2019届二轮复习等比数列及其前n项和课件（60张）（全国通用）

2019届二轮复习等比数列及其前n项和课件（60张）（全国通用）

§6.3 　等比数列及其前 n 项和 第六章　 数列 ZUIXINKAOGANG 最新考纲 1. 通过实例，理解等比数列的概念 . 2 . 探索并掌握等比数列的通项公式与前 n 项和的公式 . 3 . 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题 . 4 . 体会等比数列与指数函数的关系 . NEIRONGSUOYIN 内容索引 基础 知识 自主学习 题型分类 深度 剖析 课时作业 1 基础知识 自主学习 PART ONE 知识梳理 1. 等比数列的有关 概念 (1) 定义：如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比等于 _________ ( 不为零 ) ，那么这个数列就叫做等比数列 . 这个常数叫做等比数列的 ，通 常用 字母 q 表示，定义的表达式为 ( n ∈ N * ， q 为非零常数 ). ( 2) 等比中项：如果 a ， G ， b 成等比数列， 那么 叫做 a 与 b 的等比中项 . 即 G 是 a 与 b 的等比中项 ⇒ a ， G ， b 成等比数列 ⇒ . ZHISHISHULI 2 同一常数 公比 G G 2 ＝ ab 2. 等比数列的有关公式 ( 1) 通项公式： a n ＝ . ( 2) 前 n 项和公式 ： S n ＝ . a 1 q n － 1 3. 等比数列的常用性质 (1) 通项公式的推广： a n ＝ a m · ( n ， m ∈ N * ). (2) 若 m ＋ n ＝ p ＋ q ＝ 2 k ( m ， n ， p ， q ， k ∈ N * ) ，则 a m · a n ＝ ＝ . ( 4) 在等比数列 { a n } 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 a n ， a n ＋ k ， a n ＋ 2 k ， a n ＋ 3 k ， … 为等比数列，公比为 q k . q n － m a p · a q 1. 将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系 ？ 【 概念方法微思考 】 提示　 仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数 . 2. 任意两个实数都有等比中项吗？ 提示　 不是 . 只有同号的两个非零实数才有等比中项 . 3. “ b 2 ＝ ac ” 是 “ a ， b ， c ” 成等比数列的什么条件？ 提示　 必要不充分条件 . 因为 b 2 ＝ ac 时不一定有 a ， b ， c 成等比数列，比如 a ＝ 0 ， b ＝ 0 ， c ＝ 1. 但 a ， b ， c 成等比数列一定有 b 2 ＝ ac . 基础自测 JICHUZICE 题组一　思考辨析 1. 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 满足 a n ＋ 1 ＝ qa n ( n ∈ N * ， q 为常数 ) 的数列 { a n } 为等比数列 .( 　　 ) (2) 如果数列 { a n } 为等比数列， b n ＝ a 2 n － 1 ＋ a 2 n ，则数列 { b n } 也是等比数列 . ( 　　 ) (3) 如果数列 { a n } 为等比数列，则数列 {ln a n } 是等差数列 .( 　　 ) ( 5) 数列 { a n } 为等比数列，则 S 4 ， S 8 － S 4 ， S 12 － S 8 成等比数列 .( 　　 ) × × × 1 2 3 4 5 6 × × 题组二　教材改编 1 2 3 4 5 6 3 . 公比 不为 1 的等比数列 { a n } 满足 a 5 a 6 ＋ a 4 a 7 ＝ 18 ，若 a 1 a m ＝ 9 ，则 m 的值为 A.8 B.9 C.10 D.11 解析　 由题意得， 2 a 5 a 6 ＝ 18 ， a 5 a 6 ＝ 9 ， ∴ a 1 a m ＝ a 5 a 6 ＝ 9 ， ∴ m ＝ 10. 1 2 3 4 5 6 √ 题组三　易错自 纠 解析　 ∵ 1 ， a 1 ， a 2 ， 4 成等差数列， ∴ 3( a 2 － a 1 ) ＝ 4 － 1 ， ∴ a 2 － a 1 ＝ 1. 又 ∵ 1 ， b 1 ， b 2 ， b 3 ， 4 成等比数列，设其公比为 q ， 1 2 3 4 5 6 解析　 设等比数列 { a n } 的公比为 q ， ∵ 8 a 2 ＋ a 5 ＝ 0 ， ∴ 8 a 1 q ＋ a 1 q 4 ＝ 0. ∴ q 3 ＋ 8 ＝ 0 ， ∴ q ＝－ 2 ， 1 2 3 4 5 6 － 11 6. 