2017-2018学年四川省双流中学高二6月月考（期末模拟）数学（理）试题-解析版

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绝密★启用前 四川省双流中学2017-2018学年高二6月月考（期末模拟）数学（理）试题 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：求出对数函数的值域得集合A，求出指数函数的值域得集合B，再由交集定义求出结论．‎ 详解：由题意，，∴，‎ 故选C．‎ 点睛：本题考查集合的交集运算，解题关键是确定集合中的元素，对描述法表示的集合，要关注代表元，要弄清楚集合是表示的定义域还是值域？是不等式的解集还是方程的解？‎ ‎2．已知复数的共轭复数为，且，则复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用除法运算求出复数，再求出其共轭复数，从而知其对应点的坐标．‎ 详解：由题意，‎ ‎∴，对应点为，在第一象限．‎ 故选A．‎ 点睛：本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，及复数的几何意义，掌握复数的乘除法法则是解题关键．‎ ‎3．抛物线的准线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：把抛物线方程化为标准方程，根据标准方程可得焦点所在位置．‎ 详解：抛物线标准方程为，，，∴焦点为，准线方程为．‎ 故选D．‎ 点睛：抛物线标准方程是时，焦点坐标为，准线方程是，抛物线方程是时，焦点坐标为，准线方程是．‎ ‎4．执行如图所示的程序框图，若输入，，则输出的为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：模拟程序运行，观察运行中变量值的变化．‎ 详解：程序运行，循环中，变量值依次为：，循环，；‎ ‎，循环，；，退出循环，输出．‎ 故选A．‎ 点睛：本题考查程序框图，考查循环结构，解题方法是模拟程序运行，观察程序运行中变量的值，判断循环条件，最后可得运行结果．‎ ‎5．已知，满足约束条件，那么的最大值是（ ）‎ A. 4 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：作出可行域，作出直线，平移此直线可得最优解．‎ 详解：作出可行域，如图内部(含边界)，作直线，平移直线，当过点时，取得最大值7．‎ 故选C．‎ 点睛：本题考查简单的线性规划问题，解题关键是作出可行域，作出目标函数对应的直线，通过平移直线得出最优解．‎ ‎6．若函数在上可导，且，则（ ）‎ A. B. C. D. 无法确定 ‎【答案】C ‎【解析】解：因为 这样函数在（0,4）递减，（4，+）递增，因此比较大小，代入解析式可得f(0)>f(6)‎ ‎7．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：，∵函数在区间单调递增，∴‎ 在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴的取值范围是．故选：D．‎ 考点：利用导数研究函数的单调性.‎ 视频 ‎8．在中，角，，所对的边长分别为，，.，，成等比数列，且，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由等比数列的性质得，再由正弦定理化角为边，最后由余弦定理可求得．‎ 详解：由已知，由正弦定理得，‎ ‎∴．‎ 故选D．‎ 点睛：本题考查等比数列的性质，考查正弦定理与余弦定理的应用，掌握这两个正理是解题的基础．‎ ‎9．下列命题中正确的个数是（ ）‎ ‎①命题“，”的否定是“，”；‎ ‎②“函数的最小正周期为”是“”的必要不充分条件；‎ ‎③在上恒成立在上恒成立；‎ ‎④“平面向量与夹角是钝角”的充分必要条件是“”.‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：命题①显然成立；在命题②，故命题②成立；在命题③‎ 中的最值不一定同时取到，故命题③错误；在命题④中试得成立的有可能夹角为，故命题④错误，综上正确命题的是①②，故选B．‎ 考点：命题的真假．‎ ‎10．已知实数，满足，，则函数存在极值的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由的判别式大于0得出满足的不等关系，从而在范围内求出满足要求的范围的面积即可得概率．‎ 详解：，存在极值，则，．‎ 如图，满足的区域是正方形，面积为1，此正方形中满足的部分是图中阴影部分，面积为，‎ ‎∴所求概率为．‎ 故选A．‎ 点睛：本题考查几何概型，考查导数与函数的极值，属于一种综合题型，解决本题至少需要掌握三方面的知识，一是导数与函数的极值， 二是微积分基本定理，三是几何概型概率公式．‎ ‎11．已知函数 ，在的大致图象如图所示，则 可取（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：从图像可以看出为偶函数，结合的形式可判断出为偶函数，故得的值，最后通过得到的值．‎ 详解：为上的偶函数，而为上的偶函数，故为上的偶函数，所以．‎ 因为，故，．‎ 因，故，所以，．‎ 因，故，所以．‎ 综上，，故选B ．