2019-2020学年山西大学附中高一上学期期中考试 数学

2019-2020学年山西大学附中高一上学期期中考试 数学

山大附中 2019~2020 学年第一学期期中考试 高一年级数学试题 考查时间：90 分钟 考查内容：必修 1 第一章、第二章部分 一．选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中只有 一个选项符合题目要求） 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．下列根式与分数指数幂的互化，正确的是 ( ) A． B． C． D． 3．已知 ，则 a，b，c 的大小关系（ ） A． B． C． D． 4．函数 的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 5．若 是偶函数，且对任意 且 ，都有 ，则 下列关系式中成立的是（ ） A． B． C． D． 6．若函数 在 上的值域为 ，则 在 上的值域为（ ） A． B． C． D． { }2| 2 3 0A x x x= − − ≤ { }| 2 1xB y y= = + A B = ∅ ( ]1,3 ( ]0,3 ( )1,+∞ 1 2( ) ( 0)x x x− = − ≥ 1 6 2 3 ( 0)x x x= ≤ 33 4 4 1 ( 0)x xx −  = >   1 33 ( 0)x x x − = − ≠ 3 2 1 2 1= 0.3 log 22a b c−  = =   ， ， a c b> > c b a> > b a c> > 2 1 3 log ( 3 2)y x x= − + ( )2,+∞ 3 ,2  +∞   ( ),1−∞ 3, 2  −∞   ( )f x 1 2,x x (0, )+∞ 1 2x x≠ 1 2 3( ) ( ) ( )2 3 4f f f> − > 1 3 2( ) ( ) ( )2 4 3f f f> − > 3 1 2( ) ( ) ( )4 2 3f f f> − > 3 2 1( ) ( ) ( )4 3 2f f f− > > ( ) 3 1f x ax bx= + + [ ],m n [ ]2,4 ( ) 3 2g x ax bx= + − [ ],n m− − [ ]4, 2− − [ ]6, 3− − [ ]1,1− [ ]5, 3− − 7．已知函数 且 ）是增函数，那么函数 的图象大致 是（ ） A． B． C． D． 8．已知函数 ，则 （ ） A． B． C． D．5 9．不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 10．奇函数 在区间 上单调递减，且 ，则不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 二．填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．函数 的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标 是_____. 12．函数 的定义域为__________（结果用区间表示）. ( 0xy a a−= > 1a ≠ 1( ) log 1af x x = + ( ) ( ) 1 , 02 2 , 0 x xf x f x x   ≥ =    + < 2 1log 5f   =   5 16 5 4 5 2 14 3 2 16 0x x+− ⋅ − > { }| 3x x > { }| 8x x > { | 2 8}x x− < < ( )f x ( ),0−∞ ( )1 0f − = ( 1) ( 1) 0x f x− − < ( , 0) (2, )−∞ +∞ ( , 1) (1, )−∞ − +∞ ( ,0) (1,2)−∞  ( , 1) (1,2)−∞ −  ( ) ( )2 11 2 log 1 xf x x = − + + 13．已知函数 对于任意实数 满足条件 ，若 ，则 . 14．已知函数 是 上的增函数，则实数 的取 值范围为_____． 15．若函数 同时满足：①对于定义域上的任意 ，恒有 ； ②对 于定义域上的任意 ，当 时，恒有 ，则称函数 为“理 想函数”.下列四个函数中： ① ，② ，③ ，④ ， 能被称为“理想函数”的有_____________（填相应的序号）. 三．解答题（本题共 4 大题，共 40 分） 16.