【数学】2019届一轮复习人教B版　抛物线学案

【数学】2019届一轮复习人教B版　抛物线学案

第52讲　抛物线 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．‎ ‎2．了解圆锥曲线的简单应用，了解抛物线的实际背景．‎ ‎3．理解数形结合思想.‎ ‎2017·全国卷Ⅰ，10‎ ‎2017·全国卷Ⅱ，16‎ ‎2017·北京卷，18‎ ‎2016·浙江卷，9‎ ‎1.求解与抛物线定义有关的问题，利用抛物线的定义求轨迹方程，求抛物线的标准方程．‎ ‎2．求抛物线的焦点和准线，求解与抛物线焦点有关的问题(如焦点弦、焦半径等问题).‎ 分值：5分 ‎1．抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)__距离相等__的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的__焦点__，直线l叫做抛物线的__准线__．‎ ‎2．抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2＝2px ‎(p＞0)‎ y2＝－2px ‎(p＞0)‎ x2＝2py ‎(p＞0)‎ x2＝－2py ‎(p＞0)‎ p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O__(0,0)__‎ 对称轴 ‎__y＝0__‎ ‎__x＝0__‎ 焦点 F F F F 离心率 e＝__1__‎ 准线 ‎__x＝－__‎ ‎__x＝__‎ ‎__y＝－__‎ ‎__y＝__‎ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 ‎(其中P(x0，y0))‎ ＝‎ ‎__x0＋__‎ ＝‎ ‎__－x0＋ ＝‎ ‎__y0＋__‎ ＝‎ ‎__－y0＋ ‎__‎ ‎__‎ ‎3．必会结论 抛物线焦点弦的几个常用结论 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ‎(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.‎ ‎(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)．‎ ‎(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．‎ ‎(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p.‎ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．‎ ‎(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　×　)‎ ‎(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　×　)‎ ‎(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　×　)‎ 解析 (1)错误．当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线；‎ ‎(2)错误．方程y＝ax2(a≠0)可化为x2＝y是焦点在y轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是y＝－；‎ ‎(3)错误．抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形．‎ ‎2．抛物线y＝－2x2的准线方程是(　D　)‎ A．x＝　　 B．x＝　　‎ C．y＝　　 D．y＝ 解析 抛物线方程为x2＝－y，∴p＝，准线方程为y＝.‎ ‎3．抛物线y2＝24ax(a＞0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为(　A　)‎ A．y2＝8x　　 B．y2＝12x　　‎ C．y2＝16x　　 D．y2＝20x 解析 准线方程为l：x＝－‎6a，M到准线的距离等于它到焦点的距离，则3＋‎6a＝5，a＝‎ ，抛物线方程为y2＝8x.‎ ‎4．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为(　D　)‎ A．圆　　 B．椭圆　　‎ C．双曲线　　 D．抛物线 解析 由题意知，点P到点(2,0)的距离与P到直线x＝－2的距离相等，由抛物线定义得点P的轨迹是以(2,0)为焦点、以直线x＝－2为准线的抛物线．‎ ‎5．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是__x＝－__.‎ 解析 线段OA的中垂线方程为4x＋2y－5＝0，‎ 令y＝0得x＝，‎ ‎∴焦点F，准线方程为x＝－.‎ 一　抛物线的定义及应用 抛物线中的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．‎ ‎(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．‎ ‎(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．‎ ‎【例1】 (1)已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为(　D　)‎ A．　　 B．　　‎ C．1　　 D．2‎ ‎(2)(2017·全国卷Ⅰ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　A　)‎ A．16　　 B．‎14　‎　‎ C．12　　 D．10‎ 解析 (1)由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l垂足为点A1，过点B 作BB1⊥l垂足为点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则|MM1|＝.‎ 因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，‎ 所以|AA1|＋|BB1|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3.