‎ 点睛：本题为图像题，考察我们从图形中扑捉信息的能力，一般地，我们需要从图形得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值，然后利用所得性质求解参数的大小或取值范围．‎ ‎12．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由三视图还原出原几何体(可借助长方体)，然后根据几何体的牲到其外接球球心．‎ 详解：如图是原几何体，长度见三视图，该四棱锥可看作是从长方体中截出的，设是其外接球球心，外接球半径为，则，，‎ ‎∴．‎ 故选B．‎ 点睛：求解外接球的表面积，关键是找出外接球的球心，确定球的半径，由球心的性质知时球心一定在过每个面的外心与这个面垂直的直线上，从而可得球心的寻找方法．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是　　　　.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】从1,2,3,4,5中任意取两个不同的数共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)10种.‎ 其中和为5的有(1,4),(2,3)2种.‎ 由古典概型概率公式知所求概率为=.‎ 视频 ‎14．等差数列的前项和为，，且，则的公差__________．‎ ‎【答案】1.‎ ‎【解析】分析：利用等差数列的性质得化简已知条件后易求得公差．‎ 详解：∵，∴，∴，∴．‎ 故答案为1．‎ 点睛：本题可利用等差数列的性质S2n＋1＝(2n＋1)an＋1来求解，这一性质表明：若等差数列有奇数项，则正中间一项是该数列各项的平均数．等差数列的性质是其定义、通项公式及前n项和公式等基础知识的推广与变形，解题时灵活应用这些性质常常可化繁为简，起到事半功倍的效果．‎ ‎15．在平面直角坐标系中，双曲线：的一条渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：写出双曲线的渐近线方程，由圆心到切线的距离等于半径可得的关系，从而可求得离心率．‎ 详解：双曲线的一条渐近线方程为，即，它与已知圆相切，则，，，，．‎ 故答案为．‎ 点睛：要解决双曲线中有关求离心率问题，应找好题中的等量关系，构造出关于a，c的齐次式，进而求解．‎ ‎16．已知是定义在区间上的函数，是的导函数，且，，则不等式的解集是__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：构造函数，利用已知条件判断出的单调性，结合列出不等式后求解．‎ 详解：设，则，‎ ‎∵且，∴，‎ 即函数在上是增函数，‎ ‎，‎ 不等式等价于，‎ 即，又，∴，‎ ‎∴，解得，由定义域知，，‎ 故原不等式的解集是．‎ 故答案为(0,1)．‎ 点睛：利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小，属于难题．联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学的常用方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题时，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可便问题变得明了．准确构造函数是解题的关键，如，，，等是常见的新函数的形式．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知函数在点处取得极大值5，其导函数的图象经过点，，如图.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求，，的值.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：（1）由导函数图象知的正负变化，从而可知极大值点；‎ ‎（2）从图形及已知可得，，由它们联立可．‎ 详解：（1）由图象可知，在上，在上，在上，‎ 故在，上单调递增，在上单调递减.‎ 因此，在处取得最大值，所以.‎ ‎（2）∵，∴由，，得 ‎.‎ 点睛：对函数，不等式的解集区间是函数的增区间，不等式的解集区间是函数的减区间；若在的两侧左增右减，则是极大值点，若在的两侧左减右增，则是极小值点．‎ ‎18．为了更好地规划进货的数量，保证蔬菜的新鲜程度，某蔬菜商店从某一年的销售数据中，随机抽取了8组数据作为研究对象，如表所示（（吨）为买进蔬菜的数量，（天）为销售天数）：‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎（1）根据上表数据在所给坐标系中绘制散点图，并用最小二乘法求出关于的线性回归方程；‎ ‎（2）根据（Ⅰ）中的计算结果，该蔬菜商店准备一次性买进25吨，预计需要销售多少天？‎ ‎（参考数据和公式：，，，，‎ ‎ ，.）‎ ‎【答案】(1)散点图见解析，.‎ ‎(2)17天.‎ ‎【解析】分析：（1）根据所给公式可计算出回归方程中的系数，得回归方程；‎ ‎（2）把代入回归方程可得预计天数．‎ 详解：（1）散点图如图所示.‎ 依题意，，，，， ，所以，所以回归直线方程为.‎ ‎（2）由（1）知，当时，.