一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存 1 MB ，然后每 3 秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的 2 倍，那么开机 秒，该病毒占据 内存 8 GB.(1 GB ＝ 2 10 MB) 39 解析　 由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列 { a n } ， 且 a 1 ＝ 2 ， q ＝ 2 ， ∴ a n ＝ 2 n ， 则 2 n ＝ 8 × 2 10 ＝ 2 13 ， ∴ n ＝ 13. 即病毒共复制了 13 次 . ∴ 所需时间为 13 × 3 ＝ 39( 秒 ). 1 2 3 4 5 6 2 题型分类　深度剖析 PART TWO 题型一　等比数列基本量的运算 自主演练 √ 2.(2018· 全国 Ⅲ ) 等比数列 { a n } 中， a 1 ＝ 1 ， a 5 ＝ 4 a 3 . (1) 求 { a n } 的通项公式； 解　 设 { a n } 的公比为 q ，由题设得 a n ＝ q n － 1 . 由已知得 q 4 ＝ 4 q 2 ，解得 q ＝ 0( 舍去 ) ， q ＝－ 2 或 q ＝ 2. 故 a n ＝ ( － 2) n － 1 或 a n ＝ 2 n － 1 ( n ∈ N * ). (2) 记 S n 为 { a n } 的前 n 项和，若 S m ＝ 63 ，求 m . 由 S m ＝ 63 得 ( － 2) m ＝－ 188 ，此方程没有正整数解 . 若 a n ＝ 2 n － 1 ，则 S n ＝ 2 n － 1. 由 S m ＝ 63 得 2 m ＝ 64 ，解得 m ＝ 6. 综上， m ＝ 6. (1) 等比数列的通项公式与前 n 项和公式共涉及五个量 a 1 ， a n ， q ， n ， S n ，已知其中三个就能求另外两个 ( 简称 “ 知三求二 ” ). (2) 运用等比数列的前 n 项和公式时，注意对 q ＝ 1 和 q ≠ 1 的分类讨论 . 思维升华 题型二　等比数列的判定与证明 师生共研 例 1 　 已知 数列 { a n } 满足对任意的正整数 n ，均有 a n ＋ 1 ＝ 5 a n － 2·3 n ，且 a 1 ＝ 8. (1) 证明：数列 { a n － 3 n } 为等比数列，并求数列 { a n } 的通项公式； 解　 因为 a n ＋ 1 ＝ 5 a n － 2·3 n ， 所以 a n ＋ 1 － 3 n ＋ 1 ＝ 5 a n － 2·3 n － 3 n ＋ 1 ＝ 5( a n － 3 n ) ， 又 a 1 ＝ 8 ，所以 a 1 － 3 ＝ 5 ≠ 0 ， 所以数列 { a n － 3 n } 是首项为 5 、公比为 5 的等比数列 . 所以 a n － 3 n ＝ 5 n ，所以 a n ＝ 3 n ＋ 5 n . 思维升华 跟踪训练 1 (2018· 黄山模拟 ) 设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，已知 a 1 ＝ 1 ， S n ＋ 1 ＝ 4 a n ＋ 2. (1) 设 b n ＝ a n ＋ 1 － 2 a n ，证明：数列 { b n } 是等比数列 ； 证明　 由 a 1 ＝ 1 及 S n ＋ 1 ＝ 4 a n ＋ 2 ， 有 a 1 ＋ a 2 ＝ S 2 ＝ 4 a 1 ＋ 2. ∴ a 2 ＝ 5 ， ∴ b 1 ＝ a 2 － 2 a 1 ＝ 3. ① ② ① － ② ，得 a n ＋ 1 ＝ 4 a n － 4 a n － 1 ( n ≥ 2) ， ∴ a n ＋ 1 － 2 a n ＝ 2( a n － 2 a n － 1 )( n ≥ 2). ∵ b n ＝ a n ＋ 1 － 2 a n ， ∴ b n ＝ 2 b n － 1 ( n ≥ 2) ， 故 { b n } 是首项 b 1 ＝ 3 ，公比为 2 的等比数列 . (2) 求数列 { a n } 的通项公式 . 解　 由 (1) 知 b n ＝ a n ＋ 1 － 2 a n ＝ 3·2 n － 1 ， 故 a n ＝ ( 3 n － 1)·2 n － 2 . 题型三　等比数列性质的应用 师生共研 √ (2)(2018· 大连模拟 ) 设等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， S 2 ＝－ 1 ， S 4 ＝－ 5 ，则 S 6 等于 A. － 9 B . － 21 C . － 25 D . － 63 √ 解析　 因为 S 2 ＝－ 1 ≠ 0 ， 所以 q ≠ － 1 ， 由 等比数列性质得 S 2 ， S 4 － S 2 ， S 6 － S 4 成等比数列 ， 即 － 1 × ( S 6 ＋ 5) ＝ ( － 5 ＋ 1) 2 ， 所以 S 6 ＝－ 21 ，故选 B. 思维升华 等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类： (1) 通项公式的变形 . (2) 等比中项的变形 . (3) 前 n 项和公式的变形 . 