‎ 故点M到x轴的距离d≥2.‎ ‎(2)抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1,0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k，则l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－(x－1)，由消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝＝2＋，由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝2＋＋2＝4＋.同理得|DE|＝4＋4k2，∴|AB|＋|DE|＝4＋＋4＋4k2＝8＋4≥8＋8＝16，当且仅当＝k2，即k＝±1时取等号，故|AB|＋|DE|的最小值为16，故选A．‎ 二　抛物线的标准方程及其几何性质 ‎(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．‎ ‎(2)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．‎ ‎(3)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．‎ ‎【例2】 (1)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝(　C　)‎ A．1　　 B．　　‎ C．2　　 D．3‎ ‎(2)抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝__6__.‎ 解析 (1)因为双曲线的离心率e＝＝2，所以b＝a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，与抛物线的准线x＝－相交于点A，点B，所以△AOB的面积为×‎ ×p＝，又p＞0，所以p＝2.‎ ‎(2)在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，＝p，所以B.又因为点B在双曲线上，故－＝1，解得p＝6.　‎ 三　直线与抛物线的位置关系及弦长问题 ‎(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．‎ ‎(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式＝x1＋x2＋p；若不过焦点，则必须用弦长公式．‎ ‎【例3】 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且＝8.‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，点P为l上一点，求·的最小值．‎ 解析 (1)由题意可知F，则该直线方程为y＝x－，‎ 代入y2＝2px(p＞0)，得x2－3px＋＝0，‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ ‎∵＝8，∴x1＋x2＋p＝8，‎ 即3p＋p＝8，解得p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)设直线l的方程为y＝x＋b，代入y2＝4x，得x2＋(2b－4)x＋b2＝0.‎ ‎∵直线l为抛物线C的切线，∴Δ＝16(1－b)＝0，解得b＝1，‎ ‎∴直线l的方程为y＝x＋1.由(1)可知：x1＋x2＝6，x1x2＝1，‎ 设P(m，m＋1)，则＝(x1－m，y1－(m＋1))，‎ ＝(x2－m，y2－(m＋1))，‎ ‎∴·＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)][y2－(m＋1)]‎ ‎＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)(y1＋y2)＋(m＋1)2.‎ ‎∵x1＋x2＝6，x1x2＝1，∴(y1y2)2＝16x1x2＝16，y1y2＝－4.‎ ‎∵y－y＝4(x1－x2)，∴y1＋y2＝4·＝4.‎ ‎∴·＝1－‎6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2＝‎ ‎2(m2－‎4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14.‎ 当且仅当m＝2时，即点P的坐标为(2,3)时，·取最小值为－14.‎ ‎1．若动圆的圆心在抛物线y＝x2上，且与直线y＋3＝0相切，则此圆恒过定点(　C　)‎ A．(0,2)　　 B．(0，－3)　　　　‎ C．(0,3)　　 D．(0,6)‎ 解析 直线y＋3＝0是抛物线x2＝12y的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y＝－3的距离与到焦点(0,3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0,3)．‎ ‎2．已知点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，则＋的最小值为(　C　)‎ A．7　　 B．8　　　　‎ C．9　　 D．10‎ 解析 抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y＝－1，根据抛物线的定义知，＝＝＋1.‎ ‎∴＋＝＋－1＝＋－1≥－1＝－1＝10－1＝9，‎ 当且仅当A，P，F三点共线时，等号成立，则＋的最小值为9.‎ ‎3．已知点F1，F2分别是双曲线3x2－y2＝‎3a2(a>0)的左、右焦点，点P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，若＋＝12，则抛物线的准线方程为__x＝－2__.‎ 解析 将双曲线方程化为标准方程得－＝1，抛物线的准线为x＝－‎2a，联立解得x＝‎3a，即点P的横坐标为‎3a.而由，得＝6－a，‎ ‎∴＝‎3a＋‎2a＝6－a，得a＝1，∴抛物线的准线方程为x＝－2.