2017-2018学年福建省晋江市养正中学高二上学期期中考试数学（理）试题 Word版

2017-2018学年福建省晋江市养正中学高二上学期期中考试数学（理）试题 Word版

养正中学2017-2018学年上学期高二年级数学学科期中考 ‎(理科试题)‎ 满分：150分 考试时间：120分钟 命题:郑明铿 审核:曾国政 第l卷（选择题共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.命题的否定是( )‎ ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎2.把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，每人一张，则事件“甲分得黑牌”与“乙分得黑牌”是（ ）‎ A． 对立事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．互斥但不对立事件 ‎3.已知椭圆方程是，则焦距为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4. 设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）‎ A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5.已知等比数列的前项和为，若，则（　　）‎ A.115 B.116 C.125 D.126‎ ‎6.将甲，乙两名同学5次物理测验的成绩用茎叶图表示如图，若甲，乙两人成绩的中位数分别是x甲，x乙，下列说法正确的是（　　）‎ A．x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定 B．x甲＞x乙；甲比乙成绩稳定 C．x甲＞x乙；乙比甲成绩稳定 D．x甲＜x乙；甲比乙成绩稳定 ‎7.若数列 满足,那么这个数列的通项公式为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8. 已知双曲线的渐近线被圆截得的弦长为2，则该双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.已知双曲线C的中心为坐标原点， 是C的一个焦点，过F的直线与C相交于A,B两点，且AB的中点为，则C的方程为（　　）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.从装有3个白球、 2个红球的袋中任取3个，则所取的3个球中至多有1个红球的概率是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎11. 在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知椭圆的左焦点F(－c,0)关于 直线bx＋cy ＝0的对称点P 在椭圆上，则椭圆的离心率是（ ）‎ A.　　B. 　　　　C.　　　D. ‎ 第II卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13. 已知双曲线（）的离心率为2，则的值为 ．‎ ‎14. 在内随机取出两个数，则这两个数满足的概率为 ．‎ ‎15. 若数列的各项均为正数,前项和为，,则___． ‎ ‎16. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为________． ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）‎ ‎17. (本题满分10分)‎ 设命题：实数满足，其中；命题：实数满足.‎ ‎（Ⅰ）若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎18.(本题满分12分)‎ 已知等轴双曲线的顶点在x轴上，两顶点间的距离是4，右焦点为F．‎ ‎（Ⅰ）求双曲线的标准方程和渐近线方程；‎ ‎（Ⅱ）椭圆E的中心在原点O，右顶点与F点重合，上述双曲线中斜率大于0的渐近线交椭圆于A，B两点（A在第一象限），若AB⊥AF，试求椭圆E的离心率．‎ ‎19. (本题满分12分)‎ 某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率=利润÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：‎ ‎（Ⅰ）试估计平均收益率；‎ ‎（Ⅱ）根据经验，若每份保单的保费在20元的基础上每增加元，对应的销量（万份）与（元）有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下5组与的对应数据：‎ 据此计算出的回归方程为.‎ ‎（i）求参数的值；‎ ‎（ii）若把回归方程当作与的线性关系，用（Ⅰ）中求出的平均收益率估计此产品的收益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大收益，并求出该最大收益.‎ ‎20.(本题满分12分)‎ 已知数列{}满足:‎ ‎（Ⅰ）若{}是递增数列，且成等差数列，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，且{}是递增数列，{}是递减数列，求数列{}的通项公式．