2017-2018学年福建省厦门双十中学高二下学期第二次月考数学（理）试题 Word版

2017-2018学年福建省厦门双十中学高二下学期第二次月考数学（理）试题 Word版

福建省厦门双十中学2017-2018学年高二下学期第二次月考 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知（为虚数单位，），，则（ ）‎ A．3 B． C． D．1‎ ‎2．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎3．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）是几组对应数据：‎ 根据上表的数据，求出关于的线性回归方程为，那么的值为（ ）‎ A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.5‎ ‎4．已知，则（ ）‎ A. 256 B. 257 C. 254 D.255‎ ‎5．函数的大致图象是（ ）‎ ‎6．下列命题：①在线性回归模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量的贡献率，越接近于1，表示回归效果越好；②‎ 两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位；④对分类变量与，它们的随机变量的观测值来说，越小，“与有关系”的把握程度越大.其中正确命题的个数是（ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎7．《爸爸去哪儿》的热播引发了亲子节目的热潮，某节目制作组选取了6户家庭分配到4个村庄体验农村生活，要求将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，则不同的分配方案的总数是（ ）‎ A．216 B．420 C．720 D．1080 ‎ ‎8．某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》《茶馆》《天籁》《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能周一和周四上演，《茶馆》不能在周一和周三上演，《天籁》不能在周三和周四上演，《马蹄声碎》不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是（ ）‎ A．《雷雨》只能在周二上演 B．《茶馆》可能在周二或周四上演 ‎ C．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D．四部话剧都有可能在周二上演 ‎9．设，则的展开式中的系数是（ ）‎ A． B．192 C． D．230‎ ‎10．从混有4张假钞的10张一百元纸币中任意抽取3张，若其中一张是假币的条件下，另外两张都是真币的概率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11．学校体育节的乒乓球决赛比赛正在进行中，小明必须再胜2盘才最后获胜，小杰必须再胜3盘才最后获胜，若两人每盘取胜的概率都是，则小明连胜2盘并最后获胜的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．若关于的方程存在三个不等实根，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知随机变量服从正态分布，且，则 .‎ ‎14．已知随机变量，且随机变量，则的方差 .‎ ‎15．已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线交双曲线右支于两点，若是以为直角顶点的等腰三角形，则的面积为 . ‎ ‎16．已知是方程的实根，则下列关于实数的判断正确有 . ‎ ‎① ② ③ ④‎ 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．某高中为了解高中学生的性别和喜欢打篮球是否有关，对50名高中学生进行了问卷调查，得到如下列联表：‎ 已知在这50人中随机抽取1人，抽到喜欢打篮球的学生的概率为.‎ ‎（1）请将上述列联表补充完整；‎ ‎（2）判断是否有的把握认为喜欢打篮球与性别有关？‎ ‎18.北方某市一次全市高中女生身高统计调查数据显示：全市200000名高中女生的身高（单位：）服从正态分布.现从某高中女生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部在和之间，现将测量结果按如下方式分成6组：第1组，第2组，…，第6组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.‎ ‎（1）求这50名女生身高不低于172的人数；‎ ‎（2）在这50名女生身高不低于172的人中任意抽取2人，将该2人中身高排名（从高到低）在全市前260名的人数记为，求的数学期望.‎ 参数数据：，‎ ‎.‎ ‎19．如图，已知，平面平面，，，为的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的余弦值.‎ ‎20.近期，济南公交公司分别退出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用表示活动推出的天数，表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：‎ 根据以上数据，绘制了散点图.‎ ‎（1）根据散点图判断，在推广期内，与（均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型？（判断即可，不必说明理由）；‎ ‎（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立关于的回归方程，并预测活动推出8天使用扫码支付的人次；‎ ‎（3）推广结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下：‎ 车队为缓解周边居民出行压力，以80万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知，每辆车每个月的运营成本约为万元.已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有的概率享受7折优惠，有的概率享受8折优惠，有的概率享受9折优惠.预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车，根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，假设这批车需要（）年才能开始盈利，求的值.‎ 参考数据：‎ 其中 参考公式：对于一组数据 其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.‎ ‎21．已知椭圆的长轴长为6，且椭圆与的公共弦长为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，试判断在轴上是否存在点，使得为以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间和极值；‎ ‎（2）若对于任意，都有成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若，且，证明：.‎ 参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 选项 D B A C B C D C A A C A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．0.15 14．12　　　　　15．　　　　16．③ ‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎17．解：（1）因为在50人中随机抽到喜欢打篮球的学生的概率为，‎ 所以喜欢打篮球的学生人数为人，其中女生有10人，则男生有20人，列联表补充如下：‎ ‎（2）因为 所以有的把握认为喜欢打篮球与性别有关.‎ ‎18.（1）由直方图知，后3组频率为，人数为，即这50名女生身高不低于172cm的人数为10人；‎ ‎（2）∵‎ ‎∴‎ ‎∴，则全市高中女生的身高在180cm以上的有260人，这50人中180cm以上的有2人.‎ 随机变量可取0，1，2，‎ 于是 ‎∴.‎ ‎19.（1）证明：设中点为，连 ‎∵为中点，∴，‎ 又由题意，，‎ ‎∴且 ‎∴四边形为平行四边形，‎ ‎∴‎ ‎∵，∴，‎ 又∵平面平面，平面平面，平面，‎ ‎∴平面 又平面，∴，‎ ‎∴又，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵，平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）以点为原点，以方向为轴，以方向为轴建立如图所示坐标系 设平面的法向量，‎ 则，∴，取，‎ ‎∴‎ 设直线与平面所成角为，则，∴‎ 即直线与平面所成角的余弦值为.‎ ‎20.解：（1）根据散点图判断，适宜作为扫码支付的人数关于活动推出天数的回归方程类型；‎ ‎（2）∵两边同时取常用对数得 设 ‎，‎ ‎∴‎ 把样本中心点代入得 ‎∴，∴，‎ ‎∴关于的回归方程式：‎ 把代入上式，∴‎ 活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470；‎ ‎（3）记一名乘客乘车支付的费用为，则的取值可能为：2,1.8,1.6,1.4‎ 所以，一名乘客一次乘车的平均费用为（元）‎ 由题意可知 ‎，所以取7；‎ 估计这批车大概需要7年才能开始盈利.‎ ‎21．解：（1）由题意可得，所以 由椭圆与圆，恰为圆的直径，‎ 可得椭圆经过点，‎ 所以，解得 所以椭圆的方程为 ‎（2）直线的解析式为，设，的中点为 假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则 由得，故 所以，‎ 因为 所以，即，所以 当时，，所以 综上所述，在轴上存在满足题目条件的点，且点的横坐标的取值范围为.‎ ‎22．解：（1）‎ ‎①时，因为，所以，‎ 函数的单调递增区间是，无单调递减区间，无极值 ‎②当时，令，解得，‎ 当时，；当，‎ 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是 在区间上的极小值为，无极大值.‎ ‎（2）由题意，，‎ 即问题转化为对于恒成立 即对于恒成立 令，则 令，，则 所以在区间上单调递增，故，故，‎ 所以在区间上单调递增，函数 要使对于恒成立，只要 所以，即实数的取值范围为.‎ ‎（3）因为，由（1）知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 且 不妨设，则 要证，只要证，即证 因为在区间上单调递增，所以，‎ 又，即证，‎ 构造函数 即 ‎，‎ 因为，所以，，即 所以函数在区间上单调递增，故，‎ 而，故，‎ 所以，即，所以成立. ‎