求值： （1） （2）已知 ，且 ,求 17．已知 是二次函数，且满足 . x 21 52 ( 1)( ) 2 4 log ( 1)a a x x xf x x x − + − <=   ≥ ( ),−∞ +∞ a x 1 2x x， 1 2x x≠ ( )f x (0) 2, ( 1) ( ) 2 3f f x f x x= + − = + （1）求函数 的解析式. （2）设 ，当 时，求函数 的最小值. 18．定义在 上的奇函数 ，已知当 时， ． （ ）求 在 上的解析式． （ ）若 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 19．已知函数 ． （1）若函数 ，求函数的值域； （2）若关于 的方程 有实根，求实数 m 的取值范围. 山西大学附中 2019~2020 学年高一第一学期期中考试 数学评分细则 一．选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中只有 一个选项符合题目要求） 1.B 2.C 3.D 4.A 5.A 6. D 7. D 8.A 9.A 10．A 二．填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11. 12. 13．-2 14. 15.③④ 16.求值： ( )f x ( ) ( ) 2h x f x tx= − [1, )x∈ +∞ ( )h x [ 4,4]− ( )f x [ 4,0]x∈ − 1( ) ( )4 3x x af x a= + ∈R 1 ( )f x [0,4] 2 [ 2, 1]x∈ − − 1 1( ) 2 3x x mf x −≤ − m ( )1,0− 5 32 a≤ ≤ （3） （4）已知 ，且 ,求 ． 【答案】（1）-3（2） 17．已知 是二次函数，且满足 （1）求函数 的解析式 （2）设 ，当 时，求函数 的最小值 【答案】（1） （2） 18．定义在 上的奇函数 ，已知当 时， ． （ ）求 在 上的解析式． （ ）若 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） . 19．已知函数 ． （1）若函数 ，求函数的值域； （2）若关于 的方程 有实根，求实数 的取值范围. 【答案】（1）值域为 ；（2） 解析： 1．已知集合 ， ，则 （） A． B． C． D． 【答案】B 1− ( )f x (0) 2, ( 1) ( ) 2 3f f x f x x= + − = + ( )f x ( ) ( ) 2h x f x tx= − [1, )x∈ +∞ ( )h x 2( ) 2 2f x x x= + + ( ) 2min 5 2 ,( 2) 2 1,( 2) t th x t t t − ≤= − + + ＞ [ 4,4]− ( )f x [ 4,0]x∈ − 1( ) ( )4 3x x af x a= + ∈R 1 ( )f x [0,4] 2 [ 2, 1]x∈ − − 1 1( ) 2 3x x mf x −≤ − m ( ) 3 4x xf x = − 17m 2 ≥ ( ) ( )2log 2 1xf x = + ( ) ( ) ( )2log 2 1xg x f x= − − x ( ) [ ], 0,1f x x m x= + ∈ m ( ),0−∞ [ ]2log 3 1,1m∈ − { }2| 2 3 0A x x x= − − ≤ { }| 2 1xB y y= = + A B = ∅ ( ]1,3 ( ]0,3 ( )1,+∞ 【解析】 【分析】 根据一元二次不等式的解集和指数函数的值域求得. 【详解】 由已知解得 ， 所以 ，故选 B. 【点睛】 本题考查一元二次不等式的解集、指数函数的值域和集合的交集运算，属于基础题. 2．下列根式与分数指数幂的互化，正确的是 ( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 利用根式与分数指数幂的关系化简计算即可。 【详解】 ，故 A 错 ，当 时， 故 B 错 ，故 D 错 所以选 C 【点睛】 本题考查根式与分数指数幂的化简计算，属于基础题。 [ ] ( )1,3 , 1,A B= − = +∞ ( ]1,3A B = 1 2( ) ( 0)x x x− = − ≥ 1 6 2 3 ( 0)x x x= ≤ 33 4 4 1 ( 0)x xx −  = >   1 33 ( 0)x x x − = − ≠ 1 2 ( 0)x x x− = − ≥ 1 6 2 3x x= 1 3 3 1 ( 0)x xx − = ≠ 3．