高考数学专题复习（精选精讲）练习4-三角函数典型考题习题精选精讲

高考数学专题复习（精选精讲）练习4-三角函数典型考题习题精选精讲

三角函数典型考题归类解析 三角函数是中学数学学习中重要的基本初等函数之一，与代数、几何有着密切的联系，是解决数学问题的一种有利工具.三角函数作为中学数学的基础内容，在高考试题中年年呈现，多数以中低档题出现，可以独立命题，也可以与其它知识综合渗透.下面就07年全国高考中解答题进行梳理归类，供读者学习时参考：‎ ‎1．根据解析式研究函数性质 例1（天津理）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．‎ 解析：（Ⅰ）．‎ 因此，函数的最小正周期为．‎ ‎（Ⅱ）解法一：因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，，，‎ 故函数在区间上的最大值为，最小值为．‎ 解法二：作函数在长度为一个周期的区间上的图象如下：由图象得函数在区间上的最大值为，‎ y x O 最小值为． ‎ 点评：本题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角和与差公式、倍角公式、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力．利用三角公式将所给函数化为一个角的三角函数，然后借助其性质直接求解是研究三角函数的性质的常规思路.凭借函数图象研究函数性质，可以使问题得以形象直观展示出来易于解决.‎ ‎【相关高考1】（湖南文）已知函数．‎ 求：（I）函数的最小正周期；（II）函数的单调增区间．‎ 解析：．‎ ‎（I）函数的最小正周期是；‎ ‎（II）当，即（）时，函数是增函数，故函数 的单调递增区间是（）．‎ ‎【相关高考2】（湖南理）已知函数，．‎ ‎（I）设是函数图象的一条对称轴，求的值．（II）求函数的单调递增区间．‎ 解析：（I）由题设知．‎ 因为是函数图象的一条对称轴，所以，即（）．‎ 所以．当为偶数时，，‎ 当为奇数时，．‎ ‎（II）‎ ‎．‎ 当，即（）时，‎ 函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）．‎ ‎2．根据函数性质确定函数解析式 例2（江西）‎ ‎ 如图，函数的图象与轴相交于点，且该函数的最小正周期为．‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值．‎ 解析：（1）将，代入函数，因为，所以．‎ 由已知，且，得．‎ ‎（2）因为点，是的中点，．所以点的坐标为．‎ 又因为点在的图象上，且，所以，‎ ‎，从而得或，即或．‎ 解析：本题主要考查三角函数图象的性质以及识图的能力.解决本题的关键是在于根据图象性质确定所给函数中的参数的值，根据题意图象与轴相交于点建立等式关系凭借的限制条件就能确定的值；本题的第二问实际是已知三角函数值求角问题，利用中点公式借助点将点表示出来代入函数式，凭借特殊角的三角函数值求角即可.‎ ‎【相关高考1】（辽宁）已知函数（其中），（I）求函数的值域； （II）（文）若函数的图象与直线的两个相邻交点间的距离为，求函数的单调增区间．‎ ‎（理）若对任意的，函数，的图象与直线有且仅有两个不同的交点，试确定的值（不必证明），并求函数的单调增区间．‎ 解析：（I）‎ ‎．由，得，‎ 可知函数的值域为．‎ ‎（II）（文）由题设条件及三角函数图象和性质可知，的周期为，又由，得，即得；‎ 于是有，再由，解得．‎ 所以的单调增区间为 ‎（理）由题设及三角函数图象和性质可知，函数的周期为，而，则 即得，，‎ 由解得，‎ 即函数的单调递增区间为.‎ ‎【相关高考2】（全国Ⅱ）在中，已知内角，边．设内角，周长为．‎ ‎（1）求函数的解析式和定义域；（2）求函数的最大值．‎ 解析：（1）的内角和，由得．应用正弦定理，知，．因为，‎ ‎ 所以，‎ ‎ （2）因为 ，‎ ‎ 所以，当，即时，取得最大值．‎ ‎3．三角函数求值 例3（四川）已知cosα=,cos(α-β)＝，且0<β<α<,(Ⅰ)求tan2α的值；（Ⅱ）求β.‎ 解析：（Ⅰ）由，，得．‎ ‎∴．于是．‎ ‎（Ⅱ）由，得．‎ ‎　又∵，∴．由，得 ‎，∴．‎ 点评：本题考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号、已知三角函数值求角以及计算能力．根据已知求解具有限制条件角的三角函数值时，首先确定所求角的范围，然后适当进行角的变换利用三角公式进行求值即可.