2021年全国100所名校最新高考模拟示范卷数学02试卷

2021年全国100所名校最新高考模拟示范卷数学02试卷

! 第 ! 页!共 # 页" ! 绝密 " 启用前 $"$! 年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试 !! 本试卷共 $$ 题&共 !*" 分&考试时间 !$" 分钟&考试结束后&将本试 卷和答题卡一并交回 + 注意事项' !+ 答题前&考生先将自己的姓名(考生号(考场号和座位号填写清楚&将条形码准确粘贴在 条形码区域内 + $+ 选择题必须使用 $, 铅笔填涂)非选择题必须使用 "+* 毫米黑色字迹的签字笔书写&字体 工整&笔迹清楚 + -+ 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答&超出答题区域书写的答案无效)在 草稿纸(试卷上答题无效 + #+ 作图可先使用铅笔画出&确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑 + *+ 保持卡面清洁&不要折叠&不要弄破(弄皱 + 不准使用涂改液(修正带(刮纸刀 + 一(选择题'本题共 . 小题&每小题 * 分&共 #" 分 ! 在每小题给出的四个选项中&只有一项是符合 题目要求的 ! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! 已知集合 #1 * $ # 2! + $ + - +& 1 * $ # $$/ + " +&则 # $ &1 3! * $ # 2 ! $ + $ + - + ,! * $ # 2! + $ + ! $ + 4! * $ # 2- + $ + 2 ! $ + 5! * $ # 2! + $ + 2 ! $ + $! 复数 " 满足! /0 " 10 &则在复平面内&复数 " 所对应的点位于 3! 第一象限 ,! 第二象限 4! 第三象限 5! 第四象限 -! . #&. 的内角 # && . 的对边分别为 % & 6 & : & #1 ! # & 1 $ ! - &若 6 槡1 - &则 %1 3! ,! 槡$ $ 4!槡$ 5! ! $ #! 已知函数 7 ! $ " 1#@FC ! " $/ # " /- ! # * " "& 7 ! $ " 1 7 ! ! $ 2$ "&且 7 ! ! # " 1. &则 #1 3!# ,!* 4!6 5!; *! 珠算是以算盘为工具进行数字计算的一种方法&被誉为中国的第五大发明 ! 算盘每个档!挂珠 的杆"上有 ; 个算珠&用梁隔开&梁上面 $ 颗叫上珠&梁下面 * 颗叫下珠&如图所示 ! 若一个算 盘共有 !! 档&从每档中的 ; 颗算珠中任取 ! 颗&设 ( 为取得上珠的颗数&则 2(1 ! " #$ % &$ 3! !"" #: ,! ** ; 4! $$ ; 5! !!" #: ! 第 $ ! 页!共 # 页" ! 6! 已知函数 7 ! $ " 1HG ! !/$槡 $ 2$ " 2$ &且 7 ! % " / 7 ! $%2- " + " &则实数 % 的取值范围是 3! !& / L " ,! ! 2 L & ! " 4! ! - & / L " 5! ! 2 L & - " ! " # $ ;! 如图所示&在三棱锥 #2&.2 中& #& ' 平面 &.2 & &2 ' .2 & #&1! & &21- & 2.1$ &则三棱锥 #2&.2 外接球的表面积为 3!; ! ,!- ! 4!# ! 5!6 ! .! 已知椭圆$ $ !6 / / $ !$ 1! 的左(右焦点分别为 4 ! & 4 $ & 1 为椭圆上异于顶点的任意一点& ) 14 ! 4 $ 的平分线与 ) 14 $ 4 ! 的平分线相交于点 ' &过点 ' 作平行于 $ 轴的直线分别交 14 ! & 14 $ 于 # & 两点&则 # #& # 1 3! * - ,!$ 4! ; - 5! . - 二(选择题'本题共 # 小题&每小题 * 分&共 $" 分 ! 在每小题给出的选项中&有多项符合题目要 求 ! 全部选对的得 * 分&有选错的得 " 分&部分选对的得 - 分 ! !"# ! " # $ % $%# &'# ( ) *+# :! 高考评价体系主要由-一核.(-四层.(-四翼.组成&其中-四翼. 为高考的考查要求&即-基础性.(-综合性.(-应用性.(-创新 性.&回答了-怎么考.的问题 ! 为了了解甲(乙两名高三学生对 -四翼.的掌握程度&现以某种指标对甲(乙两人的-基础性.( -综合性.(-应用性.(-创新性.进行测验!测验分在1 " & # 2之间& 分数越高越好"&根据测验结果绘制了雷达图&如图所示&则下 列说法正确的是 3! 