‎ ‎4．(2017·北京卷)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．‎ ‎(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；‎ ‎(2)求证：A为线段BM的中点．‎ 解析 (1)由抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)，得p＝.所以抛物线C的方程为y2＝x.‎ 抛物线C的焦点坐标为.准线方程为x＝－.‎ ‎(2)证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋(k≠0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)．‎ 由得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0.‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 因为点P的坐标为(1,1)，所以直线OP的方程为y＝x，点A的坐标为(x1，x1)．‎ 直线ON的方程为y＝x，点B的坐标为.‎ 因为y1＋－2x1＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝0，‎ 所以y1＋＝2x1.故A为线段BM的中点．‎ 易错点　对直线与抛物线的公共点认识不清 错因分析：只考虑直线斜率k存在的情况而忽略k不存在以及直线l平行于抛物线对称轴时的两种情形．‎ ‎【例1】 过点(0,3)的直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点，求直线l的方程．‎ 解析 当斜率k存在且k≠0时，设直线l的方程为y＝kx＋3，将其代入y2＝4x，整理得k2x2＋(6k－4)x＋9＝0，则由Δ＝0解得k＝；当k＝0时，直线l的方程为y＝3，此时l平行于对称轴，且与抛物线只有一个交点；当k不存在时，直线l与抛物线也只有一个公共点，此时l的方程为x＝0.综上，过点(0,3)且与抛物线y2＝4x只有一个公共点的直线l的方程为y＝x＋3；y＝3；x＝0.‎ ‎【跟踪训练1】 设抛物线C：y2＝2px(p>0)，过点M(p,0)作直线l.证明：l与C至少有一个交点．‎ 证明 (1)当直线与y轴不垂直时，设l：x＝my＋p，联立C与l的方程，得则y2－2pmy－2p2＝0.‎ Δ＝(2pm)2＋4·2p2＝4p2(m2＋2)>0恒成立．‎ 故此时C与l有2个交点．‎ ‎(2)当直线l与y轴垂直时，l：x＝0，C与l有一个交点(0,0)．‎ 综上(1)，(2)知，C与l至少有一个交点．‎ 课时达标　第52讲 ‎[解密考纲]对抛物线的定义、标准方程及几何性质的考查是常数，通常在选择题、填空题中单独考查或在解答题中与圆锥曲线综合考查．‎ 一、选择题 ‎1．(2018·宁夏银川九中月考)已知抛物线的方程为标准方程，焦点在x轴上，其上点P(－3，m)到焦点的距离为5，则抛物线方程为(　B　)‎ A．y2＝8x　　 B．y2＝－8x C．y2＝4x　　 D．y2＝－4x 解析 设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则－(－3)＝5，‎ ‎∴p＝4，∴抛物线方程为y2＝－8x.故选B．‎ ‎2．(2018·江西九江第一次统考)已知抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，过抛物线上一点M(p，p)和抛物线的焦点F作直线l交抛物线于另一点N，则|NF|∶|FM|＝(　C　)‎ A．1∶　　 B．1∶　　‎ C．1∶2　　 D．1∶3‎ 解析 由题意知直线l的方程为y＝2，‎ 联立方程得N.‎ 所以|NF|＝＋＝p，|MF|＝p＋＝p，‎ 所以|NF|∶|FM|＝1∶2，故选C．‎ ‎3．已知抛物线C：y2＝4x，顶点为O，动直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C交于A，B两点，则·＝(　A　)‎ A．5　　 B．－‎5　‎　‎ C．4　　 D．－4‎ 解析 设A，B，由已知得直线l过定点E(－1,0)，因为E，A，B三点共线，所以y2＝y1，‎ 即(y1－y2)＝y1－y2，因为y1≠y2，所以y1y2＝4，‎ 所以·＝＋y1y2＝5.‎ ‎4．(2018·吉林长春一模)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则＝(　A　)‎ A．　　 B．　　‎ C．　　 D． 解析 设抛物线的准线为l：x＝－，|FB|＝m，|FA|＝n，‎ 过A，B两点向准线l作垂线AC，BD，‎ 由抛物线定义知|AC|＝|FA|＝n，|BD|＝|FB|＝m，‎ 过B作BE⊥AC，E为垂足，‎ 则|AE|＝|CE|－|AC|＝|BD|－|AC|＝m－n，‎ ‎|AB|＝|FA|＋|FB|＝n＋m.‎ 在Rt△ABE中，∠BAE＝60°，cos 60°＝＝＝，‎ 即m＝3n.故＝＝＝.‎ ‎5．已知点A(2,1)，抛物线y2＝4x的焦点是F，若抛物线上存在一点P，使得|PA|＋|PF|最小，则点P的坐标为(　D　)‎ A．(2,1)　　 B．(1,1)‎ C．　　 D． 解析 由抛物线定义知，|PF|等于P到准线x＝－1的距离，当PA与准线垂直时|PA|＋|PF|最小，∴P点的纵坐标为1，代入方程得x＝.‎ ‎6．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为(　D　)‎ A．　　 B． C．1　　 D．2‎ 解析 由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l于点A1，过点B作BB1⊥l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l于点M1，则|MM1|＝.‎ 因为6＝|AB|≤|AF|＋|BF|，‎ 所以|AA1|＋|BB1|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3，‎ 故点M到x轴的距离d≥2，故选D．‎ 二、填空题 ‎7．