‎ ‎【相关高考1】（重庆文）已知函数f(x)=.（Ⅰ）求f(x)的定义域；（Ⅱ）若角a在第一象限，且 解析：（Ⅰ）由故f(x)的定义域为 ‎（Ⅱ）由已知条件得从而＝＝＝‎ ‎【相关高考2】(重庆理)设f () = （1）求f()的最大值及最小正周期；（2）若锐角满足，求tan的值.‎ 解析：（Ⅰ）‎ ‎．‎ 故的最大值为；最小正周期．‎ ‎（Ⅱ）由得，故．‎ 又由得，故，解得．从而．‎ ‎4．三角形中的函数求值 例4（全国Ⅰ）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．‎ ‎（Ⅰ）求B的大小；（文）（Ⅱ）若，，求b．（理）（Ⅱ）求的取值范围．‎ 解析：（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，‎ 由为锐角三角形得．‎ ‎（文）（Ⅱ）根据余弦定理，得．所以，．‎ ‎（理）（Ⅱ）‎ ‎．由为锐角三角形知，‎ ‎，．，所以．‎ 由此有，所以的取值范围为．‎ 点评：本题考查正弦余弦定理、两角和公式、三角函数式的化简以及具有限制条件的三角函数值的取值和推理运算能力.‎ ‎【相关高考1】（天津文）在中，已知，，．‎ ‎（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．‎ 解析：（Ⅰ）在中，，‎ 由正弦定理得，．所以．‎ ‎（Ⅱ）因为，所以角为钝角，从而角为锐角，于是，‎ ‎，．‎ ‎【相关高考2】（福建）在中，，．（Ⅰ）求角的大小；文（Ⅱ）若边的长为，求边的长．理（Ⅱ）若最大边的边长为，求最小边的边长．‎ 解析：（Ⅰ），∴．‎ 又，．文（Ⅱ）由且，‎ 得．，则．‎ 理（Ⅱ），边最大，即．又，‎ 角最小，边为最小边．由且，‎ 得．由得：．所以最小边．‎ ‎5．三角与平面向量 例5（湖北理）已知的面积为，且满足0≤≤，设和的夹角为．（I）求的取值范围；‎ ‎（II）求函数的最大值与最小值．‎ 解析：（Ⅰ）设中角的对边分别为，‎ 则由，，可得，．‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎．‎ ‎，，．‎ 即当时，；当时，．‎ 点评：本题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力．‎ ‎【相关高考1】（陕西）设函数，‎ 其中向量，且函数y=f(x)的图象经过点，‎ ‎（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时的值的集合.‎ 解：（Ⅰ），‎ 由已知，得．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，当时，的最小值为，‎ 由，得值的集合为．‎ ‎【相关高考2】（广东）已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(，0)．‎ ‎ （文）(1)若，求的值；（理）若∠A为钝角，求c的取值范围；(2)若，求sin∠A的值．‎ 解析：（文）(1) 由 得 ‎ ‎ （理）若∠A为钝角，则解得，∴c的取值范围是 ‎(2) ，‎ ‎6三角函数中的实际应用 北 乙 甲 例6（山东理）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？‎ 解析：如图，连结，，，是等边三角形，，在中，由余弦定理得，‎ 因此乙船的速度的大小为答：乙船每小时航行海里.‎ ‎【相关高考】（宁夏）如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个侧点与．现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高．‎ 解：在中，．‎ 由正弦定理得．所以．‎ 在中，．‎ ‎7．三角函数与不等式 例7（湖北文）已知函数，．（I）求的最大值和最小值；‎ ‎（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．‎ 解析：（Ⅰ）‎ ‎． 又，，即，‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ），，且，‎ ‎，即的取值范围是．‎ 点评：本题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．‎ ‎8．