2017-2018学年江西省赣州市厚德外国语学校高二上学期12月月考数学试题（解析版）

2017-2018学年江西省赣州市厚德外国语学校高二上学期12月月考数学试题（解析版）

‎2017-2018学年江西省赣州市厚德外国语学校高二（上）12月月考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．（5分）某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（　　）‎ A．9 B．18 C．27 D．36‎ ‎2．（5分）下列说法正确的是 ‎ ‎①必然事件的概率等于1； ②某事件的概率等于1.1；‎ ‎③互斥事件一定是对立事件； ④对立事件一定是互斥事件．（　　）‎ A．①② B．②④ C．①④ D．①③‎ ‎3．（5分）如图是2012年在某大学自主招生考试的面试中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（　　）‎ A．84，4.84 B．84，1.6 C．85，1.6 D．85，4‎ ‎4．（5分）从分别写有1，2，3，4，5的五张卡片中任取两张，假设每张卡片被取到的概率相等，且每张卡片上只有一个数字，则收到的两张卡片上的数字之和为偶数的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）按如图的程序框图运行后，输出的S应为（　　）‎ A．26 B．35 C．40 D．57‎ ‎6．（5分）关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是（　　）‎ A．若l⊥α，l∥β，则α⊥β B．若l∥α，m∥α，则l∥m C．若l∥α，α∩β=m，则l∥m D．若l∥α，m⊥l，则m⊥α ‎7．（5分）如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为（　　）‎ A． B． C． D．无法计算 ‎8．（5分）从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（5分）设有一个回归方程，则变量x增加一个单位时（　　）‎ A．y平均增加2.5个单位 B．y平均增加3个单位 C．y平均减少2.5个单位 D．y平均减少3个单位 ‎10．（5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（　　）‎ A．12π B．45π C．57π D．81π ‎11．（5分）分别在区间[1，6]，[1，4]内各任取一个实数依次为m，n，则m＞n的概率是（　　）‎ A．0.3 B．0.667 C．0.7 D．0.714‎ ‎12．（5分）连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为θ，则的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共4小题）‎ ‎13．（5分）用系统抽样法从123个零件中，抽取容量为20的样本，则样本中每个个体的分段间隔是　 　．‎ ‎14．（5分）一枚骰子连续掷了两次，则点数之和为2或3的概率是　 　．‎ ‎15．（5分）设a，b随机取自集合{1，2，3}，则直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点的概率是　 　．‎ ‎16．（5分）如图：点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：‎ ‎①三棱锥A﹣D1PC的体积不变；‎ ‎②A1P∥面ACD1；‎ ‎③DP⊥BC1；‎ ‎④面PDB1⊥面ACD1．‎ 其中正确的命题的序号是　 　．‎ ‎　‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，求x、y的值．‎ ‎18．（12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．‎ ‎（Ⅰ）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；‎ ‎（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m+2的概率．‎ ‎19．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，求异面直线EF和BC1所成的角的余弦值．‎ ‎20．（12分）某车间为了规定工时额，需确定加工零件所花费的时间，为此做了4次试验，得到的数据如图：若加工时间y与零件个数x之间有较好的线性相关关系．（2×2.5+3×3+4×4+5×4.5=52.5）‎ x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ y ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎（1）求加工时间与零件个数的线性回归方程；‎ ‎（2）试预报加工10个零件需要的时间．‎ ‎（附：回归方程系数公式=，）‎ ‎21．（12分）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后贺车；在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒贺车，对于酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员公安机关将给予不同程度的处罚．