高中数学必修1备课资料（2_2 函数模型的应用举例 ）

高中数学必修1备课资料（2_2 函数模型的应用举例 ）

备课资料 ‎［备选例题］‎ ‎【例1】某车间生产某种产品，固定成本为2万元，每生产一件产品成本增加100元，已知总收益R(总收益指工厂出售产品的全部收入，它是成本与总利润的和，单位：元)是年产量Q(单位：件)的函数，满足关系式：‎ R=f(Q)=‎ 求每年生产多少产品时，总利润最大？此时总利润是多少元？‎ 解：y=R－100Q－20 000=(Q∈Z).‎ ‎(1)0≤Q≤400时,y=(Q-300)2+25000,‎ ‎∴当Q=300时,ymax=25000.‎ ‎(2)Q>400时,y=60000-100Q<20000,‎ ‎∴综合(1)(2),当每年生产300件时利润最大为25000元.‎ ‎【例2】2007康成中学高三期末模拟题,文19康成塑料制品厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为估测作依据，用一个函数模拟该产品的月产量y和月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数y=ax2+bx+c或函数y=a·bx+c（其中a、b、c为常数，a≠0），已知4月份该产品的产量为1.37万件，问用上述哪个函数作为模拟函数好？请说明理由.‎ 解：若模拟函数为y=ax2+bx+c,‎ 由已知得解得 则有y=-0.5x2+0.35x+0.7，‎ 因此当x=4时，y=1.3.‎ 若模拟函数为y=a·bx+c,‎ 由已知得解得 则有y=-0.8×0.5x+1.4，‎ 因此当x=4时,y=1.35.‎ ‎∵1.35比1.3更接近1.37,‎ ‎∴应将y=-0.8×0.5x+1.4作为模拟函数.‎ ‎(设计者：赵冠明)‎ 本章复习 整体设计 教学分析 前面学习了函数与方程、函数模型及应用等内容，通过本节学习进一步巩固前面学习的内容，突出重点总结规律，使原来的知识更系统，使原来方法更清晰，形成完整的知识结构和方法体系.‎ 我们小结的目的不仅要总结知识、归纳方法，还要让学生学会运用学过的知识方法解决现实问题，提高学生的素质.‎ 三维目标 ‎1.理解方程的根与函数零点的关系，会用二分法求函数零点.‎ ‎2.巩固常见函数模型的应用.‎ ‎3.通过本章学习逐步认识数学，学会用数学方法认识世界、改造世界.‎ 重点难点 应用数学模型解决实际问题.‎ 课时安排 ‎1课时 教学过程 导入新课 思路1.(情景导入)‎ 同样一张书桌有的整洁、有的凌乱，同样一支球队，在不同教练带领下战斗力会有很大不同，例如达拉斯小牛队在“小将军”约翰逊的带领下攻防具佳所向披靡,为什么呢?因为书桌需要不断整理，球队需要系统的训练、清晰的战术、完整的攻防体系.我们学习也是一样，需要不断归纳整理、系统总结，今天我们把第三章函数的应用进行归纳复习.‎ 思路2.(直接事例导入)‎ 大到天体运动小到细菌繁殖，无论政治现象还是经济现象，在这繁杂的世界上无不变化，怎样描述这些变化呢？我们知道可以通过函数模型来描述这些变化，本节我们来归纳复习一下函数的应用.‎ 推进新课 新知探究 提出问题 回忆本章内容,总结本章知识结构.‎ 讨论结果：‎ 本章知识结构 应用示例 例1已知函数f(x)=x-1+x2-2，试利用基本初等函数的图象判断f(x)‎ 有几个零点；并利用零点存在性法则确定各零点所在的范围(各区间长度不超过1).‎ 图3-1‎ 活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：把一个不易作出的函数图象转化为两个容易作出的图象.‎ 解：由f(x)＝0，得x-1=x2+2,令y1=x-1,y2=x2+2,其中抛物线顶点为(0，2)，与x轴交于点(－2，0)、(2，0).‎ 如图所示（图31），y1与y2图象有3个交点，从而函数f(x)有3个零点.‎ 由f(x)知x≠0，f(x)图象在(－∞,0)、(0，＋∞)上分别是连续不断的，‎ 且f(-3)=>0，f(-2)=<0，f()=>0,f(1)=<0,f(2)=>0,‎ 即f(－3)·f(－2)<0，f()·f(1)<0，f(1)·f(2)<0，‎ ‎∴三个零点分别在区间(－3,－2)、(，1)、(1，2)内.‎ 点评：本题考查数形结合思想和零点判断方法.