甲的-综合性.优于乙的-综合性. ,! 甲的-基础性.与乙的-基础性.相同 4! 甲的-应用性.优于乙的-应用性. 5! 乙的-创新性.优于甲的-创新性. !"! 已知双曲线 . ' $ $ % $ 2 / $ 6 $ 1! ! % * " & 6 * " "的左(右焦点分别为 4 ! & 4 $ & 1 是双曲线 . 右支上一 点&则下列说法正确的是 3! 若双曲线的离心率大于槡-&则6 % * 槡$ ,! 若 61$ & 14 ! ' 14 $ &则 . 14 ! 4 $ 的面积为 . 4! 若 # 4 ! 4 $ # 槡1$* & # 14 ! # 1 # 14 $ # /$ &则双曲线 . 的方程为 $ $ 2 / $ # 1! 5! 若 # 14 $ # 1 # 4 ! 4 $ # & . 14 ! 4 $ 的周长为 !#% &则双曲线 . 的离心率为 - !!! 若 % & 6 & : , ! " & ! "&且 HG%1C0G% & HG61@FC6 & HG ! : 1 ! ! M " : ! M 为自然对数的底数"&则 3!" + : + ! ,!" + 6 + ! 4!: + 6 + % 5! + % +! !$! 用一个给定的数列* % 8 +的相邻两项作差&得到一个新数列 % $ 2% ! & % - 2% $ &/& % 8/! 2% 8 &/& 这个新数列称为* % 8 +的一阶差数列 ! 如果记该数列为* 6 8 +&其中 6 8 1% 8/! 2% 8 &那么再求* 6 8 + 的相邻两项之差&所得的数列 6 $ 26 ! & 6 - 26 $ &/& 6 8/! 26 8 &/&称为原数列* % 8 +的二阶差数 列 ! 依此类推&对任意的 > , ! 1 &可以定义数列* % 8 +的 > 阶差数列 ! 若数列* % 8 +的一阶差数 列&二阶差数列&三阶差数列分别为* 6 8 +&* : 8 +&* = 8 +&且数列* = 8 +为常数列& % ! 1! & % $ 1$ & % - 1. & % # 1$$ &则 ! 第 - ! 页!共 # 页" ! 的线性回归方程 参考公式' 2 8 ,1! ,1 8 ! 8/! " $ & 2 8 ,1! , $ 1 8 ! 8/! "! $8/! " 6 & 2 8 ,1! , - 1 1 8 ! 8/! " $ 2 $ ! 3!= 8 1!$ ,!: 8 1-8/$ 4!6 8 1 - $ 8 $ / ! $ 82! 5!% 8 1 8 - 28 $ 28/# $ 三(填空题'本题共 # 小题&每小题 * 分&共 $" 分 ! 把答案填在题中的横线上 ! !-! 曲线 7 ! $ " 1$ $ /HG$ 在 $1! 处的切线的斜率为 !!!! ! !#! ! $/! "! $$/! " *的展开式中含 $ $项的系数为 !!!! ! !*! 在 . #&. 中& 34 21 & 34 &. & 34 .+1 ' 34 .& && ' , " &若 34 #22 34 $#&1 34 +#2 / 34 #. & $ & / , " &则 $2 / 的值为 !!!! ! ! " # $ !6! 把平面图形 $ 上的所有点在另一个平面上的射影所构成的图形 % 称为 图形 $ 在这个平面上的射影&如图所示&在三棱锥 #2&.2 中& &. ' 2. & #2 ' 2. & &. ' #& & &.1.21# & #. 槡1# - &则 . #2& 在平面 #&. 上的射影的面积是 !!!! ! 四(解答题'本题共 6 小题&共 ;" 分 ! 解答应写出文字说明(证明过程或演算步骤 ! !;! !本小题满分 !" 分" 在 " %@FC. 槡/ -%C0G.262:1" & # 槡$-@FC $ ! &/. $ " /C0G ! &/. " 槡1 - & $ %C0G& 槡1 - & % + 6 这三个条件中任选一个&补充在下面问题中&并解答 ! 在 . #&. 中&角 # && . 所对的边分别为 % & 6 & : & 61$ & :1! & 2 为线段 &. 上一点& . #2. 与 . #&2 的面积分别为 9 ! & 9 $ &且 9 ! 1$9 $ & !!!! &求线段 &2 的长 ! 注'如果选择多个条件分别解答&按第一个解答计分 ! !.! !本小题满分 !$ 分" 已知数列* % 8 +的前 8 项和为 9 8 & % ! 1* & % $ 1!: &且 9 8/! 1#9 8 2-9 82! /# 8 ! 8 / $ & 8 , ! 1 " ! !"若 6 8 1% 8 2# 8 &求证'数列* 6 8 +为等比数列 ! ! $ "求 9 8 ! !:! !本小题满分 !