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了250辆机动车，查出酒后驾车和醉酒贺车的驾驶员20人，图是对这20人血液中酒精含量进行检查所得结果的频率分布直方图．‎ ‎（1）根据频率分布直方图，求：此次抽查的250人中，醉酒驾车的人数；‎ ‎（2）从血液酒精浓度在[70，90）范围内的驾驶员中任取2人，求恰有1人属于醉酒驾车的概率．‎ ‎22．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．‎ ‎（1）证明：D1E⊥A1D；‎ ‎（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；‎ ‎（3）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年江西省赣州市厚德外国语学校高二（上）12月月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．（5分）某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为（　　）‎ A．9 B．18 C．27 D．36‎ ‎【分析】根据条件中职工总数和青年职工人数，以及中年和老年职工的关系列出方程，解出老年职工的人数，根据青年职工在样本中的个数，算出每个个体被抽到的概率，用概率乘以老年职工的个数，得到结果．‎ ‎【解答】解：设老年职工有x人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，则中年职工有2x，‎ ‎∵x+2x+160=430，‎ ‎∴x=90，‎ 即由比例可得该单位老年职工共有90人，‎ ‎∵在抽取的样本中有青年职工32人，‎ ‎∴每个个体被抽到的概率是=，‎ 用分层抽样的比例应抽取×90=18人．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题是一个分层抽样问题，容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混淆．抽样方法是数学中的一个小知识点，但一般不难，故也是一个重要的得分点，不容错过．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）下列说法正确的是 ‎ ‎①必然事件的概率等于1； ②某事件的概率等于1.1；‎ ‎③互斥事件一定是对立事件； ④对立事件一定是互斥事件．（　　）‎ A．①② B．②④ C．①④ D．①③‎ ‎【分析】本题考查事件的关系，涉及到互斥事件，对立事件，必然事件，以及概率的性质，根据这些概念对四个合理进行判断得出正确选项即可．‎ ‎【解答】解：①必然事件的概率等于1，此命题正确，必然事件一定发生，故其概率是1； ‎ ‎②某事件的概率等于1.1，必然事件的概率是1，故概率为1.1的事件不存在，此命题不正确；‎ ‎③互斥事件一定是对立事件，因为对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故本命题不正确； ‎ ‎④对立事件一定是互斥事件，因为对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故本命题正确．‎ 由上判断知，①④是正确命题 故选C．‎ ‎【点评】本题考查互斥事件与对立事件，解题的关键是全面了解事件的关系以及概率的性质．属于概念型题 ‎　‎ ‎3．（5分）如图是2012年在某大学自主招生考试的面试中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（　　）‎ A．84，4.84 B．84，1.6 C．85，1.6 D．85，4‎ ‎【分析】利用平均数和方差的公式分别计算即可．‎ ‎【解答】解：去掉一个最高分93和一个最低分79后的数据为84，84，86，84，87，共5个数据．‎ 所以平均数为．‎ 方差为．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查茎叶图是应用以及平均数和方差的公式，要求熟练掌握相应的公式．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）从分别写有1，2，3，4，5的五张卡片中任取两张，假设每张卡片被取到的概率相等，且每张卡片上只有一个数字，则收到的两张卡片上的数字之和为偶数的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】计算从5张卡片中任取两张的取法种数，再利用分类加法原理计算收到的两张卡片上的数字之和为偶数的取法种数，代入古典概型概率公式计算．‎ ‎【解答】解：从5张卡片中任取两张有=10种取法，‎ 其中收到的两张卡片上的数字之和为偶数有两种情况，‎ 一种是两张都是奇数，有=3种；‎ 另一种是两张都是偶数，有=2种情况，‎ ‎∴收到的两张卡片上的数字之和为偶数的概率为=．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了排列组合的应用及古典概型的概率计算，利用分类加法原理计算收到的两张卡片上的数字之和为偶数的取法种数是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）按如图的程序框图运行后，输出的S应为（　　）‎ A．26 B．35 C．40 D．57‎ ‎【分析】根据已知中的流程图，我们模拟程序的运行结果，看变量T，S的值是否满足判断框的条件，当判断框的条件不满足时执行循环，满足时退出循环，即可得到输出结果．