‎ 例2设函数f(x)=x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的.‎ 先求值：f(0)＝________，f(1)＝________,f(2)＝________,f(3)＝________.‎ 所以f(x)在区间________内存在零点x0，填下表，‎ 区 间 中点m f(m)符号 区间长度 下结论：___________________________________.‎ 可参考条件：f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(1.125)<0，f(1.187 5)>0.‎ 活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：‎ 利用二分法求方程近似解一般步骤求函数的零点.‎ 解：f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9，f(3)＝31,‎ ‎∴初始区间为(1，2).‎ 区 间 中点mf ‎(m)符号 区间长度 ‎(1，2)‎ ‎1.5‎ ‎+‎ ‎(1,1.5)‎ ‎(1.25)‎ ‎+‎ ‎0.5‎ ‎(1,1.25)‎ ‎1.125‎ ‎-‎ ‎0.25‎ ‎(1.125,1.25)‎ ‎1.1875‎ ‎+‎ ‎0.125‎ ‎(1.125,1.1875)‎ ‎0.0625‎ ‎∵|1.1875-1.125|=0.062 5<0.1,∴x0≈1.125(不唯一)．‎ 点评：这种题型便于学生操作，是一种新考法，应特别重视.‎ 知能训练 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩留量是原来的一半（结果保留1个有效数字）.‎ 解：设这种物质最初的质量是1，经过x年，剩留量是y.‎ 经过1年，剩留量y=1×84%=0.841;‎ 经过2年，剩留量y=1×84%×84%=0.842;‎ ‎……‎ 一般地，经过x年，剩留量y=0.84x,‎ 根据这个函数关系式可以列表如下：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎1‎ ‎0.84‎ ‎0.71‎ ‎0.59‎ ‎0.50‎ ‎0.42‎ ‎0.35‎ 用描点法画出指数函数y=0.84x的图象.从图上看出y=0.5只需x≈4.‎ 答：约经过4年，剩留量是原来的一半.‎ 拓展提升 请同学们思考探究：函数模型的应用，并进行规律总结.‎ 活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导.‎ 答案：(供参考)‎ 数学模型及其应用 数学来源于实际又服务于实际，如何运用数学知识解决生活中的实际应用问题？这里的关键是“问题情景的数学化”,即从所熟悉的生活、生产和其他学科的实际问题出发，进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑推理，得出数学概念和规律，通过构造出一个对应的数学模型而使问题清晰化、具体化，找到有效的解题途径——构建数学模型，使实际生活问题抽象为数学问题．逐步把数学知识用到生产、生活的实际中，形成应用数学的意识，培养分析问题和解决问题的能力．‎ ‎1.数学应用题大致可以分为以下四种不同的类型：‎ ‎（1）直接套用现成的公式；‎ ‎（2）利用现成的数学模型对应用题进行定量分析；‎ ‎（3）对于已经经过提炼加工后，各因素之间数量关系比较清楚的实际问题，建立数学模型；‎ ‎（4）对原始的实际问题进行分析加工，建立数学模型．‎ ‎2.解应用题的策略：‎ 一般思路可表示如下：‎ ‎①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；‎ ‎②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；‎ ‎③解模：求解数学模型，得出数学结论；‎ ‎④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．‎ 规律总结 ‎1.在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．‎ ‎2.