0，3）∪（3，4]，‎ 故答案为：[0，3）∪（3，4]‎ ‎【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，给出了函数f（x）的定义域为[a，b]，求函数f[g（x）]的定义域，只要用g（x）∈[a，b]，求解x的范围即可，此题是基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（2016秋•广东校级月考）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f（x+1）=f（x﹣1），当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（1）=　﹣2　．‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】推导出f（x+2）=f（x），f（1）=0，由此利用当0＜x＜1时，f（x）=4x，能求出f（﹣）+f（1）的值．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，‎ 对任意实数x有f（x+1）=f（x﹣1），‎ ‎∴f（x+2）=f（x），f（1）=f（﹣1）=﹣f（1），‎ ‎∴f（1）=0，‎ ‎∵当0＜x＜1时，f（x）=4x，‎ ‎∴f（﹣）+f（1）=﹣f（）+0=﹣f（）=﹣=﹣2．‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎15．（2015春•潍坊期末）设函数f（x）=，则不等式f（x）≤2的解集是　[0，+∞）　．‎ ‎【考点】指、对数不等式的解法；对数函数的单调性与特殊点．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据题意，分情况讨论：x≤1时，f（x）=21﹣x≤2；x＞1时，f（x）=1﹣log2x≤2，分别求解即可．‎ ‎【解答】解：x≤1时，f（x）=21﹣x≤2，‎ 解得 x≥0，因为x≤1，故0≤x≤1；‎ x＞1时，f（x）=1﹣log2x≤2，解得x≥，故x＞1．‎ 综上所述，不等式f（x）≤2的解集为[0，+∞）．‎ 故答案为：[0，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查分段函数、解不等式问题、对数函数的单调性与特殊点，属基本题，难度不大．‎ ‎　‎ ‎16．（2015•四川）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：‎ ‎①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；‎ ‎②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；‎ ‎③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；‎ ‎④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．‎ 其中的真命题有　①④　（写出所有真命题的序号）．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【专题】创新题型；开放型；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】运用指数函数的单调性，即可判断①；由二次函数的单调性，即可判断②；‎ 通过函数h（x）=x2+ax﹣2x，求出导数判断单调性，即可判断③；‎ 通过函数h（x）=x2+ax+2x，求出导数判断单调性，即可判断④．‎ ‎【解答】解：对于①，由于2＞1，由指数函数的单调性可得f（x）在R上递增，即有m＞0，则①正确；‎ 对于②，由二次函数的单调性可得g（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增，则n＞0不恒成立，‎ 则②错误；‎ 对于③，由m=n，可得f（x1）﹣f（x2）=g（x1）﹣g（x2），即为g（x1）﹣f（x1）=g（x2）﹣f（x2），‎ 考查函数h（x）=x2+ax﹣2x，h′（x）=2x+a﹣2xln2，‎ 当a→﹣∞，h′（x）小于0，h（x）单调递减，则③错误；‎ 对于④，由m=﹣n，可得f（x1）﹣f（x2）=﹣[g（x1）﹣g（x2）]，考查函数h（x）=x2+ax+2x，‎ h′（x）=2x+a+2xln2，对于任意的a，h′（x）不恒大于0或小于0，则④正确．‎ 故答案为：①④．‎ ‎【点评】本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题：本题共6题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）（2013秋•浏阳市校级期中）设f（x）=lg（ax2﹣2x+a），‎ ‎（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．‎ ‎（2）若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域．‎ ‎【专题】函数的性质及应用．‎ ‎【分析】（1）函数f（x）=lg（ax2﹣2x+a）的定义域是实数集，说明对任意实数x都有ax2﹣2x+a＞0成立，则该二次三项式对应的二次函数应开口向上，且图象与x轴无交点，由二次项系数大于0，且判别式小于0联立不等式组求解a的取值范围；‎ ‎（2）只有内层函数（二次函数）对应的图象开口向上，且与x轴有交点，真数才能取到大于0的所有实数，由此列式求解a的取值集合．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=lg（ax2﹣2x+a）的定义域为R，‎ ‎∴对任意x∈R都有ax2﹣2x+a＞0恒成立，‎ 则，解得：a＞1．‎ ‎∴使f（x）的定义域为R的实数a的取值范围是（1，+∞）；‎ ‎（2）∵f（x）=lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，‎ ‎∴ax2﹣2x+a能取到大于0的所有实数，‎ 则，解得：0＜a≤1．