根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口 . 跟踪训练 2 　 (1) 等比数列 { a n } 各项均为正数， a 3 a 8 ＋ a 4 a 7 ＝ 18 ，则 a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 10 ＝ . 20 所以 a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a 10 ＝ 20. 解析　 由 a 3 a 8 ＋ a 4 a 7 ＝ 18 ，得 a 4 a 7 ＝ 9 解析　 很明显等比数列的公比 q ≠ 1 ， 关于等差 ( 比 ) 数列的基本运算在高考试题中频繁出现，其实质就是解方程或方程组，需要认真计算，灵活处理已知条件 . 高频小考点 GAOPINXIAOKAODIAN 等差数列与等比数列 √ 解析　 已知等差数列 { a n } 的首项和公差均不为 0 ，且满足 a 2 ， a 5 ， a 7 成等比数列 ， ∴ ( a 1 ＋ 4 d ) 2 ＝ ( a 1 ＋ d )( a 1 ＋ 6 d ) ， ∴ 10 d 2 ＝－ a 1 d ， ∵ d ≠ 0 ， ∴ － 10 d ＝ a 1 ， 例 2 　 ( 2018· 烟台质检 ) 已知 { a n } 为等比数列，数列 { b n } 满足 b 1 ＝ 2 ， b 2 ＝ 5 ，且 a n ( b n ＋ 1 － b n ) ＝ a n ＋ 1 ，则数列 { b n } 的前 n 项和为 A.3 n ＋ 1 B.3 n － 1 √ 解析　 ∵ b 1 ＝ 2 ， b 2 ＝ 5 ，且 a n ( b n ＋ 1 － b n ) ＝ a n ＋ 1 ， ∴ a 1 ( b 2 － b 1 ) ＝ a 2 ，即 a 2 ＝ 3 a 1 ， 又数列 { a n } 为等比数列， ∴ 数列 { a n } 的公比为 q ＝ 3 ， ∴ 数列 { b n } 是首项为 2 ，公差为 3 的等差数列， 3 课时作业 PART THREE 基础 保分练 1.(2018· 重庆巴蜀中学月考 ) 已知等比数列 { a n } 满足 a 1 ＝ 1 ， a 3 a 7 ＝ 16 ，则该数列的公比为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 ∵ a 2 ， a 16 是方程 x 2 ＋ 6 x ＋ 2 ＝ 0 的根 ， ∴ a 2 ＋ a 16 ＝－ 6 ， a 2 × a 16 ＝ 2 ， ∴ a 2 <0 ， a 16 <0 ，即 a 1 >0 ， q <0 或 a 1 <0 ， q >0. 3.(2018· 马鞍山质检 ) 等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ＝ 3 2 n － 1 ＋ r ，则 r 的值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 解析　 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ S 1 ＝ 3 ＋ r ， 当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ 3 2 n － 1 － 3 2 n － 3 ＝ 3 2 n － 3 (3 2 － 1) ＝ 8·3 2 n － 3 ＝ 8·3 2 n － 2 ·3 － 1 A. － 5 B . － 3 C.5 D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 由题意可得， √ 5.(2019· 西北师大附中冲刺诊断 ) 古代数学著作《九章算术》有如下问题： “ 今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？ ” 意思是： “ 一女子善于织布，每天织的布都是前一天的 2 倍，已知她 5 天共织布 5 尺，问这女子每天分别织布多少？ ” 根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于 30 ，该女子所需的天数至少为 A.10 B.9 C.8 D.7 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 设该女子第一天织布 x 尺， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴ a n ＋ 1 ＝ a 1 ·2 n . 7. 