广东省2020届高三数学文一轮复习典型题专项训练：立体几何

广东省2020届高三数学文一轮复习典型题专项训练：立体几何

广东省2020届高三数学文一轮复习典型题专项训练 立体几何 一、选择、填空题 ‎1、（广州市2018届高三3月综合测试（一））如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为 A． B．‎ C． D．‎ ‎2、（深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第一次联考）如右图是一个四棱锥的三视图,则该几何体的体积 为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3、（深圳市宝安区2019届高三9月调研）《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）．在如图所示的堑堵中， ‎ ‎，则阳马的外接球的表面积是 ‎ ‎4、（仲元中学等七校2019届高三第一次（8月）联考）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）‎ A. 1 B. ‎2 C. 3 D. 4‎ ‎5、（广州市2019届高三3月综合测试（一））一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和佣视图中的 四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎6、（广州市2019届高三12月调研）《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”. 现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为 A． B． C． D．‎ ‎7、（惠州市2019届高三4月模拟）已知是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面平行的是 ( )‎ A．是平面内两条直线，且．‎ B．是两条异面直线，，且．‎ C．面内不共线的三点到的距离相等．‎ D．面都垂直于平面．‎ ‎8、（江门市 2019届普通高中高三调研）如右所示是某几何体的三视图，这个几何体的表面积 A． B． C． D．‎ ‎9、（惠州市2019届高三第三次调研）榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，则该空间几何体的表面积为（ ）‎ A. 192 B. ‎186 C. 180 D. 198‎ ‎10、（揭阳市2019届高三学业水平考试）某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为 A． B． C． D．‎ ‎11、（雷州市2019届高三上学期期末）某三棱锥的三视图如下图所示，则该三棱锥的四个面中，‎ 面积最大的面的面积是 A．2 B． C．1 D． ‎ ‎12、（汕头市2019年普通高考第一次模拟）在正方体中，点是四边形的中心，关于直线，下列说法正确的是（ ）‎ ‎ A． B．平面 C． D．平面 ‎ ‎13、（深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第二次联考）四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线与所成的角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎14、（湛江市2019届高三调研）设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A．，， ‎ B．，，‎ C．，，‎ D．，，‎ ‎15、（肇庆市2019届高三第二次（1月）统一检测）．已知圆锥的底面半径是，且它的侧面展开图是半圆，则该圆锥的表面积是 A． B． C． D．‎ ‎16、（中山一中等七校2019届高三第二次（11月）联考）如右图，在正方体中，异面直线与所成的夹角为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎17、（珠海市2019届高三上学期期末）在正方体中，直线与面所成角的正弦为 A． B． C． D． ‎ ‎18、（佛山市2019届高三教学质量检测（一））已知矩形ABCD，AB＝1，AD＝，E为AD的中点现分别沿BE，CE将△ABE，△DCE翻折，使点A，D重合，记为点P，则几何体P﹣BCE的外接球表面积为　 　．‎ ‎19、（广州市2019届高三12月调研）圆锥底面半径为，高为，点是底面圆周上一点，则一动点从点出发，绕圆锥侧面一圈之后回到点，则绕行的最短距离是 ．‎ ‎20、（惠州市2019届高三4月模拟）已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，，，则球的半径为（ ）‎ A． B．‎2 ‎C． D．