‎ 即若一次性买进蔬菜25吨，则预计需要销售17天.‎ 点睛：本题考查回归直线方程，根据所给公式及数据可计算出回归直线方程中的系数，得出回归方程，由回归直线方程可得预计值．‎ ‎19．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，且底面.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若为的中点，且，求二面角的大小.‎ ‎【答案】(1)见解析.‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）易证得，，所以有平面，从而得证；‎ ‎（2）分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求得平面的法向量为，平面的一个法向量为，由法向量的所成角可得解.‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：∵，∴，‎ ‎∴，∴.‎ 又∵底面，∴.‎ ‎∵，∴平面.‎ 而平面，∴平面平面.‎ ‎（2）解：由（1）知，平面，‎ 分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，令，则，，，，，‎ ‎∴，.‎ ‎∴，∴.‎ 故，.‎ 设平面的法向量为，‎ 则，即，‎ 令，得.‎ 易知平面的一个法向量为，则，‎ ‎∴二面角的大小为.‎ 点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.‎ ‎20．（题文）已知椭圆：的焦距为2，且过点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线交椭圆于，两点，为椭圆上一点，为坐标原点，且满足，其中，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】【试题分析】(1)将点代入椭圆方程,结合,解方程组可求得的值,求得椭圆方程.(2)设出直线的方程,联立直线方程和椭圆方程,写出韦达定理,代入题目所给的向量运算,化简得,由此求得的取值范围,‎ 利用弦长公式求出弦长的表达式,利用二次函数求最值的方法求得弦长的最值.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）依题意，有， ‎ ‎∴椭圆方程．·‎ ‎（2）由题意可知该直线存在斜率，设其方程为，‎ 由得， ‎ ‎∴，得， ‎ 设，，，则，‎ 由得， ‎ 代入椭圆方程得， ‎ 由得， ‎ ‎∴ ， ‎ 令，则，∴．‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；‎ ‎（2）若函数的图象与轴有且仅有一个交点，求实数的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，对任意的，均有成立，求正实数 的取值范围.‎ ‎【答案】（1）.‎ ‎（2）.‎ ‎（3）.‎ ‎【解析】分析：（1）求出导函数，可求出，切线方程为，化简后即可；‎ ‎（2）题意说明方程只有一解，分离变量后为，由导数研究函数的单调性，得最大值，同时研究的函数值的变化趋势，可得结论；‎ ‎（3）令，求出导数后可得的两解，分类讨论求得在上的最小值，由这个最小值可求得的范围．‎ 详解：（1）时，，，‎ ‎，，‎ 所以切线方程为，即.‎ ‎（2）令 ，‎ 令 ，‎ 易知在上为正，递增；在上为负，递减，‎ ‎，又∵时，；时，，‎ 所以结合图象可得.‎ ‎（3）因为，所以，‎ 令 ，‎ 由或.‎ ‎（i）当时，（舍去），所以，‎ 有时，；时， 恒成立，‎ 得，所以；‎ ‎（ii）当时，，‎ 则时，；时，，时，，‎ 所以，则，‎ 综上所述，.‎ 点睛：用导数证明不等式恒成立问题，一般要构造函数，由作差或者作商来构造函数是最基本的方法．构造出新函数后，用导数求出新函数的最值，解这个最值对应的不等式可得参数的范围，解题时要注意分类讨论．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系且具有相同的长度单位，直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求直线与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设点，直线与曲线交于不同的两点，，求的值.‎ ‎【答案】(1) ，；‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：第一问应用极坐标与平面直角坐标之间的转换关系，求得直线与曲线的直角坐标方程；第二问结合题中所给的直线方程，发现其过点，且倾斜角为，‎ 写出直线的参数方程，将直线的参数方程代入曲线方程，得到关于t的一元二次方程，利用韦达定理，结合直线方程中参数的几何意义，求得结果.‎ 详解：（1）；‎ ‎（2）考虑直线方程，则其参数方程为（为参数），‎ 代入曲线方程有：，‎ 则有.‎ 点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标与平面直角坐标的转换关系，再者就是需要正确理解直线的参数方程中参数t的几何意义，并能应用其几何意义来解决有关问题，再者就是对韦达定理要熟练掌握.‎