已知 ，则 a，b，c 的大小关系（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 利用指数函数的单调性与 1 作比较可以得出 a 与 b 的大小关系，通过对数函数的图像性 质可以得到 ，得到最终的结果. 【详解】 由指数函数和对数函数图像可知： ， 则 的大小关系是： . 故选：D． 【点睛】 本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4．函数 的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 先求函数 的定义域，再由复合函数的内外函数同增异减的性质判断 单调区间 【详解】 因为 ，所以 ，解得 或 3 2 1 2 1= 0.3 log 22a b c−  = =   ， ， a b c> > a c b> > c b a> > b a c> > 0c < 3 2 1 2 1 (0,1), 0.3 1, log 2 02a b c− = ∈ = > = <   a b c， ， b a c> > 2 1 3 log ( 3 2)y x x= − + ( )2,+∞ 3 ,2  +∞   ( ),1−∞ 3, 2  −∞   2 1 3 log ( 3 2)y x x= − + 2 1 3 log ( 3 2)y x x= − + 2 3 2 0x x− + > 1x < 2x > 令 ，因为 的图像开口向上，对称轴方程为 ， 所以内函数 在 上单调递增， 外函数 单调递减， 所以由复合函数单调性的性质可知函数 的单调递减区间为 故选 A. 【点睛】 本题考查复合函数的单调性，解题的关键是掌握复合函数单调性同增异减的方法，属于 一般题。 5．若 是偶函数，且对任意 ∈ 且 ，都有 ，则 下列关系式中成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由于对任意的 x1，x2∈（0，+∞），都有 ，可得函数 f（x）在（0，+∞） 上单调递减，即可得出． 【详解】 ∵对任意的 x1，x2∈（0，+∞），都有 ， ∴函数 f（x）在（0，+∞）上单调递减， 2 3 2t x x= − + 2 3 2y x x= − + 3 2x = 2 3 2t x x= − + ( )2,+∞ 1 3 logy t= 2 1 3 log ( 3 2)y x x= − + ( )2,+∞ ( )f x 1 2,x x (0, )+∞ 1 2x x≠ ( ) ( )2 1 2 1 0- f x f x x x − < 1 2 3( ) ( ) ( )2 3 4f f f> − > 1 3 2( ) ( ) ( )2 4 3f f f> − > 3 1 2( ) ( ) ( )4 2 3f f f> − > 3 2 1( ) ( ) ( )4 3 2f f f− > > ( ) ( )2 1 2 1 0- f x f x x x − < ( ) ( )2 1 2 1 0- f x f x x x − < 又∵ ， ∴ ， 又∵f（x）是偶函数，∴f（﹣ ）＝f（ ）． ∴ ． 故选：A． 【点睛】 本题考查了函数的奇偶性、单调性的应用，属于基础题． 6．若函数 在 上的值域为 ，则 在 上的值域为（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数 h（x），根据函数的奇偶性及对称性即可求解． 【详解】 函数 在[m,n]上的值域为[2,4]， 设 h（x）＝ = ，则 h（x）在[m,n]上的值域为[1,3]， 且满足 h（﹣x）＝ h（x）， ∴h（x）是定义域 R 上的奇函数；∴h（x）在[ n, m]上的值域为[ 3, 1] 又 g（x）＝h（x） 2，∴g（x）在[ n, m]上的值域为[ 5, 3] 故选：D． 1 2 3 2 3 4 < < 1 2 3 2 3 4f f f                ＞ ＞ 2 3 2 3 1 2 3 2 3 4f f f     −          ＞ ＞ ( ) 3 1f x ax bx= + + [ ],m n [ ]2,4 ( ) 3 2g x ax bx= + − [ ],n m− − [ ]4, 2− − [ ]6, 3− − [ ]1,1− [ ]5, 3− − ( ) 3 1f x ax bx= + + 3ax bx+ ( ) 1f x − ( ) ( )3a x b x− + − = − - − - − - - − - − 【点睛】 本题考查了函数的奇偶性的应用问题，构造函数是解题的关键，是基础题． 