(2018·福建福州质检)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作倾斜角为30°的直线l与抛物线交于P，Q两点，分别过P，Q两点作PP1，QQ1垂直于抛物线的准线于P1，Q1，若|PQ|＝2，则四边形PP1Q1Q的面积是__1__.‎ 解析 由题意得四边形PP1Q1Q为直角梯形，|PP1|＋|QQ1|＝|PQ|＝2，|P1Q1|＝|PQ|sin 30°＝1，∴S＝·|P1Q1|＝1.‎ ‎8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面‎2米，水面宽‎4米．水位下降‎1米后，水面宽__2__米．‎ 解析 如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．‎ 由题意将点A(2，－2)代入x2＝－2py，‎ 得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面宽为‎2米．‎ ‎9．(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM 的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝__6__.‎ 解析 依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0)，准线x＝－2，因为点N在y轴上，M为FN的中点，所以点M的横坐标为1，‎ 所以|MF|＝1－(－2)＝3，|FN|＝2|MF|＝6.‎ 三、解答题 ‎10．已知抛物线y2＝4px(p>0)的焦点为F，圆W：(x＋p)2＋y2＝p2的圆心到过点F的直线l的距离为p.‎ ‎(1)求直线l的斜率；‎ ‎(2)若直线l与抛物线交于A，B两点，△WAB的面积为8，求抛物线的方程．‎ 解析 (1)易知抛物线y2＝4px(p>0)的焦点为F(p,0)，依题意设直线l的方程为x＝my＋p，因为W(－p,0)，所以点W到直线l的距离为＝p，解得m＝±，所以直线l的斜率为±.‎ ‎(2)由(1)知直线l的方程为x＝±y＋p，由于两条直线关于x轴对称，不妨取x＝y＋p，代入y2＝4px中，‎ 得y2－4py－4p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则y1＋y2＝4p，y1y2＝－4p2，‎ 所以|AB|＝·＝16p，‎ 因为△WAB的面积为8，所以p×16p＝8，得p＝1，‎ 所以抛物线的方程为y2＝4x.‎ ‎11．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点C(－2,0)的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，·＝12.‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程．‎ 解析 (1)设l：x＝my－2，代入y2＝2px中，‎ 得y2－2pmy＋4p＝0.(*)‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 所以y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，所以x1x2＝＝4.‎ 因为·＝12，所以x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12，‎ 得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)(1)中(*)式可化为y2－4my＋8＝0.‎ y1＋y2＝‎4m，y1y2＝8.设AB的中点为M，‎ 则|AB|＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝‎4m2‎－4，①‎ 又|AB|＝|y1－y2|＝，②‎ 由①②得(1＋m2)(‎16m2‎－32)＝(‎4m2‎－4)2，‎ 解得m2＝3，m＝±.‎ 所以直线l的方程为x＋y＋2＝0或x－y＋2＝0.‎ ‎12．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线：C：y2＝2x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．‎ ‎(1)证明：坐标原点O在圆M上；‎ ‎(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．‎ 解析 (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2.‎ 由可得y2－2my－4＝0，则y1y2＝－4.‎ 又x1＝，x2＝，故x1x2＝＝4.‎ 因此OA的斜率与OB的斜率之积为·＝＝－1，‎ 所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆M上．‎ ‎(2)由(1)可得y1＋y2＝‎2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝‎2m2‎＋4.‎ 故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，‎ 圆M的半径r＝.‎ 由于圆M过点P(4，－2)，因此·＝0，‎ 即(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，‎ 即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.‎ 由(1)可得y1y2＝－4，x1x2＝4.‎ 所以‎2m2‎－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.‎ 当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为，圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.‎ 当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，‎ 圆心M的坐标为，圆M的半径为，‎ 圆M的方程为2＋2＝.‎