3‎ ‎21、（雷州市2019届高三上学期期末）三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，则三棱锥外接球的表面积等于________.‎ 参考答案：‎ 一、选择、填空题 ‎1、A 2、A　　　3、　　　4、C　　　5、B ‎6、A　　　7、B　　　8、D　　　9、A　　　10、C　　　11、D ‎12、答案：B 解析：选项A，连接，则，因为与相交，所以A错；‎ 选项B，设，连接，则，所以四边形是平行四边形，‎ 所以，又因为平面，平面，所以平面，B正确；‎ 选项C，取中点，连接，则，在中，，所以与不垂直，所以与不垂直，C错；‎ 选项D，连接，易证得，平面，所以与平面不垂直，D错．‎ ‎13、C　　　14、A　　　15、B ‎16、C　　　17、B　　　18、　　　19、‎ ‎20、答案：C 解析：由得，则知所在的球的截面圆的圆心在BC的中点M上，同理所在的球的截面圆的圆心在的中点N上，则球心O是MN的中点，故球的半径为.故选C．‎ ‎21、‎ 二、解答题 ‎1、（广州市2018届高三3月综合测试（一））如图，四棱锥中，底面为矩形，点在线段上，平面．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若△是等边三角形，，平面平面，四棱锥的 体积为，求点到平面的距离．‎ ‎2、（深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第一次联考）如图，平行四边形中，，‎ ‎，平面，，‎ ‎，分别为，的中点．‎ ‎（1）求证：平面； ‎ ‎（2）求点到平面的距离．‎ ‎3、（深圳市宝安区2019届高三9月调研）如图，四边形为梯形，//，平面，为的中点.‎ ‎（1）求证：平面平面.‎ ‎（2）在线段上是否存在一点，使得//平面？若存在，指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.‎ ‎4、（仲元中学等七校2019届高三第一次（8月）联考）如图， 是边长为2的正三角形， 平面, 分别为的中点， 为线段 上的一个动点．‎ ‎(Ⅰ)当为线段中点时，‎ 证明：平面；‎ ‎(Ⅱ)判断三棱锥的体积是否为定值？（若是，需求出该定值；若不是，需说明理由．）‎ ‎5、（广州市2019届高三3月综合测试（一））如图，在三棱锥中，△ABC是等边三角形，∠BAD=∠BCD=90°，点P是 AC的中点，连接BP，DP ‎（1）证明:平面ACD平面BDP；‎ ‎（2）若BD=，cos∠BPD=，,求三棱锥的体积。‎ ‎6、（广州市2019届高三12月调研）如图，四边形是平行四边形，平面 平面，，,,,,，为的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎（3）求点到平面的距离.‎ ‎7、（惠州市2019届高三4月模拟）如图，在底面是正方形的四棱锥中，平面，交于点，‎ 是的中点， 为上一动点．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若是的中点，，‎ 求点到平面的距离。‎ ‎8、（江门市 2019届普通高中高三调研）如下图所示，、分别是边长为的正方形的边、的中点，将△、△、△分别沿、、折起，使、、重合于点．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求点到面的距离．‎ ‎9、（惠州市2019届高三第三次调研）如图，在直三棱柱中，分别为的中点，，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎10、（揭阳市2019届高三学业水平考试）如图，在三棱锥P-ABC中，正三角形PAC所在平面与等腰三角形ABC所在平面互相垂直，AB＝BC，O是AC中点，OH⊥PC于H.‎ ‎（1）证明：PC⊥平面BOH；‎ ‎（2）若，求三棱锥A-BOH的体积．‎ ‎11、（雷州市2019届高三上学期期末）在如图所示的多面体中，，平面,．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）若，，求三棱锥的体积．‎ ‎12、（汕头市2019年普通高考第一次模拟）如图，四棱锥中，菱形所在的平面，是中点，M是PD的中点．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若F是PC的中点，当＝2，求三棱锥P－AMF的体积。‎ ‎13、（深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第二次联考）如图1，在△中，,分别为，的中点，为的中点， ，．将△沿折起到△的位置，使得平面平面， 为的中点，如图2．‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离．‎ ‎ 图1 图2‎ ‎14、（湛江市2019届高三调研）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，是棱的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）若，求点到平面的距离．