7． 且 ）是增函数，那么函数 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据函数 且 ）的单调性判断底数 的范围，得到函数 的图象，再利用图象平移得到函数 的图象． 【详解】 解；∵ 可变形为 ，若它是增函数，则 ， ，∴ 为过点（1，0）的减函数， ∴ 为过点（1，0）的增函数， ∵ 图象为 图象向左平移 1 个单位长度， ∴ 图象为过（0，0）点的增函数，故选：D． 【点睛】 本题考查了指对数函数的单调性，以及图象的平移变化，做题时要认真观察． 8．已知函数 ，则 （） ( 0xy a a−= > 1a ≠ 1( ) log 1af x x = + ( 0xy a a−= > 1a ≠ a ( ) logaf x x= 1( ) log 1af x x = + xy a−= 1( )xy a = 1 1a > 0 1a∴ < < ( ) logaf x x= ( ) logaf xx = − 1( ) log 1af x x = + ( ) logaf xx = − 1( ) log 1af x x = + ( ) ( ) 1 , 02 2 , 0 x xf x f x x   ≥ =    + < 2 1log 5f   =   A． B． C． D．5 【答案】A 【解析】 【分析】 先判断自变量的范围是分段函数的某一段，再代入相应的解析式中求函数的值. 【详解】 ， ， ， 故选 A. 【点睛】 本题考查分段函数和对数运算，属于中档题. 9．不等式 的解集为（ ） A． B． C． ，或 D． 【答案】A 【解析】 【分析】 将原不等式左边因式分解，由此求解出不等式的解集. 【详解】 由 得 ， ，由于 5 16 5 4 5 2 2 2 2 2 1 1 1 4log 0, log log 2 log5 5 5 5f f f     < ∴ = + =           2 2 2 2 4 4 4 16log 0, log log 2 log5 5 5 5f f f     < ∴ = + =           ( )2 22 16log 516 log5 log1 165 2 2 16 16 1 5log 0, log 2 25 5 2 16f    −     > ∴ = = = =       14 3 2 16 0x x+− ⋅ − > { }| 3x x > { }| 8x x > { 8x x }2x < − { | 2 8}x x− < < 14 3 2 16 0x x+− ⋅ − > ( )2 2 6 2 16 0x x− ⋅ − > ( )( )2 2 2 8 0x x+ − > 2 2 0x + > 恒成立，故 ，即 .故选 A. 【点睛】 本小题主要考查因式分解法解不等式，考查指数不等式的解法，属于基础题. 10．奇函数 在区间 上单调递减，且 ，则不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数 为奇函数，以及 上的单调性，判断出 上的单调性，求得 的值，对 分为 四种情况讨论，由此求得不等式 的解集，进而求得 的解集. 【详解】 由于函数 为奇函数，且在 上递减，故在 上递减，由于 ，所以当 或 时， ；当 或 时， .所以当 或 时 .故当 或 即 或 时， .所以不等式 的解集为 .故本小题选 A. 【点睛】 本小题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查函数变换，考查含有函数符号的不等式的 解法，属于中档题. 2 8 0x − > 32 2 , 3x x> > ( )f x ( ),0−∞ ( )1 0f − = ( 1) ( 1) 0x f x− − < ( , 0) (2, )−∞ +∞ ( , 1) (1, )−∞ − +∞ ( ,0) (1,2)−∞  ( , 1) (1,2)−∞ −  ( )f x ( ),0−∞ ( )0, ∞+ ( )1f x 1, 1 0,0 1, 1x x x x< − − < < < < > ( ) 0x f x⋅ < ( 1) ( 1) 0x f x− − < ( )f x ( ),0−∞ ( )0, ∞+ ( ) ( )1 1 0f f= − − = 1x < − 0 1x< < ( ) 0f x > 1 0x− < < 1x > ( ) 0f x < 1x < − 1x > ( ) 0x f x⋅ < 1 1x − < − 1 1x − > 0x < 2x > ( 1) ( 1) 0x f x− − < ( 1) ( 1) 0x f x− − < ( , 0) (2, )−∞ +∞ 12．