‎ ‎【解答】解：第一次循环：T=3i﹣1=2，S=S+T=2，i=i+1=2，不满足条件，再次循环；‎ 第二次循环：T=3i﹣1=5，S=S+T=7，i=i+1=3，不满足条件，再次循环；‎ 第三次循环：T=3i﹣1=8，S=S+T=15，i=i+1=4，不满足条件，再次循环；‎ 第四次循环：T=3i﹣1=11，S=S+T=26，i=i+1=5，不满足条件，再次循环；‎ 第五次循环：T=3i﹣1=14，S=S+T=40，i=i+1=6，满足条件，输出S的值为40．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查了循环结构，利用模拟循环的执行过程是解答此类问题常用的办法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是（　　）‎ A．若l⊥α，l∥β，则α⊥β B．若l∥α，m∥α，则l∥m C．若l∥α，α∩β=m，则l∥m D．若l∥α，m⊥l，则m⊥α ‎【分析】根据空间线面位置关系的定义，性质和判定定理进行判断．‎ ‎【解答】解：对于A，若l∥β，则存在l′⊂β，使得l∥l′，‎ ‎∵l⊥α，∴l′⊥α，又l′⊂β，∴α⊥β．故A正确；‎ 对于B，若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m相交或l与m异面，故B错误；‎ 对于C，若α∩β=m，则m⊂α，又l∥α，则l∥m或l与m异面，故C错误；‎ 对于D，若l∥α，m⊥l，则m∥α或m与α相交，故D错误．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为（　　）‎ A． B． C． D．无法计算 ‎【分析】由题意结合几何概型计算公式得到关于面积的方程，解方程即可求得最终结果．‎ ‎【解答】解：设阴影部分的面积为S，结合几何概型公式可得：，解得：．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查几何概型及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】‎ 用间接法，首先分析从5个球中任取3个球的情况数目，再求出所取的3个球中没有白球即全部红球的情况数目，计算可得没有白球的概率，而“没有白球”与“3个球中至少有1个白球”为对立事件，由对立事件的概率公式，计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，首先分析从5个球中任取3个球，共C53=10种取法，‎ 所取的3个球中没有白球即全部红球的情况有C33=1种，‎ 则没有白球的概率为；‎ 则所取的3个球中至少有1个白球的概率是．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查古典概型的计算，注意至多、至少一类的问题，可以选用间接法，即借助对立事件的概率的性质，先求其对立事件的概率，进而求出其本身的概率．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）设有一个回归方程，则变量x增加一个单位时（　　）‎ A．y平均增加2.5个单位 B．y平均增加3个单位 C．y平均减少2.5个单位 D．y平均减少3个单位 ‎【分析】写出当自变量增加一个单位时对应的解析式，把所得的解析式同原来的解析式进行比较，得到y的值平均减少2.5个单位 ‎【解答】解：∵回归方程，①‎ ‎∴当自变量由x变为x+1时，‎ y=3﹣2.5（x+1）②‎ ‎∴②﹣①得 即当自变量增加一个单位时，y的值平均减少2.5个单位，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查线性回归方程的意义，本题解题的关键是说明当自变量增加一个单位时，y的值平均增加多少个单位，这里是一个平均值．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（　　）‎ A．12π B．45π C．57π D．81π ‎【分析】由题设知，组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱，分别根据两几何体的体积公式计算出它们的体积再相加即可得到正确选项 ‎【解答】解：由三视图可知，此组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱 故它的体积是5×π×32+π×32×=57π 故选C ‎【点评】本题考查三视图还原几何体及求组合体的体积，解题的关键是熟练记忆相关公式及由三视图得出几何体的长宽高等数据，且能根据几何体的几何特征选择恰当的公式进行求体积的运算，‎ ‎　‎ ‎11．（5分）分别在区间[1，6]，[1，4]内各任取一个实数依次为m，n，则m＞n的概率是（　　）‎ A．0.3 B．0.667 C．0.7 D．0.714‎ ‎【分析】由题意知本题是一个几何概型，根据所给的条件作出试验发生是包含的所有事件是一个矩形区域，做出面积，看出满足条件的事件对应的面积，根据几何概型公式得到结果．‎ ‎【解答】解：如图，则在区间[1，6]和[1，4]内任取一个实数，‎ 依次记为m和n，则（m，n）表示的图形面积为3×5=15‎ 其中满足m＞n，即在直线m=n右侧的点表示的图形面积为：，‎ 故m＞n的概率P=，‎ 故选C．