2017-2018学年河北省邢台市高二上学期第一次月考数学（理）试题-解析版

2017-2018学年河北省邢台市高二上学期第一次月考数学（理）试题-解析版

河北省邢台市2017-2018学年高二上学期第一次月考数学（理）试卷 一、选择题 ‎1．下列空间几何体中，是棱柱的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】A是棱锥，B是四棱台，C是三棱柱，D是组合体，‎ 故选C ‎2．下列命题正确的是( )‎ A. 棱柱的侧面都是长方形 B. 棱柱的所有面都是四边形 C. 棱柱的侧棱不一定相等 D. 一个棱柱至少有五个面 ‎【答案】D ‎【解析】A不对，侧面都是平行四边形，不一定都是长方形；‎ B不对，三棱柱的底面是三角形 C不对，棱柱的侧棱一定相等 D对，三棱柱的面最少，三个侧面两个底面共5个面，其他棱柱都多余5个面 故选D ‎3．一个晴朗的上午，小明拿着一块长方形的木板在阳光下做投影实验，长方形的木板在地上形成的投影不可能是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由物体同一时刻物高与影长成比例，且矩形对边相等，梯形两底不相等，‎ 得到投影不可能是等腰梯形。‎ 故选A ‎4．将直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转一周，所得的几何体是( )‎ A. 圆柱 B. 圆台 C. 圆锥 D. 两个圆锥 ‎【答案】C ‎【解析】将一个直角三角形绕一直角边所在直线旋转一周，所得的几何体为圆锥，‎ 故选C ‎5．如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为等腰直角三角形，且此三角形内接于圆柱的底面圆，如果圆柱的体积是，那么三棱柱的体积是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设圆的半径为R，等腰直角三角形的边长为R，设三棱柱的体积为 ，则 ‎ ， ‎ 故选B ‎6．下列四个命题：‎ ‎①若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行；‎ ‎②若直线与平面内的无数条直线垂直，则；‎ ‎③若一个平面内的三个不共线的点到另一个平面的距离都相等，则这两个平面平行；‎ ‎④若直线不垂直于平面，则平面内没有与直线垂直的直线．‎ 其中正确的命题的个数是( )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】①若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行；所以①正确 ‎②若直线与平面内的无数条直线垂直， 可以与平面斜交，也可以在平面内；所以②不对；‎ ‎③若一个平面内的三个不共线的点到另一个平面的距离都相等，则两个面可以平行也可以相交，所以③不对；‎ ‎④若直线不垂直于平面，也可以找到无数多条直线与垂直；所以④不对；‎ 故选A ‎7．圆台的上、下两个底面圆的半径分别为3 和4，母线与底面的夹角是，则圆台的母线长 ( )‎ A. 3 B. C. D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】圆台的轴截面是一个等腰梯形，腰长即为母线长，上底长为6，下底长为8，底角为 在上底的一个端点向下底作垂线，可得直角三角形，其中的下底-的上底为1，利用可得腰长为2‎ 故选D ‎8．在长方体的十二条棱中，与面对角线垂直且异面的棱的条数是( )‎ A. 2 B. 4 C. 6 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】在长方体的十二条棱中，与面对角线垂直且异面的棱为， ‎ 故选A ‎9．已知两条不同的直线和平面，下列结论正确的是( )‎ ‎①，则；‎ ‎②，则；‎ ‎③，则；‎ ‎④与平面所成角的大小等于与平面所成角的大小，则．‎ A. ①③ B. ①② C. ②③ D. ①④‎ ‎【答案】A ‎【解析】①，则；①正确；‎ ‎②，则；②不对，因为直线可能平行可能相交也可能异面 ‎③，则；③正确 ‎④与平面所成角的大小等于与平面所成角的大小，则．④不对，因为 直线可能平行可能相交也可能异面 故选A ‎10．在平面四边形中， ，将沿对角线所在的直线折起，使平面平面，则直线与平面所成角为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，则AC=，平面平面，交线为AC，BCAC，所以BC面ACD，所以即为直线与平面所成角，cos = ，所以=‎ 故选B ‎ 点睛：翻折问题一定要注意变量，不变量的分析，折后面面垂直即可转为线面垂直，斜线和它在面内的投影所成的角即为线面角.‎ ‎11．