函数 的定义域为__________（结果用区间表示）。 【答案】 【解析】 【分析】 根据函数的定义域需满足 ，解不等式. 【详解】 根据题意可得 ， ， ， 即函数的定义域是 故填： . 【点睛】 本题考查了函数多的定义域，属于简单题型. 13．已知函数 对于任意实数 满足条件 ，若 ，则 . 【答案】-2 【解析】 【分析】 根据条件可得函数是周期为 的函数，，然后利用周期性即可得到答案。 【详解】 ( ) ( )2 11 2 log 1 xf x x = − + + ( )1,0− 1 2 0 1 0 1 1 x x x  − ≥  + >  + ≠ 1 2 0 1 0 1 1 x x x  − ≥  + >  + ≠ 0 1 0 x x x ≤ ∴ > −  ≠ 1 0x∴− < < ( )1,0− ( )1,0− x 4 因为 ， 所以 即函数的周期是 4，所以 又因为 ，所以 故为-2. 【点睛】 本题考查函数的周期性，解题的关节是求出函数的周期，属于一般题。 14．已知函数 是 上的增函数，则实数 的取 值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】 因为函数 是 上的增函数，所以当 ，时 是增函数，当 ， 也是增函数，且 ，从而可得答案。 【详解】 因为函数 是 上的增函数，所以当 ，时 1( 2) ( )f x f x + = − ( ) ( ) ( ) ( )14 2 2 2f x f x f xf x + = + + = − =+ 21 52 ( 1)( ) 2 4 log ( 1)a a x x xf x x x − + − <=   ≥ ( ),−∞ +∞ a 5 32 a≤ ≤ 21 52 ( 1)( ) 2 4 log ( 1)a a x x xf x x x − + − <=   ≥ ( ),−∞ +∞ 1x ≥ ( ) logaf x x= 1x < ( ) 21 522 4 af x x x −= + − max min( ) ( 1) ( ) ( 1)f x x f x x< ≤ ≥ 21 52 ( 1)( ) 2 4 log ( 1)a a x x xf x x x − + − <=   ≥ ( ),−∞ +∞ 1x ≥ 是增函数，即 且 ； 当 ， 也是增函数，所以 即 （舍） 或 ，解得 且 因为 是 上的增函数，所以 即 ， 解得 ， 综上 【点睛】 本题以分段函数为背景考查函数的奇偶性，解题的关键是既要在整个定义域上是增函数， 也要在各段上是增函数且 15．若函数 同时满足：①对于定义域上的任意 ，恒有 ； ②对于定 义域上的任意 ，当 时，恒有 ，则称函数 为“理想函 数”. 给出下列四个函数中： ① ，② ，③ ，④ ， 能被称为“理想函数”的有_____________（填相应的序号）. 【答案】③④ 【解析】 ( ) logaf x x= 1a > ( ) log1 1 0af = = 1x < ( ) 21 522 4 af x x x −= + − 1 02 a− = 1a = 1 02 2 112 2 a a − < − ≥ −× 1 3a< £ ( ) 1 5 1 31 22 4 2 4 a af − −= + − = + ( )f x ( ),−∞ +∞ max min( ) ( 1) ( ) ( 1)f x x f x x< ≤ ≥ 1 3 02 4 a− + ≤ 5 2a ≥ 5 32 a≤ ≤ max min( ) ( 1) ( ) ( 1)f x x f x x< ≤ ≥ f ( )x x f ( )+f ( ) 0x x− = 1 2x x， 1 2x x≠ 1 2 1 2 f( ) f( ) 0x x x x − <− f ( )x 1f( )=x x 2f( )=x x ( ) 2 2 , 0 , 0 x xf x x x − ≥=  < 由题意，性质①反映了函数 为定义域上的奇函数，性质②反映了函数 为定 义域上的单调递减函数， ①中，函数 为定义域上的奇函数，但不是定义域上的单调减函数，所以不正确； ②中，函数 为定义域上的偶函数，所以不正确； ③中，函数 的定义域为 ，由于 的， 为单调减函数，所以函数 为定义域上的减函数，所以正确； ④中，函数 的图象如图所示，显然此函数为奇函数，且在定义域上 为减函数，所以为理想函数，综上，答案为③④． 