‎ ‎∴使f（x）的值域为R的实数a的取值范围是（0，1]．‎ ‎【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了函数的值域问题，考查了数学转化思想方法，解答的关键是对题意的理解，是中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2014春•泉州校级期末）命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0，命题q：∃x0∈R，x+2ax0+2﹣a=0，若p∧q为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【专题】简易逻辑．‎ ‎【分析】本题的关键是给出命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，命题q：“”为真时a的取值范围，在根据p、q中至少有一个为假，求实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵命题p：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，‎ ‎∴若p是真命题．则a≤x2，∵x∈[1，2]，‎ ‎∴a≤1；‎ ‎∵命题q：“”，‎ ‎∴若q为真命题，则方程x2+2ax+2﹣a=0有实根，‎ ‎∴△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，即，a≥1或a≤﹣2，‎ 若p真q也真时∴a≤﹣2，或a=1‎ ‎∴若“p且q”为假命题，即实数a的取值范围 a∈（﹣2，1）∪（1，+∞）‎ ‎【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2009•湖南）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经预测一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．‎ ‎（Ⅰ）试写出y关于x的函数关系式；‎ ‎（Ⅱ）当m=640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？‎ ‎【考点】根据实际问题选择函数类型；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【专题】应用题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设出相邻桥墩间距x米，需建桥墩个，根据题意余下工程的费用y为桥墩的总费用加上相邻两墩之间的桥面工程总费用即可得到y的解析式；‎ ‎（Ⅱ）把m=640米代入到y的解析式中并求出y′令其等于0，然后讨论函数的增减性判断函数的最小值时m的值代入中求出桥墩个数即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）相邻桥墩间距x米，需建桥墩个 则 ‎（Ⅱ）当m=640米时，y=f（x）=640×（+）+1024‎ f′（x）=640×（﹣+）=640×‎ ‎∵f′（26）=0且x＞26时，‎ f′（x）＞0，f（x）单调递增，‎ ‎0＜x＜26时，f′（x）＜0，f（x）单调递减 ‎∴f（x）最小=f（x）极小=f（26）=8704‎ ‎∴需新建桥墩个．‎ ‎【点评】考查学生会根据实际问题选择函数关系的能力，会利用导数研究函数的增减性以及求函数最值的能力．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2015秋•肇庆期末）已知函数（x∈[1，+∞）且m＜1）．‎ ‎（Ⅰ）用定义证明函数f（x）在[1，+∞）上为增函数；‎ ‎（Ⅱ）设函数，若[2，5]是g（x）的一个单调区间，且在该区间上g（x）＞0恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．‎ ‎【专题】综合题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设1≤x1＜x2＜+∞，=（x1﹣x2）（），由1≤x1＜x2＜+∞，m＜1，能够证明函数f（x）在[1，+∞）上为增函数．‎ ‎（Ⅱ），对称轴，定义域x∈[2，5]，由此进行分类讨论，能够求出实数m的取值范围．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：设1≤x1＜x2＜+∞，‎ ‎=（x1﹣x2）（）‎ ‎∵1≤x1＜x2＜+∞，m＜1，‎ ‎∴x1﹣x2＜0，＞0，‎ ‎∴f（x1）＜f（x2）‎ ‎∴函数f（x）在[1，+∞）上为增函数．‎ ‎（Ⅱ）解：‎ 对称轴，定义域x∈[2，5]‎ ‎①g（x）在[2，5]上单调递增，且g（x）＞0，‎ ‎②g（x）在[2，5]上单调递减，且g（x）＞0，‎ 无解 综上所述 ‎【点评】本题考查函数的恒成立问题的性质和应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2009•湖北校级模拟）已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，‎ ‎（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；‎ ‎（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；‎ ‎（3）设m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【专题】综合题；压轴题．‎ ‎【分析】（1）f（﹣1）=0⇒a﹣b+1=0，又值域为[0，+∞）即最小值为0⇒4a﹣b2=0，求出f（x）的表达式再求F（x）的表达式即可；‎ ‎（2）把g（x）的对称轴求出和区间端点值进行分类讨论即可．