‎ ‎21. (本题满分12分)‎ 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出40名学生，将其成绩（均为整数）分成六段后画出如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：‎ ‎（Ⅰ）求第四小组的频率，并补全频率分布直方图；‎ ‎（Ⅱ）估计这次考试的及格率；（60分及以上为及格）‎ ‎（Ⅲ）从成绩是~分及~分的学生中选两人，记他们的成绩为，求满足“”的概率.‎ ‎22. (本题满分12分)‎ 已知椭圆Cn:+=n (a>b>0,n∈N*), F1,F2是椭圆C4的焦点，A(2,)是椭圆C4上一点,且.‎ ‎（Ⅰ）求Cn的离心率并求出C1的方程；‎ F1‎ F2‎ x y o E F M N P ‎(Ⅱ) P为椭圆C2上任意一点，直线PF1交椭圆C4于点E、F，直线PF2交椭圆C4于点M、N, ‎ 设直线PF1的斜率为k1 ,直线PF2的斜率为k2 .‎ ‎(i)求证： ; (ii)求|MN|×|EF|的取值范围.‎ 养正中学2017-2018学年上学期高二年级数学学科期中考试题 ‎（理科数学） 参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.C 2.D 3.A 4.B 5.D 6.A 7.D 8.C 9.B 10.C 11. A. 12．B 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13. 14 15. 16. ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）‎ ‎17. (本题满分10分)‎ 解：（Ⅰ）由得，又，所以，‎ 当时， ，即为真时实数的取值范围是.‎ 为真:等价于，得，‎ 即为真时实数的取值范围是.‎ 若为真，则真且真，所以实数的取值范围是.‎ ‎（Ⅱ）是的充分不必要条件，即，且_______，等价于________‎ 设，，则；‎ 则，且所以实数的取值范围是.‎ ‎18.(本题满分12分)‎ 解：（Ⅰ）设双曲线的方程为=1（a＞0），‎ 则2a=4，解得a=2，‎ ‎∴双曲线的方程为=1，渐近线方程为y=±x．‎ ‎（Ⅱ）设椭圆的标准方程为=1（a＞b＞0），‎ 由（Ⅰ）知F（2，0），于是a=2．‎ 设A（x0，y0），则x0=y0．①‎ ‎∵AB⊥AF，且AB的斜率为1，‎ ‎∴AF的斜率为﹣1，故=﹣1．②‎ 由①②解得A（，）．‎ 代入椭圆方程有=1，解得b2=，‎ ‎∴c2=a2﹣b2=8﹣=，得c=，‎ ‎∴椭圆E的离心率为e==．‎ ‎19. (本题满分12分)解：（Ⅰ）区间中值依次为：0.05，0.15，0.25，0.35，0.45，0.55，取值概率依次为：0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05，‎ 平均收益率为 ‎.‎ ‎（Ⅱ）（i）‎ 所以 ‎ ‎（ii）设每份保单的保费为元，则销量为，则保费收入为万元， ‎ 当元时，保费收入最大为360万元，保险公司预计获利为万元. ‎ ‎20.(本题满分12分)‎ ‎(1),由 ‎.‎ ‎(2) {}是递增数列,‎ ‎,‎ 上式中两括号内必有点一个为正,注意到 ‎,故后者为正.‎ ‎;同理, .‎ 两式合并为 ‎21. (本题满分12分)‎ 解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知第小组的频率分别为：，所以第 4 小组的频率为：.∴在频率分布直方图中第4小组的对应的矩形的高为，对应图形如图所示：‎ ‎（Ⅱ）∵考试的及格率即60分及以上的频率 .‎ ‎∴及格率为 ‎ ‎（Ⅲ）设“成绩满足”为事件 由频率分布直方图可求得成绩在分及分的学生人数分别为4人和2人，记在分数段的4人的成绩分别为，分数段的2人的成绩分别为，则从中选两人，其成绩组合的所有情况有：‎ 共 15种，且每种情况的出现均等可能。若这2人成绩要满足“”，则要求一人选自分数段，另一个选自分数段，有如下情况：，共 8 种，所以由古典概型概率公式有 ‎，即所取2人的成绩满足“”的概率是.‎ ‎22. (本题满分12分)‎ 解：（Ⅰ）解:(1)椭圆C4的方程为: +=4 即:+ =1‎ 不妨设c2=a2-b2 则F2(2c,0) ∵ ‎ ‎∴2c=2,== ‎∴c=1 2b2=a 2b4= a2=b2+1 ∴2b4- b2-1=0 (2b2+1)(b2-1)=0 ‎ ‎∴b2=1,a2=2‎ ‎∴椭圆Cn的方程为:+y2=n ‎ ‎∴e2== ∴e= ‎ 椭圆C1的方程为:+y2=1………………6分 ‎(Ⅱ) (i)椭圆C2的方程为:+y2=2 即: +=1 ‎ 椭圆C4的方程为:+y2=4 即: +=1‎ ‎∴F1(-2,0),F2(2,0) 设P(x0,y0),∵P在椭圆C2上 ∴+=1 即y02=(4-x02)‎ ‎∴k1k2=·= = =- ………………8分 ‎(ii)设直线PF1的方程为：y=k1(x+2) 直线PF2的方程为：y=k2(x-2) ‎ 联立方程组： 消元整理得：（2k12+1)x2+8k1x+8k12-8=0…………①‎ 设E(x1,y1),F(x2,y2),则x1,x2是方程①的两个解，由韦达定理得：‎ x1+x2=-,x1x2= ‎∴|EF|=×= 同理：|MN|= ‎∴|EF|×|MN|=×=32×=32× ‎=32×==16+=16+≤18‎ ‎∴|EF|×|MN|∈(16,18] ………………………………………………………12分