点睛：本题主要考查了抽象函数的表达式反映的函数的基本性质，对新定义的函数理 解能力，其中对于函数的奇偶性、函数的单调性的定义是基本初等函数的单调性和奇偶 性的主要判定方法，同时对于分段函数的单调性和奇偶性可以利用数形结合的方法加以 判定，考查了分析问题和解答问题的能力． 16．(1)求值： （2）已知 0＜x＜1，且 x+x-1=3，求 ． 【答案】（1）-3（2） 【解析】 【分析】(1)解： = +（ 2 ―1）0 ( )f x ( )f x ( ) 1f x x = ( ) 2f x x= R ( ) 2 2 0 0 x xf x x x − ≥=  < 1 1 2 2x x −− 1− = 2+1 =-3． 故答案为：﹣3． （2）由题意：0＜x＜1， ＜0 因为（ ）2=x+x-1-2=3-2=1． （ ）2=1, 故得 =-1. 【点睛】 本题考查分数指数幂运算，考查基本分析求解能力，属基础题. 17．已知 是二次函数，且满足 （1）求函数 的解析式 （2）设 ，当 时，求函数 的最小值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）设 ，利用 可取 ，利用恒等式 可求 ，从而得到 的解析式. （2）由（1）可得 ，分 和 两种情况讨论即可. 【详解】 （1）设 ，∵ ， 1 1 2 2x x −− 1 1 2 2x x −− 1 1 2 2x x −− 1 1 2 2x x −− ( )f x (0) 2, ( 1) ( ) 2 3f f x f x x= + − = + ( )f x ( ) ( ) 2h x f x tx= − [1, )x∈ +∞ ( )h x 2( ) 2 2f x x x= + + ( ) 2min 5 2 ,( 2) 2 1,( 2) t th x t t t − ≤= − + + ＞ 2( ) ( 0)f x ax bx c a= + + ≠ ( )0 2f = c ( 1) ( ) 2 3f x f x x+ − = + ,a b ( )f x 2( ) 2(1 ) 2h x x t x= + − + 2t ≤ 2t > 2( ) ( 0)f x ax bx c a= + + ≠ (0) 2, ( 1) ( ) 2 3f f x f x x= + − = + ∴ ， 即 ，所以 ， 解得 ，∴ . （2）由题意得 ，对称轴为直线 ， ①当 即 时，函数在 单调递增 ； ②当 即 时，函数在 单调递减，在 单调递增， ， 综上： 【点睛】 求二次函数的解析式，应根据题设条件设出合理的解析式的形式（如一般式、双根式、 顶点式），二次函数在给定范围的最值问题，应该根据开口方向和最值的类型选择合理的 分类方法. 18．定义在 上的奇函数 ，已知当 时， ． （ ）求 在 上的解析式． （ ）若 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 分析：（1）根据奇函数的性质即可求出 a，设 时， ，易求 ( ) ( )2 2 2 1 1 2 3 c a x b x c ax bx c x =  + + + + − + + = +   2 2 2 3 c ax a b x =  + + = + 2 2 2 3 c a a b =  =  + = 2 1 2 c a b =  =  = 2( ) 2 2f x x x= + + 2( ) 2(1 ) 2h x x t x= + − + 1x t= − 1 1t − ≤ 2t ≤ [1, )+∞ ( )min (1) 5 2h x h t= = − 1 1t − > 2t > [1, 1]t − [ 1, )t − +∞ ( ) 2 min ( 1) 2 1h x h t t t= − =− + + ( ) 2min 5 2 ,( 2) 2 1,( 2) t th x t t t − ≤= − + + > [ 4,4]− ( )f x [ 4,0]x∈ − 1( ) ( )4 3x x af x a= + ∈R 1 ( )f x [0,4] 2 [ 2, 1]x∈ − − 1 1( ) 2 3x x mf x −≤ − m ( ) 3 4x xf x = − 17m 2 ≥ [ ]0,4x∈ [ ]4,0x− ∈ − ，根据奇函数性质可得； （2）分离参数，构造函数，求出函数的最值问题得以解决. 