‎ ‎（3）f（x）为偶函数⇒对称轴为0⇒b=0，把F（m）+F（n）转化为f（m）﹣f（n）=a（m2﹣n2）再利用m＞0，n＜0，m+n＞0，a＞0来判断即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（﹣1）=0，‎ ‎∴a﹣b+1=0①（1分）‎ 又函数f（x）的值域为[0，+∞），所以a≠0‎ 且由知即4a﹣b2=0②‎ 由①②得a=1，b=2（3分）‎ ‎∴f（x）=x2+2x+1=（x+1）2．‎ ‎∴‎ ‎（2）由（1）有g（x）=f（x）﹣kx=x2+2x+1﹣kx=x2+（2﹣k）x+1=，（7分）‎ 当或时，‎ 即k≥6或k≤﹣2时，g（x）是具有单调性．（9分）‎ ‎（3）∵f（x）是偶函数 ‎∴f（x）=ax2+1，∴，（11分）‎ ‎∵m＞0，n＜0，则m＞n，则n＜0．又m+n＞0，m＞﹣n＞0，‎ ‎∴|m|＞|﹣n|（13分）‎ ‎∴F（m）+F（n）=f（m）﹣f（n）=（am2+1）﹣an2﹣1=a（m2﹣n2）＞0，‎ ‎∴F（m）+F（n）能大于零．（16分）‎ ‎【点评】本题是对二次函数性质的综合考查．其中（1）考查了二次函数解析式的求法．二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活的选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移，对称，函数的周期性，奇偶性等知识有机的结合在一起．‎ ‎　‎ 请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．（10分）（2015春•武汉校级期末）如图，已知PA与圆O相切于点A，OB⊥OP，AB交PO与点C．‎ ‎（Ⅰ）求证：PA=PC；‎ ‎（Ⅱ）若圆O的半径为3，OP=5，求BC的长．‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段．‎ ‎【专题】立体几何．‎ ‎【分析】（1）由于PA与圆O相切于点A，可得OA⊥AP，于是∠OAC+∠PAC=90°．由于OB⊥OP，可得∠OCB+∠B=90°．利用OA=OB，可得∠OAC=∠OBC．可得∠PAC=∠OCB．利用对顶角相等可得∠OCB=∠PCA，进而得到∠PAC=∠PCA，即可证明PA=PC．‎ ‎（2）在Rt△OAP中，利用勾股定理可得，即可得出PC=4．进而得到OC=OP﹣CP．在Rt△OBC中，利用勾股定理可得BC2=OB2+OC2即可．‎ ‎【解答】（1）证明：∵PA与圆O相切于点A，‎ ‎∴OA⊥AP，∴∠OAC+∠PAC=90°．‎ ‎∵OB⊥OP，∴∠OCB+∠B=90°．‎ ‎∵OA=OB，∴∠OAC=∠OBC．‎ ‎∴∠PAC=∠OCB，‎ 又∵∠OCB=∠PCA，‎ ‎∴∠PAC=∠PCA，‎ ‎∴PA=PC．‎ ‎（2）解：在Rt△OAP中，=4．‎ ‎∴PC=4．‎ ‎∴OC=OP﹣CP=1．‎ 在Rt△OBC中，BC2=OB2+OC2=32+12=10．‎ ‎∴．‎ ‎【点评】本题考查了圆的切线的性质、勾股定理、圆的性质、对顶角相等的性质、等角对等边的性质等基础知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．（2015春•武汉校级期末）已知曲线C1：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设P为曲线C1上的点，点Q的极坐标为，求PQ中点M到曲线C2上的点的距离的最小值．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【专题】坐标系和参数方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）消去参数t，可得曲线C1的参数方程化为普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设出Q，求出M，然后利用点到直线的距离公式以及三角函数的最值求解即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），消去参数可得：，‎ 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．化为ρcosθ﹣2ρsinθ=7，它的普通方程为：x﹣2y﹣7=0．‎ ‎（Ⅱ）设P为曲线C1上的点，点Q的极坐标为，Q的直角坐标为：（﹣4，4），‎ 设P（8cost，3sint），故M（﹣2+4cost，2+），PQ中点M到曲线C2上的点的距离d==（其中tanβ=），‎ 当sint=，cost=时，PQ中点M到曲线C2上的点的距离最小值为：．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的参数方程以及直线的极坐标方程的应用，点到直线的距离公式的应用，三角函数的最值的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．（2016•商洛模拟）已知a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，‎ ‎（Ⅰ）求+的最小值；‎ ‎（Ⅱ）求x的取值范围．‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数恒成立问题．‎ ‎【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用“1”的代换，化简+，结合基本不等式求解表达式的最小值；‎ ‎（Ⅱ）利用第一问的结果．通过绝对值不等式的解法，即可求x的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0且a+b=1‎ ‎∴=，‎ 当且仅当b=2a时等号成立，又a+b=1，即时，等号成立，‎ 故的最小值为9．‎ ‎（Ⅱ）因为对a，b∈（0，+∞），使恒成立，‎ 所以|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，‎ 当 x≤﹣1时，2﹣x≤9，∴﹣7≤x≤﹣1，‎ 当 时，﹣3x≤9，∴，‎ 当 时，x﹣2≤9，∴，∴﹣7≤x≤11．‎ ‎【点评】本题考查函数的最值基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力．‎ ‎　‎