‎ ‎15、（肇庆市2019届高三第二次（1月）统一检测）如图，在四棱锥中，底面是菱形，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若面面，，， ‎ ‎，求到平面的距离.‎ ‎16、（中山一中等七校2019届高三第二次（11月）联考）如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，， 是的中点，是的中点.‎ ‎(1)求此四棱锥的体积；‎ ‎(2)求证：平面；‎ ‎(3)求证：平面平面．‎ ‎17、（珠海市2019届高三上学期期末）如图，几何体中，四边形为直角梯形，，，面面，，三棱锥的体积为.‎ ‎（1）求证：面；‎ ‎（2）求点到面的距离.‎ 参考答案：‎ 二、解答题 ‎1、‎ ‎2、解：（Ⅰ）连接，在平行四边形中，‎ ‎，，‎ ‎∴，， ‎ 从而有，∴．……1分 ‎∵平面，平面，∴，………2分 又∵，，‎ ‎∴平面， ……3分 又∵平面，∴．……4分 ‎ 又∵，为的中点， ‎ ‎∴ ……5分 又∵，‎ ‎∴平面． ……6分 ‎（Ⅱ）设点到平面的距离为，‎ ‎ 由平面，平面得……7分 在中，，，∴ ……8分 在中，，，∴ ……9分 ‎ 由得，，……10分 ‎∴ ……11分 故点到平面的距离为． ……12分 ‎3、（1）如图，连接 由题知,,,‎ 所以 因为为的中点，所以 ………………3分 又平面，平面，所以 又,所以平面 又平面，所以平面平面……………6分 ‎（2）当点位于线段的三分之一分点（靠近点）时，//平面，证明如下：……………8分 如图，连接交于点，连接 因为//，所以 因为，所以，即 又，所以//‎ 又平面,平面 所以//平面 ……………12分 ‎4、解：(I)∵在中， 分别为的中点∴. ……1分 ‎∵平面平面,∴,‎ ‎∴, ……3分 在正中， 为线段中点， ,‎ ‎∴, ……4分 又∵, ∴ 平面. ……5分 ‎(II)三棱锥的体积是定值.理由如下： ……6分 ‎∵ 平面,∴平面，‎ 所以直线AD上的点到平面BEF的距离都相等 ……8分 ‎ ……10分 ‎∵ 又平面ABD且,‎ ‎∴ ……11分 ‎∴三棱锥的体积为. ……12分 ‎5、‎ ‎ ‎ ‎6、解：（1）证明：取的中点，连接，‎ 在中，因为是的中点，‎ 所以且，……………1分 因为，，，‎ 所以且，……………………2分 ‎ 所以四边形是平行四边形，所以， ………………………3分 又平面，平面，‎ 所以平面． ……………………………4分 ‎（2）证明：在中，，，，‎ 由余弦定理得， …………………………5分 因为，‎ 所以. …………………………6分 因为平面平面，平面,平面平面，‎ 所以平面. ……………………………7分 ‎（3）解法1：由（1）平面，‎ 所以点到平面的距离等于点到平面的距离， ……………………8分 ‎ 设点到平面的距离为，‎ ‎ 过作，交的延长线于， ‎ 则平面，所以是三棱锥的高． ……………………9分 ‎ 由余弦定理可得，‎ ‎ 所以,. ………………………………10分 ‎ .‎ ‎ 因为，………………………………11分 ‎ 即，解得. ‎ ‎ 所以点到平面的距离为． ………………………………12分 解法2：因为，且,‎ 所以点到平面的距离等于点到平面的距离的， ……………8分 ‎ 由（2）平面.‎ 因为平面，所以平面平面．‎ 过点作于点，又因为平面平面，故平面.‎ 所以为点到平面的距离．…………………9分 在中，，‎ 由余弦定理可得 所以， …………………10分 因此， ……………………………………………11分 ‎ 所以点到平面的距离为． ……………………………………12分 ‎7、【解析】（1）∵平面，平面，∴…………1分 ‎∵四边形是正方形，∴…………2分 ‎∵，平面，平面…………3分 ‎∴平面…………4分 ‎∵平面，∴ …………5分 ‎（2）解法一：连接，‎ 由（1）知平面，所以是三棱锥的高，‎ 且………6分 又 ‎…………7分 在中，，‎ ‎，‎ ‎…………8分 ‎…………9分 ‎…………10分 记点到平面的距离为，由得 ‎ 解得…………11分 点到平面的距离为…………12分 ‎（2）解法二：连接，‎ 由是的中点可知，点到平面的距离等于点到平面的距离………6分 ‎…………7分 在中，，‎ ‎，‎ ‎…………8分 ‎…………9分 ‎…………10分 记点到平面的距离为，得 ‎ 解得…………11分 点到平面的距离为…………12分 ‎8、（Ⅰ）由已知， ……1分 又因为，，‎ 所以 ……4分 ‎，所以 ……5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ……7分 ‎△的面积 ……9分 设点到面的距离为，由得 ‎，即 ……11分 解得，即点到面的距离为 ……12分 ‎9、（1）设为边的中点，连接 ‎ D A B C F E A1‎ C1‎ B1‎ ‎∵，，分别为，，的中点，∴………1分 又∵,∴,……………………2分 又∵,∴,……………………3分 ‎∵ ，, ‎ ‎∴ ……………………4分 ‎∴平面. ……………………5分 注意：由线线平行直接推出面面平行的证明过程须扣2分，即第一问最多可给3分。