详解：（ ）∵ 是定义在 上的奇函数， ∴ ，得 ． 又∵当 时， ， ∴当 时， ， ． 又 是奇函数， ∴ ． 综上，当 时， ． （ ）∵ ， 恒成立，即 在 恒成立， ∴ 在 时恒成立． ∵ ， ∴ ． ∵ 在 上单调递减， ∴ 时， 的最大值为 ， ∴ ． ( )f x− 1 ( )f x [ ]4,4− ( )0 1 0f a= + = 1a = − [ ]4,0x∈ − ( ) 1 1 1 4 3 4 3x x x x af x = + = − [ ]0,4x∈ [ ]4,0x− ∈ − ( ) 1 1 4 34 3 x x x xf x − −− = − = − ( )f x ( ) ( ) 3 4x xf x f x= − − = − [ ]0,4x∈ ( ) 3 4x xf x = − 2 [ ]2, 1x∈ − − ( ) 1 1 2 3x x mf x −≤ − 1 1 1 1 4 3 2 3x x x x m −− ≤ − [ ]2, 1x∈ − − 1 2 4 3 2x x x m+ ≤ [ ]2, 1x∈ − − 2 0x > 1 222 3 x x m   + ⋅ ≤       ( ) 1 222 3 x x g x    = + ⋅       R [ ]2, 1x∈ − − ( ) 1 222 3 x x g x    = + ⋅       ( ) 2 21 2 172 22 3 2g − −   − = + ⋅ =       17 2m ≥ 即实数 的取值范围是 ． 点睛：本题考查函数的奇偶性及其应用，不等式恒成立问题，考查学生解决问题的能力. 19．已知函数 ． （1）若函数 ，求函数的值域； （2）若关于 的方程 有实根，求实数 的取值范围. 【答案】（1）值域为 ；（2） 【解析】 【分析】 （1）根据定义域不关于原点对称，可知为非奇非偶函数；利用分离常数的方式可知 ，根据 的范围求得 ，从而得到 的值域； （2）将问题转化为 有实根；构造 ，根据复合函数单调性 求得 单调性，根据单调性求得 的值域，进而得到 的范围. 【详解】 （1）由 得 定义域为： 由题意知： 当 时， 所以 所以函数 的值域为 m 17 ,2  +∞  ( ) ( )2log 2 1xf x = + ( ) ( ) ( )2log 2 1xg x f x= − − x ( ) [ ], 0,1f x x m x= + ∈ m ( ),0−∞ [ ]2log 3 1,1m∈ − ( ) 2 2log 1 2 1xxg  = − +  2x ( )21 0,12 1x − ∈+ ( )g x ( )m f x x= − ( ) ( )h x f x x= − ( )h x ( )h x m 2 1 0x − > ( )f x ( )0, ∞+ ( ) 2 2 2 1 2log log 12 1 2 1 x x xg x −  = = − + +  ( )0,x∈ +∞ ( )21 0,12 1x − ∈+ ( )2 21 ,0l g 2 1o x  − ∈ −∞ +  ( )g x ( ),0−∞ （2）方程有实根，即 有实根 构造函数 则 因为函数 在 上单调递减，而 在 上单调递增 所以复合函数 是 上的单调递减函数 所以 在 上最小值为 ，最大值为 即 ，所以当 时，方程有实根 【点睛】 本题考查函数奇偶性的判断、函数值域的求解、根据方程根的情况求解参数范围.解决方 程根的个数的问题，关键是能够通过分离变量将问题转化为参数与新函数的交点问题， 通过求解值域得到结果. ( )m f x x= − ( ) ( ) ( )2log 2 1xh x f x x x= − = + − ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 1log 2 1 log 2 log log 2 12 x x x x xxh −+= + − = = + 2 1xy −= + R 2logy x= ( )0, ∞+ ( ) ( )2log 2 1xh x −= + R ( )h x [ ]0,1 ( ) ( )1 2 2 2 31 log 2 1 log log 3 12h −= + = = − ( ) ( )0 20 log 2 1 1h −= + = ( ) [ ]2log 3 1,1h x −∈ [ ]2log 3 1,1m∈ −