在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图、建立坐标系等，以使实际问题数学符号化．‎ ‎3.‎ 对于建立的各种数学模型，要能够进行模型识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本．‎ 课堂小结 ‎1.复习巩固;2.规律总结;3.思想升华.‎ 作业 课本P112复习参考题任选两题.‎ 设计感想 本节通过一个学生感兴趣的话题使学生认识到小结的重要性,然后通过最新模拟题再现了本章重点题型.本节不仅总结了有关用数学模型解决实际问题的解题规律,而且给出了本章知识结构图,使本章的知识更加系统,脉络更加清晰,使学生的认识水平和解题能力进一步升华,决不是前面知识的简单重复,因此达到了小结的目的.‎ 习题详解 ‎(课本第112页复习参考题)‎ A组 ‎1.C ‎2.C ‎3.设经过时间t后列车离C地的距离为y，则y=‎ 图3-2‎ ‎4.(1)圆柱形;‎ ‎(2)上底小、下底大的圆台形;‎ ‎(3)上底大、下底小的圆台形;‎ ‎(4)呈下大上小的两节圆柱形.‎ 图略.‎ 图3-3‎ ‎5.令f(x)=2x3-4x2-3x+1,函数图象如右所示:‎ 函数分别在区间(-1,0)、(0,1)和区间(2,3)内各有一个零点,所以方程2x3-4x2-3x+1=0的最大的根应在区间(2,3)内.‎ 取区间(2,3)的中点x1=2.5,用计算器可算得f(2.5)=-0.25.因为f(2.5)·f(3)<0,所以x0∈(2.5,3).‎ 再取(2.5,3)的中点x2=2.75,用计算器可算得f(2.75)≈4.09.‎ 因为f(2.5)·f(2.75)<0,所以x0∈(2.5,2.75).‎ 同理,可得x0∈(2.5,2.625),x0∈(2.5,2.5625),x0∈(2.5,2.53125),x0∈(2.515625,2.53125),x0∈‎ ‎(2.515625,2.5234375).‎ 由于|2.523 437 5-2.515 625|=0.007 812 5<0.01,‎ 所以原方程的最大根约为2.523 437 5.‎ ‎6.令lgx=,即得方程lgx=0,再令g(x)=lgx,用二分法求得交点的横坐标约为2.5.‎ 图3-4‎ ‎7.如图,作DE⊥AB,垂足为E.由已知可得∠ADB=90°.‎ 因为AD=x,AB=4,于是AD2=AE×AB,‎ 即AE==.‎ 所以CD=AB-2AE=4-2×=4.‎ 于是y=AB+BC+CD+AD=4+x+4+x=+2x+8.‎ 由于AD>0,AE>0,CD>0,所以x>0,>0,4>0,解得01,所以eλ>1,即0<<1.‎ 又N0是正常数,所以N=N0()t是在于t的减函数.‎ ‎(2)N=N0e-λt,因为e-λt=,所以-λt=ln,即t=ln.‎ ‎(3)当N=时,t==ln2.‎ ‎9.因为f(1)=-3+12+8=17>0,f(2)=-3×8+12×2+8=8>0,f(3)<0,‎ 所以,下次生产应在两个月后开始.‎ B组 ‎1.厂商希望的是甲曲线;客户希望的是乙曲线.‎ ‎2.函数的解析式为y=f(t)=‎ 函数的图象为 图3-5‎ 备课资料 ‎［备选例题］‎ ‎【例】对于函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-2(a≠0)，若存在实数x0，使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点.‎ ‎（1）当a=2,b=-2时，求f(x)的不动点；‎ ‎（2）若对于任何实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围.‎ 解：(1)f(x)=ax2+(b+1)x+b-2(a≠0),‎ 当a=2,b=-2时,f(x)=2x2-x-4,‎ 设x为其不动点,即2x2-x-4=x，则2x2-2x-4=0,解得x1=-1,x2=2,‎ 即f(x)的不动点为-1,2．‎ ‎(2)由f(x)=x,得ax2+bx+b-2=0.关于x的方程有相异实根,则b2-4a(b-2)>0,‎ 即b2-4ab+8a>0.‎ 又对所有的b∈R,b2-4ab+8a>0恒成立,‎ 故有(4a)2-4·8a<0,得0

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