‎ ‎（2）在直三棱柱中， ‎ 又，平面，平面，，……………………6分 ‎∴平面， ……………………7分 知， ……………………8分 在直角三角形中，为边的中点，‎ ‎……………………9分 又…………10分 ‎∴……………………11分 ‎∴‎ 所以三棱锥的体积为. ……………………12分 ‎10、解：（1）∵AB＝BC，O是AC中点，‎ ‎∴ BO⊥AC， -------------------------------------------------------------------------------------------1分 又平面PAC⊥平面ABC，‎ 且平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，‎ ‎∴ BO⊥平面PAC，----------------------------------------------3分 ‎∴ BO⊥PC，------------------------------------------------------4分 又OH⊥PC，BO∩OH＝O，‎ ‎∴ PC⊥平面BOH；---------------------------------------------6分 ‎（2）解法1：∵△HAO与△HOC面积相等，‎ ‎∴,‎ ‎∵BO⊥平面PAC, ∴, -------------------------------------------------8分 ‎∵,∠HOC=30° ∴,‎ ‎∴,-----------------------------------------------------------------------10分 ‎∴,即.----------------------------------------------------12分 ‎11、解：（Ⅰ）∵多面体中，，平面，‎ 平面ADE，平面ADE，‎ ‎，……………………2分 ‎，‎ ‎， ……………………3分 又平面ABEF，‎ ‎， ………………………………4分 ‎，平面EFCD．……………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）平面，平面EFCD，‎ ‎，， ……………………………………………………………………9分 ‎ 三棱锥的体积：‎ ‎ ．………………………………12分 ‎12、‎ ‎13、解：（1）取线段的中点，连接， ．……… 1分 因为在△中， ， 分别为， 的中点，所以 ， ．……… 2分 因为 ， 分别为， 的中点，所以 ， ， ……… 3分 所以 ， ，所以 四边形为平行四边形，所以 ．……… 4分 因为 平面， 平面，所以 平面．……… 6分 ‎（2）因为点为的中点， ‎ 又因为平面平面， .……… 8分 则在中计算得，，‎ 所以， ……… 9分 由图有，，设点到平面的距离为，‎ 所以， 即 ， 解得。 ‎ 所以点到平面的距离为。……… 12分 ‎14、‎ ‎（Ⅰ）证明：依题意：，‎ ‎ 又∵，平面，‎ 平面，，‎ ‎ ∴平面．……………………2分 ‎ ∵平面，‎ ‎ ∴平面平面． ……………4分 ‎（Ⅱ）解：在中，，是棱的中点，‎ ‎ ∴，．…………………………………………5分 ‎ 由（Ⅰ）知平面，‎ ‎ ∴．‎ ‎ 又∵，‎ ‎ ∴平面．…………………………………………………………6分 ‎ ∵，平面，‎ ‎ ∴平面．‎ ‎ 而平面，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴．………………………………………………8分 ‎ ∵，‎ ‎ ∴．‎ ‎ ∴等腰中，．…………10分 设点到平面的距离为，‎ ‎ ∵，‎ ‎ ∴．……………………………………………11分 ‎ ∴，∴．∴所求距离为． …………12分 ‎15、‎ 解：（1）连接交于，连接. …………1分 在菱形中，，是的中点，又因为 ‎，所以所以，又，‎ 所以 …………4分 又，所以. …………5分 ‎（2）因为面面，面面， ，，所以，即是三棱锥的高 …………7分 依题意可得，是等边三角形，所以，，‎ 在等腰，， …………9分 经计算得，，‎ 等腰三角形的面积为 …………10分 设到平面的距离为，则由可得 ‎，解得 所以到平面的距离为 …………12分 ‎16、(1) 四棱锥的体积 ……… 4分 ‎(2)证明：在上取中点为，连接和，‎ 则易得，且，‎ 且故四边形为平行四边形，故，‎ 又面，面 故面 ………………………………8分 ‎(3) 证明：∵， ， ‎ 又 ∴平面 ‎ 又平面 ∴， ‎ 又，‎ ‎∴平面． ∴平面．‎ 又面， ∴平面⊥平面． ………12分 ‎17、解：（1）‎ 又面面，面面＝，面 面————————————————————————————2分 由，且得 得,且 得，即————————————————5分 面面，面面＝，面 面————————————————6分 ‎（2）设点到面的距离为 由题意可知，‎ ‎————————8分 由（1）知面 等腰的面积—————10分 ‎，‎ 解得，点到面的距离为————————12分