‎ ‎【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为θ，则的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由题意知本题是一个古典概型，根据分步计数原理可以得到试验发生包含的所有事件数，满足条件的事件数要通过列举得到，题目大部分内容考查的是向量的问题，这是一个综合题．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，‎ 试验发生包含的所有事件数6×6，‎ ‎∵m＞0，n＞0，‎ ‎∴=（m，n）与=（1，﹣1）不可能同向．‎ ‎∴夹角θ≠0．‎ ‎∵θ∈（0，】‎ ‎•≥0，∴m﹣n≥0，‎ 即m≥n．‎ 当m=6时，n=6，5，4，3，2，1；‎ 当m=5时，n=5，4，3，2，1；‎ 当m=4时，n=4，3，2，1；‎ 当m=3时，n=3，2，1；‎ 当m=2时，n=2，1；‎ 当m=1时，n=1．‎ ‎∴满足条件的事件数6+5+4+3+2+1‎ ‎∴概率P==．‎ 故选C．‎ ‎【点评】向量知识，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共4小题）‎ ‎13．（5分）用系统抽样法从123个零件中，抽取容量为20的样本，则样本中每个个体的分段间隔是　6　．‎ ‎【分析】系统抽样的步骤，第一步，先将总体的N个个体编号，第二步，确定分段间隔k，当 是整数时，取k=，若当 是整数时，先从总体中剔除一些个体，使剩下的总体的个体数比样本容量是整数，第三步，在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号，第四步，按照一定的规则抽取样本．根据步骤，可得结论．‎ ‎【解答】解：先把总体分成均匀的几部分，‎ ‎∵不是整数，先剔除3个个体，‎ 则 =6，‎ ‎∴抽样间隔为6‎ 故答案为6‎ ‎【点评】本题主要考查了抽样方法中的系统抽样，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）一枚骰子连续掷了两次，则点数之和为2或3的概率是　　．‎ ‎【分析】基本事件总数n=6×6=36，再用列举法求出点数之和为2或3包含的基本事件有3个，由此能求出点数之和为2或3的概率．‎ ‎【解答】解：一枚骰子连续掷了两次，‎ 基本事件总数n=6×6=36．‎ 点数之和为2或3包含的基本事件有：‎ ‎（1，1），（1，2），（2，1），共3个，‎ 则点数之和为2或3的概率p=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）设a，b随机取自集合{1，2，3}，则直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点的概率是　　．‎ ‎【分析】由题意可得，直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，化简即a2+b2≥9．‎ 所有的（a，b）共有3×3个，用列举法求得满足条件的（a，b）共有5个，由此求得直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1‎ 有公共点的概率．‎ ‎【解答】解：直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点，即 圆心到直线的距离小于或等于半径，即 ≤1，即 a2+b2≥9．‎ 所有的（a，b）共有3×3=9个，而满足条件的（a，b）共有：（1，3）、（2，3）、（3，3）、（3，1）、（3，2），共有5个，‎ 故直线ax+by+3=0与圆x2+y2=1有公共点的概率是 ，‎ 故答案为 ．‎ ‎【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，应用列举法来解题是这一部分的最主要思想．还考查了直线和圆的位置关系的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）如图：点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：‎ ‎①三棱锥A﹣D1PC的体积不变；‎ ‎②A1P∥面ACD1；‎ ‎③DP⊥BC1；‎ ‎④面PDB1⊥面ACD1．‎ 其中正确的命题的序号是　①②④　．‎ ‎【分析】如右图，对于①，容易证明AD1∥BC1，从而BC1∥平面AD1C，以P为顶点，平面AD1C为底面，易得；对于②，连接A1B，A1C1容易证明平面BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得；‎ 对于③，由于DC⊥平面BCB1C1，所以DC⊥BC1平面，若DP⊥BC1，则DC与DP重合，与条件矛盾；对于④，容易证明PDB1⊥面ACD1，从而可以证明面面垂直．‎ ‎【解答】解：对于①，容易证明AD1∥BC1，从而BC1∥平面AD1C，故BC1‎ 上任意一点到平面AD1C的距离 均相等，所以以P为顶点，平面AD1C为底面，则三棱锥A﹣D1PC的体积不变；正确；‎ 对于②，连接A1B，A1C1容易证明A1C1∥AD1且相等，由于①知：AD1∥BC1，‎ 所以BA1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得A1P∥面ACD1；②正确；‎ 对于③由于DC⊥平面BCB1C1，所以DC⊥BC1，若DP⊥BC1，则BC1⊥平面DCP，‎ BC1⊥PC，则P为中点，与P为动点矛盾；错误；‎ 对于④，连接DB1，由DB1⊥AC且DB1⊥AD1，可得DB1⊥面ACD1，从而由面面垂直的判定知：④正确．