一个几何体由一些完全相同的小正方体搭建而成，它的正视图与侧视图如图所示，那么搭成这个几何体所用的小正方体的个数最少为( )‎ A. 8 B. 7 C. 6 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】这个几何体高2层，底面有3列，从左往右分别是1个，3个，1个；第二层第2列正中间有1个，第3列上方有1个，所以最少有7个.‎ 故选B ‎12．已知一个平行四边形的直观图是一个边长为3 的正方形，则此平行四边形的面积为( )‎ A. B. C. 9 D. 18‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据直观图的画法可得结论 ，直观图的面积为9，所以平面图形的面积为 故选B ‎13．将半径为4 的半圆围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵半圆O半径为4， ∴弧AB的长度为4π，∴⊙D的周长为4π， 设⊙D的半径为r，∴2πr=4π，∴r=2，该圆锥的内切球的半径即为轴截面等边三角形OCB的内切圆的半径，R= ，S== ‎ 故选B 点睛：圆锥的侧面展开是扇形，弧长即底面圆的周长，圆锥的内切球的半径即为其对应轴截面的内切圆半径.‎ ‎14．在空间四边形中， ， 分别是的中点，若异面直线与所成角为，则 ( )‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】取BD的中点G，则EG平行且等于AD的一半，FG平行且等于BC 的一半，所以 即为异面直线与所成角， =，EG=FG=1，所以 故选C ‎ 点睛：求异面直线所成的角：先把直线进行平移，使得平移后的直线有交点，则这个角或其补角即为所求角.‎ ‎15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知三视图得到几何体是一个正方体割去半径为2的个球， 所以表面积为2×2×6−π×22+×4π×22=24-π； 故选：A ‎ ‎16．如图，在长方体中， ， 为线段上的动点，且， 为线段上的动点，且， 为棱上的动点，则下列判断正确的是( )‎ A. 三棱锥的体积是定值，等于 B. 三棱锥的体积不是定值，最小为 C. 四棱锥的体积是定值，等于 D. 四棱锥 的体积不是定值，最大为16‎ ‎【答案】D ‎【解析】面 垂直于底面，且面平行于，‎ 对于A： ，体积为定值，故A错；‎ 对于B： 体积为定值，故B错；‎ 对于C： 故C错；‎ 对于D: ，当点P在靠近点A，且AP=1时，体积取得最大值16，故D对 故选D 点睛：动点EFPQ，要抓住不变的特征，EF=1，PQ=2，且所在的面永远垂直于底面，即所在面与棱平行，所以求体积时可以把顶点M转移到点B，就容易把棱锥的高解决掉.‎ 二、填空题 ‎17．一个几何体的表面展开平面图如图，该几何体中与“数”字面相对的是“________”字面．‎ ‎【答案】学 ‎【解析】把平面图还原是一个三棱台，两个三角形分别为上下底面，所以与数对应的是学 故答案为 学 ‎18．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡壔(dǎo)，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何?”意思是：今有圆柱形土筑小城堡，底面周长为4 丈8 尺，高1丈1尺，则它的体积是________立方尺．(取，1丈=10尺)‎ ‎【答案】2112‎ ‎【解析】设圆柱形城堡的底面半径为r,则由题意得2πr=48,∴r=≈8尺。又城堡的高h=11尺，‎ ‎∴城堡的体积V=πh=π×64×11≈2112立方尺。‎ 故答案为2112‎ ‎19．若正四棱柱的底面边长为2， 与底面成角，则三棱锥的表面积为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 与底面成角，即，所以==2，在三棱锥中，‎ AB ，所以为直角三角形， 为直角三角形， 为直角三角形，直角三角形中， 2,, =4, =2,所以, ， ‎ 故答案为.‎ ‎20．一个正三棱柱的侧棱长是底面边长的倍，它的三视图中的俯视图如下图所示，侧(左)视图是一个矩形，若这个矩形的面积等于6，则该正棱柱的侧面积为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设底面边长为x,侧棱长为,侧视图的宽为底面三角形的高，所以，侧棱长为，侧面积为 ‎ 故答案为 ‎21．如图，在四棱锥中，四个侧面都是顶角为的等腰三角形，侧棱长均为， 分别是上的点，则四边形周长的最小值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】把四棱锥四个侧面展开，分别是三角形PAB，三角形PBC，三角形PCD，三角形 ，‎ ‎，所以AE+EF+FG+ 的最小值为,在三角形 中，PA= = ， ，所以= ‎ 故答案为 点睛：找周长最小是侧面展开的问题，棱锥的侧面展开就是沿着一条侧棱剪开，展开即可，最后化曲为直即为最小值，放在对应的三角形里解决.‎ ‎22．