已知等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且 a 1 ＝ 2 018 ， a 2 ＋ a 4 ＝－ 2 a 3 ，则 S 2 019 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 ∵ a 2 ＋ a 4 ＝－ 2 a 3 ， ∴ a 2 ＋ a 4 ＋ 2 a 3 ＝ 0 ， a 2 ＋ 2 a 2 q ＋ a 2 q 2 ＝ 0 ， ∴ q 2 ＋ 2 q ＋ 1 ＝ 0 ，解得 q ＝－ 1. ∵ a 1 ＝ 2 018 ， 2 018 ＝ 2 018. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则有 1 ＋ 2 ＋ … ＋ 2 n － 1 ＝ 1 023 ， ∴ n ＝ 10 ， 18 解得 a 5 ＝ 3( 舍负 ) ，即 a 1 q 4 ＝ 3 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵ S 4 ＋ S 12 ＝ λS 8 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 － q 4 ＋ 1 － q 12 ＝ λ (1 － q 8 ) ， (1) 求 b 1 ， b 2 ， b 3 ； 将 n ＝ 1 代入得， a 2 ＝ 4 a 1 ，而 a 1 ＝ 1 ，所以 a 2 ＝ 4. 将 n ＝ 2 代入得， a 3 ＝ 3 a 2 ，所以 a 3 ＝ 12. 从而 b 1 ＝ 1 ， b 2 ＝ 2 ， b 3 ＝ 4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2) 判断数列 { b n } 是否为等比数列，并说明理由； 解　 { b n } 是首项为 1 ，公比为 2 的等比数列 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又 b 1 ＝ 1 ，所以 { b n } 是首项为 1 ，公比为 2 的等比数列 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3) 求 { a n } 的通项公式 . 解　 由 (2) 可得＝ 2 n － 1 ， 所以 a n ＝ n ·2 n － 1 . 证明　 b 1 ＝ a 2 － a 1 ＝ 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1) 令 b n ＝ a n ＋ 1 － a n ，证明： { b n } 是等比数列； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2) 求数列 { a n } 的通项公式 . 当 n ≥ 2 时 ， a n ＝ a 1 ＋ ( a 2 － a 1 ) ＋ ( a 3 － a 2 ) ＋ … ＋ ( a n － a n － 1 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 技能提升练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 解析　 因为 f ′ ( x ) ＝ x 2 － 8 x ＋ 6 ，所以 a 1 · a 4 037 ＝ 6 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 解析　 由数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ＝ 2 n ＋ 1 － 2 ， 则当 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ 2 n ＋ 1 － 2 － 2 n ＋ 2 ＝ 2 n ， a 1 ＝ S 1 ＝ 2 ，满足上式， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝ n ( n ＋ 1) ＋ 2 n ＋ 1 － 2 ， 当 n ＝ 9 时， T 9 ＝ 9 × 10 ＋ 2 10 － 2 ＝ 1 112>1 024 ， 当 n ＝ 8 时， T 8 ＝ 8 × 9 ＋ 2 9 － 2 ＝ 582<1 024 ， 所以满足 T n >1 024 的最小 n 的值为 9. 拓展冲刺练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15. 已知等比数列 { a n } 的各项均为正数且公比大于 1 ，前 n 项积为 T n ，且 a 2 a 4 ＝ a 3 ，则使得 T n >1 的 n 的最小值为 A.4 B.5 C.6 D.7 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　 ∵ { a n } 是各项均为正数的等比数列，且 a 2 a 4 ＝ a 3 ， 又 ∵ q >1 ， ∴ a 1 < a 2 <1 ， a n >1( n >3) ， 故 n 的最小值为 6 ，故选 C.