三角函数与极值 例8（安徽文）设函数 其中≤1，将的最小值记为g(t).‎ ‎(Ⅰ)求g(t)的表达式；(Ⅱ)讨论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.‎ 解析：（I）我们有 ‎．‎ 由于，，故当时，达到其最小值，即 ‎．‎ ‎ （II）我们有．‎ 列表如下：‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，极小值为，极大值为．‎ 点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力．‎ 三角函数易错题解析 例题1　已知角的终边上一点的坐标为（），则角的最小值为（ ）。‎ A、 B、 C、 D、‎ 正解：D ‎，而 所以，角的终边在第四象限，所以选D，‎ 误解：,选B 例题2　 A，B，C是ABC的三个内角，且是方程的两个实数根，则ABC是（ ）‎ A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形 正解：A由韦达定理得： ‎ 在中，‎ 是钝角，是钝角三角形。‎ 例题3　已知方程（a为大于1的常数）的两根为，，‎ 且、，则的值是_________________.‎ 错误分析：忽略了隐含限制是方程的两个负根，从而导致错误.‎ 正确解法： ，‎ ‎ 是方程的两个负根 ‎ 又 即 ‎ 由===可得 答案: -2 .‎ 例题4　函数的最大值为3，最小值为2，则______，_______。‎ 解：若 则 ‎ ‎ 若 则 说明：此题容易误认为，而漏掉一种情况。这里提醒我们考虑问题要周全。‎ 例题5　函数f(x)=的值域为______________。‎ 错解： ‎ 错因：令后忽视,从而 正解：‎ 例题6　若2sin2α的取值范围是 ‎ 错解：‎ 错因：由其中，得错误结果；由 得或结合（1）式得正确结果。正解：[0 , ]‎ 例题7　已知，求的最小值及最大值。‎ ‎ 解： ‎ ‎ 令 则 ‎ ‎ 而对称轴为 当时，； 当时，‎ 说明：此题易认为时，，最大值不存在，这是忽略了条件不在正弦函数的值域之内。‎ 例题8　求函数的最小正周期。‎ ‎ 解：函数的定义域要满足两个条件；‎ ‎ 要有意义且 ‎ ，且 ‎ 当原函数式变为时，‎ ‎ 此时定义域为 ‎ 显然作了这样的变换之后，定义域扩大了，两式并不等价 ‎ 所以周期未必相同，那么怎么求其周期呢？首先作出的图象：‎ ‎ 而原函数的图象与的图象大致相同 ‎ 只是在上图中去掉所对应的点 ‎ 从去掉的几个零值点看，原函数的周期应为 说明：此题极易由的周期是而得出原函数的周期也是，这是错误的，原因正如上所述。那么是不是说非等价变换周期就不同呢？也不一定，如1993年高考题：函数的最小正周期是（ ）。A. B. C. D. 。此题就可以由的周期为而得原函数的周期也是。但这个解法并不严密，最好是先求定义域，再画出图象，通过空点来观察，从而求得周期。‎ 例题9　求函数的值域 答案：原函数可化为 设则 则，‎ 当 ‎ 错解：‎ ‎ 错因：不考虑换元后新元t的范围。‎ 例题10　已知函数≤≤是R上的偶函数，其图像关于点M对称，且在区间[0，]上是单调函数，求和的值。‎ 正解：由是偶函数，得 故 对任意x都成立，且 依题设0≤≤，‎ 由的图像关于点M对称，得 取 又，得 当时，在上是减函数。‎ 当时，在上是减函数。‎ 当≥2时，在上不是单调函数。‎ 所以，综合得或。‎ 误解：①常见错误是未对K进行讨论，最后只得一解。‎ ‎②对题目条件在区间上是单调函数，不进行讨论，故对≥不能排除。‎ 基础练习题 ‎1、在DABC中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=，则ÐC的大小应为( )‎ ‎ A． B． C．或 D．或 正确答案：A 错因：学生求ÐC有两解后不代入检验。‎ ‎2、已知tana tanb是方程x2+3x+4=0的两根，若a，bÎ(-)，则a+b=（ ）‎ ‎ A． B．或- C．-或 D．-‎ 正确答案：D 错因：学生不能准确限制角的范围。‎ ‎3、若，则对任意实数的取值为（ ）‎ ‎ A. 1 B. 区间（0，1） C. D. 不能确定 ‎ 解一：设点，则此点满足解得或 ‎ 即 选A ‎ 解二：用赋值法， 令 同样有 ‎ 选A 说明：此题极易认为答案A最不可能，怎么能会与无关呢？其实这是我们忽略了一个隐含条件，导致了错选为C或D。