一个四棱锥的三视图和直观图如图所示，其中分别是的中点， 是上的一点， 平面，则三棱锥的体积为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由三视图可知面ABCD，底面ABCD为矩形，PD=4，AB=4，AD=2，取PC的中点M，因为点E为PD的中点，所以EM平行且等于FB，所以BFEM为平行四边形，BM平行于EF，从而BM平行于面DEF， ‎ 故答案为 点睛：求三棱锥的体积可以使用换底或转移顶点，等积转化的方法来求，分析点线面的位置关系哪个好求用哪个.‎ ‎23．已如平面外两点到平面的距离分别为和， 在平面内的射影之间的距离为，则线段的长度为________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】考虑两种情况： 当A、B两点有平面α的同侧时， 线段AB的长为； 当A、B两点有平面α的异侧时， 线段AB的长为 ； 则线段AB的长为或.‎ ‎ ‎ 故答案为： 或 点睛：点在平面外要分两点在面的同侧还是异侧，这样的题目容易漏情况.‎ ‎24．在四面体中， 底面， ， 为的重心， 为线段上一点，且平面，则直线与所成角的余弦值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在三棱锥D-ABC中，取AB的中点E，连接CE，在CE上取点G使得CG=2GE，则为的重心，取EB的三等分点M，即MB=2EM，则有MG平行于BC，MB=2，又，所以AM=2MB，同样在线段AD上取点F，使得FM平行于DB，即有AF=2FD，连接FG，因为 得到面FGN面DBC,则FG面DBC 取AE的三等分点N，使得AN=2NE，则NG平行于AC，连接FN，则 即为直线与所成角，NG=AC=， ， ，‎ 延长AG交BC于点Q，则AG= AQ，又 ，利用（）平方得 AQ=，则AG=，FA=4所以FG=，在 FGN中， ‎ 故答案为 点睛：本题属于难题，需要做辅助线很多，先找到点F是关键，利用的面面平行，接下来主要是求各边长，要细心认真确保计算准确.‎ 三、解答题 ‎25．如图，在四棱锥中， ，且， 为的中点．‎ 证明： 平面．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】试题分析：先证明，且，又，且，所以， ，所以为平行四边形，即，由线面平行的判定定理可证得.‎ 试题解析：‎ 证明：取的中点，连结，所以，且，‎ 由已知，且，所以， ，‎ 所以为平行四边形，即．‎ ‎．‎ ‎26．如图，在三棱锥中， ， ， 平面， 为的中点， ．‎ ‎(1)证明: ； ‎ ‎(2)若三棱锥外接球的半径为4，求三棱锥的侧面的面积．‎ ‎【答案】(1)见解析(2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据底面是等腰三角形，腰长为2得到， ， ，‎ 余弦定理，代入得到，由勾股定理得到，又即得证.(2) :记三棱锥外接球球心为，则；‎ 记的外心为，则, 则四边形为直角梯形，易求出，求DB=DC，等腰三角形求面积.‎ 试题解析：‎ ‎(1)证明:因为， ，所以．‎ 因为为中点， ，所以， ．‎ 又，所以 ，‎ ‎ 于是，故．‎ 因为平面， 平面，所以．‎ 因为，所以平面，所以．‎ ‎(2)解:记三棱锥外接球球心为，则；‎ 记的外心为，则．‎ 如图，四边形为直角梯形，易求出．‎ 为等腰三角形， ，‎ 故侧面的面积．‎ ‎27．如图，在四棱锥中， 是边长为2 的菱形，且， ， ，‎ 分别是的中点．‎ ‎(1)证明: 平面； ‎ ‎(2)若二面角的大小为，求点到平面的距离．‎ ‎【答案】(1)见解析(2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）取中点，先证明平面，再证明平面平面，又，则可得平面 (2)先找出为二面角的平面角，即，接下来证明平面，所以三棱锥的高为2．再求的面积，利用三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，即求得点到平面的距离.‎ 试题解析：‎ ‎(1)证明:取中点，连接．‎ 在中， ， ，所以为正角形．‎ 又为中点， ．‎ 因为，所以．‎ 又，故平面．‎ 因为分别是的中点，所以．‎ 又，所以平面平面． ‎ 又，故平面．‎ ‎(2)解:因为平面，所以， ，‎ 则为二面角的平面角，即．‎ 因为，所以．‎ 因为，且，所以．‎ 所以，且．‎ 因为平面，所以．‎ 所以平面，所以三棱锥的高为2．‎ 于是三棱锥的体积．‎ 在中， ，所以， ．‎ 则在中，‎ ‎， ， ，‎ 所以，于是的面积．‎ 设点到平面的距离为，三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，所以，故．‎ 点睛：求点到面的距离，直接找垂线不容易时可以采用三棱锥等积转化的思想，本题即利用三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，求得点到平面的距离.‎