‎ 故答案为：①②④‎ ‎【点评】本题考查三棱锥体积求法中的等体积法；线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想．‎ ‎　‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，求x、y的值．‎ ‎【分析】根据茎叶图与中位数、平均数的定义，即可求出x、y的值．‎ ‎【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；‎ 甲组数据是9，12，10+x，24，27；‎ 它的中位数为l5，∴x=5；‎ 乙组数据的平均数为 ‎×[9+15+（10+y）+18+24]=16.8，解得y=8；‎ 所以x、y的值分别是5和8．‎ ‎【点评】本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数和平均数的应用问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．‎ ‎（Ⅰ）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；‎ ‎（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m+2的概率．‎ ‎【分析】（I）列举出基本事件个数和符合条件的基本事件个数，得出答案；‎ ‎（II）列举出基本事件个数和符合条件的基本事件个数，得出答案；‎ ‎【解答】解：（I）从袋中随机抽取两个球，共有=6种情况，它们出现的机会均等．‎ 分别为（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），‎ 其中取出的球的编号之和不大于4共有2种情况，即（1，2），（1，3），‎ ‎∴P（取出的球的编号之和不大于4）==．‎ ‎（II）先从袋中随机取一个球，放回袋中，再取出一个球，共有4×4=16中情况，它们出现的机会均等，‎ 其中n＜m+2的基本事件共有13个，‎ 分别是（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），‎ ‎∴P（n＜m+2）=．‎ ‎【点评】本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，求异面直线EF和BC1所成的角的余弦值．‎ ‎【分析】以A为原点，过点A作CB的平行线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线EF和BC1所成的角的余弦值．‎ ‎【解答】解：∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，‎ ‎∴以A为原点，过点A作CB的平行线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 设AB=BC=AA1=2，‎ 则E（1，，0），F（2，，1），B（2，，0），C1（0，2，2），‎ ‎=（1，，1），=（﹣2，），‎ 设异面直线EF和BC1所成的角为θ．‎ 则cosθ===，‎ ‎∴异面直线EF和BC1所成的角的余弦值为．‎ ‎【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）某车间为了规定工时额，需确定加工零件所花费的时间，为此做了4次试验，得到的数据如图：若加工时间y与零件个数x之间有较好的线性相关关系．（2×2.5+3×3+4×4+5×4.5=52.5）‎ x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ y ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎（1）求加工时间与零件个数的线性回归方程；‎ ‎（2）试预报加工10个零件需要的时间．‎ ‎（附：回归方程系数公式=，）‎ ‎【分析】（1）根据表中所给的数据，做出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，求出对应的横标和纵标的积的和，求出横标的平方和，做出系数和a的值，写出线性回归方程．‎ ‎（2）将x=10代入回归直线方程，得y的值，即可预测加工10个零件需要8.05个小时，这是一个预报值．‎ ‎【解答】解：（1）由表中数据得：xiyi=52.5，=3.5，=3.5，xi2=54．‎ ‎∴b==0.7‎ 故a=3.5﹣0.7×3.5=1.05，‎ ‎∴所求线性回归方程为：y=0.7x+1.05．‎ ‎（2）将x=10代入回归直线方程，得y=0.7×10+1.05=8.05（小时）．‎ ‎∴试预测加工10个零件需要8.05个小时．‎ ‎【点评】本题考查线性回归方程的求法和应用，本题是一个基础题，解题的关键是看清正确运算，本题运算比较繁琐．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后贺车；在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒贺车，对于酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员公安机关将给予不同程度的处罚．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了250辆机动车，查出酒后驾车和醉酒贺车的驾驶员20人，图是对这20人血液中酒精含量进行检查所得结果的频率分布直方图．‎ ‎（1）根据频率分布直方图，求：此次抽查的250人中，醉酒驾车的人数；‎ ‎（2）从血液酒精浓度在[70，90）范围内的驾驶员中任取2人，求恰有1人属于醉酒驾车的概率．