‎ ‎4、在中，，则的大小为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 解：由平方相加得 ‎ 若， 则 ‎ 又 ‎ ‎ ‎ 选A 说明：此题极易错选为，条件比较隐蔽，不易发现。这里提示我们要注意对题目条件的挖掘。‎ ‎5、函数为增函数的区间是……………… ( )‎ A. B. C. D. ‎ 正确答案：C 错因：不注意内函数的单调性。‎ ‎6、已知且，这下列各式中成立的是（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ 正确答案(D)‎ 错因:难以抓住三角函数的单调性。‎ ‎7、△ABC中，已知cosA=，sinB=，则cosC的值为（ ）‎ ‎ A、 B、 C、或 D、‎ ‎ 答案：A 点评：易误选C。忽略对题中隐含条件的挖掘。‎ ‎8、在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小为（ ）‎ ‎ A、 B、 C、或 D、或 ‎ 答案：A ‎ 点评：易误选C，忽略A+B的范围。‎ ‎9、设cos1000=k，则tan800是（ ）‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎ 答案：B ‎ 点评：误选C，忽略三角函数符号的选择。‎ ‎10、在锐角⊿ABC中，若，，则的取值范围为（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ 错解: B.‎ 错因:只注意到而未注意也必须为正.‎ 正解: A.‎ ‎11、已知，（），则 （C）‎ A、 B、 C、 D、‎ 错解：A 错因：忽略，而不解出 正解：C ‎12、如果，那么的取值范围是（ 　）‎ A．， B．， C．，， D．，，‎ 错解: D．‎ 错因:只注意到定义域,而忽视解集中包含.‎ 正解: B．‎ ‎13、函数的单调减区间是（ ）‎ ‎ A、 （） B、‎ ‎ C、 D、‎ ‎ 答案：D ‎ 错解：B ‎ 错因：没有考虑根号里的表达式非负。‎ ‎14、在△ABC中，则∠C的大小为 （　　）‎ A、30° B、150° C、30°或150° D、60°或150°‎ 正确答案：A 错误原因：易选C，无讨论意识，事实上如果C=150°则A=30°∴，∴＜＜6和题设矛盾 ‎15、已知,则的取值范围是_______________.‎ 错误分析:由得 代入中,化为关于的二次函数在上的范围,‎ 而忽视了的隐含限制,导致错误.‎ 答案: .‎ 略解: 由得 ‎ ‎ ‎ ‎ 将（1）代入得=.‎ ‎16、若,且,则_______________.‎ 错误分析:直接由,及求的值代入求得两解,忽略隐含限制出错.　　　答案: .‎ ‎17、设ω>0，函数f(x)=2sinωx在上为增函数，那么ω的取值范围是_____‎ ‎ 答案：0<ω≤　　　　点评：‎ ‎18、已知奇函数单调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（ ）‎ A、f(cosα)＞ f(cosβ) B、f(sinα)＞ f(sinβ)‎ C、f(sinα)＜f(cosβ) D、f(sinα)＞ f(cosβ)‎ 正确答案：（C）‎ 错误原因：综合运用函数的有关性质的能力不强。‎ ‎19、函数的值域是 ．‎ 正确答案：‎ ‎20、若，α是第二象限角，则=__________‎ ‎ 答案：5‎ 点评：易忽略的范围，由得=5或。‎ ‎21、求函数的相位和初相。‎ ‎ 解：‎ ‎ ‎ ‎ 原函数的相位为，初相为 说明：部分同学可能看不懂题目的意思，不知道什么是相位，而无从下手。应将所给函数式变形为的形式（注意必须是正弦）。‎ ‎22、已知函数f(x)=－sin2x+sinx+a，（1）当f(x)=0有实数解时，求a的取值范围；（2）若x∈R，有1≤f(x)≤，求a的取值范围。‎ 解：（1）f(x)=0，即a=sin2x－sinx=(sinx－)2－‎ ‎ ∴当sinx=时，amin=，当sinx=－1时，amax=2，‎ ‎ ∴a∈[，2]为所求 ‎（2）由1≤f(x)≤得∵ u1=sin2x－sinx++4≥4‎ u2=sin2x－sinx+1=≤3 ∴ 3≤a≤4‎ ‎23、已知定义在区间[-p，]上的函数y=f(x)的图象关于直线x= -对称，当xÎ[-，]时，函数f(x)=Asin(wx+j)(A>0, w>0,-

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