‎ ‎【分析】（1）根据频率分步直方图制作频率分布表，求得这20人血液中酒精含量不低于80mg/100ml 的人数，即得所求．‎ ‎（2）因为血液酒精浓度在[70，80）内范围内应抽3人，，[80，90）范围内有2人，所有的抽法10种，恰有一人的血液酒精浓度在[‎ ‎80，90）范围内的情况有6种，由此求得恰有1人属于醉酒驾车的概率．‎ ‎【解答】解：（1）‎ 酒精含量（单位：mg/100ml）‎ ‎[20，30）‎ ‎[30，40）‎ ‎[40，50）‎ ‎[50，60）‎ 人数 ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎1‎ 酒精含量（单位：mg/100ml）‎ ‎[60，70）‎ ‎[70，80）‎ ‎[80，90）‎ ‎[90，100]‎ 人数 ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ 所以醉酒驾车的人数为2+1=3人…（6分）‎ 故此次抽查的250人中，醉酒驾车的人数为3人．‎ ‎（2）因为血液酒精浓度在[70，80）内范围内应抽3人，记为a，b，c，[80，90）范围内有2人，记为d，e，‎ 则从中任取2人的所有情况为（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），‎ ‎（c，d），（c，e），（d，e），共10种…．（8分）‎ 恰有一人的血液酒精浓度在[80，90）范围内的情况有（a，d），（a，e），（b，d），（b，e），‎ ‎（c，d），（c，e），共6种，…．（10分）‎ 设“恰有1人属于醉酒驾车”为事件A，则P（A）==．…．（12分）‎ ‎【点评】本题主要考查频率分步直方图的应用，古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．‎ ‎（1）证明：D1E⊥A1D；‎ ‎（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；‎ ‎（3）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．‎ ‎【分析】解法（一）：‎ ‎（1）通过观察，根据三垂线定理易得：不管点E在AB的任何位置，D1E⊥A1D总是成立的．‎ ‎（2）在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题可采用“等积法”：即利用三棱锥的换底法，通过体积计算得到点到平面的距离．本法具有设高不作高的特殊功效，减少了推理，但计算相对较为复杂．根据=既可以求得点E到面ACD1的距离．‎ ‎（3）二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，‎ 则∠DHD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角．‎ 解法（二）：‎ 以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．‎ ‎（1）因为=（1，0，1）•（1，x，﹣1）=0，所以．‎ ‎（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，设平面ACD1的法向量为，从而，所以点E到平面AD1C的距离为．‎ ‎（3）设平面D1EC的法向量，可求得．，因为二面角D1﹣EC﹣D的大小为，所以根据余弦定理可得AE=时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．‎ ‎【解答】解法（一）：‎ ‎（1）证明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E ‎（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=，AD1=，‎ 故，而．‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴．‎ ‎（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角．‎ 设AE=x，则BE=2﹣x在Rt△D1DH中，∵，∴DH=1．‎ ‎∵在Rt△ADE中，DE=，‎ ‎∴在Rt△DHE中，EH=x，在Rt△DHC中CH=，在Rt△CBE中CE=．‎ ‎∴．‎ ‎∴时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．‎ 解法（二）：‎ 以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）‎ ‎（1）因为=（1，0，1）•（1，x，﹣1）=0，所以．‎ ‎（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，设平面ACD1的法向量为，‎ 则也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为．‎ ‎（3）设平面D1EC的法向量，‎ ‎∴，‎ 由令b=1，∴c=2，a=2﹣x，‎ ‎∴．‎ 依题意．‎ ‎∴（不合，舍去），．‎ ‎∴AE=时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．‎ ‎【点评】本小题主要考查棱柱，二面角、点到平面的距离和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．‎ ‎　‎