$ 分" 某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人 ! 萌宠机器人的语音功能让它 像孩子的小伙伴一样和孩子交流&记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯&很快找到宝宝想听 的内容 ! 它同时提供快乐儿歌(国学经典(启蒙英语等早期教育内容&且云端内容可以持续更 新&萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎 ! 为了更好的服务广大家长&该公司对萌 宠机器人的某个性能指数 $ ! " + $ 5 !" "与孩子的喜爱程度 / ! " 5 / 5 ! "进行统计调查&得到 如下数据表' $ - # * 6 ; / "!#* "!*" "!6" "!6* "!;" !"请根据上表提供的数据&用最小二乘法求出 / 关于 $ ) ! 第 # ! 页!共 # 页" ! ! $ "计算变量 $ & / 的相关系数 - !计算结果精确到 "!"! "&并回答是否可以认为该性能指数与 孩子的喜爱程度相关性很强 ! ! # - #, 1 "!;* & ! 2& $ & / 相关性很强& # - #, 1 "!- & "!;* "& $ & / 相关性一般& # - #, 1 " & "!$* 2& $ & / 相关性很弱" 参考数据' "!槡 #- & "!6*6 & "!槡 "#- & "!$"; & 2 * ,1! ! /, 2 6 / " $ 1"!"#-! 参考公式' A 61 2 8 ,1! $ ,/, 28 7 $ 6 / 2 8 ,1! $ $ , 28 7 $ $ 1 2 8 ,1! ! $ , 2 7 $ "! /, 2 6 / " 2 8 ,1! ! $ , 2 7 $ " $ & A %1 6 / 2 A 6 $ 7 $ & 相关系数 -1 2 8 ,1! ! $ , 2 7 $ "! /, 2 6 / " 2 8 ,1! ! $ , 2 7 $ " $ 2 8 ,1! ! /, 2 6 / "槡 $ ! $"! !本小题满分 !$ 分" 已知抛物线 . ' / $ 1#$ 的焦点为 4 &点 # ! $ ! & /! "是曲线 . 上一点 ! !"若 # #4 # 1 * # /! &求点 # 的坐标) ! $ "若直线 #4 与抛物线 . 的另一个交点为 & &点 1 为抛物线 . 的准线与 $ 轴的交点&直线 1# 与 1& 的斜率分别为 > ! & > $ &求 > ! /> $ 的值 ! $!! !本小题满分 !$ 分" 已知四棱锥 12#&.2 的底面是边长为 $ 的菱形&且 )  ! - &点 + 为平面 #&.2 外一 动点&且 . &.+ 为等边三角形 ! !"证明' &. ' 2+! ! " # $ % & ! $ "若 1#11. & 1&112 &平面 1&2 与平面 +&. 所成的锐二面角的 大小为! - &求 2+ 的长度 ! $$! !本小题满分 !$ 分" 已知 7 ! $ " 1%$2C0G$ ! % , " " ! !"当 $ / " 时& 7 ! $ " / " 恒成立&求实数 % 的取值范围 ! ! $ "若 %1! & B ! $ " 1 7 ! 2$ " /6HG$2$2! ! 6 , " "&存在 $ ! 0 $ $ & $ ! & $ $ , ! " & ! "&使得 B ! $ ! " 1 B ! $ $ "&证明' $ ! $槡 $ + 6! !参考答案 ! 第 ! 页"共 4 页# ! $"$! 年普通高等学校招生全国统一考试 数学模拟测试参考答案 !!2 ! 本题考查集合的交集 ! 因为 #+ ' & ) ,! ' & ' 0 (& $+ ' & ) & ' , ! $ (&所以 # " $+ ' & ) ,! ' & ' , ! $ ( ! $!/ ! 本题考查复数的概念及运算 ! 因为" !.- # "+- &所以 "+ - !.- + !.- $ &所以在复平面内&复数 " 所对应的点 位于第一象限 ! 0!3 ! 本题考查解三角形 ! 因为 %+ 9 A-B$ 1A-B# &且 #+ " 4 & $+ $ " 0 & 9 槡+ 0 &所以 %+ 槡0 槡0 $ 1 槡$ $ 槡+ $! 4!* ! 本题考查三角函数的性质 ! 因为 : " & # + : " " $ ,& #&所以函数 : " & #的图象关于直线 &+ " 4 对称&又因为 : " " 4 # += 且 # - " &所以 #.0+= &解得 #+5! 5!2 ! 本题考查随机变量的方差 ! 由题知& ) ! $ " !! & $ 8 #&所以 2)+!!1 $ 8 1 5 8 + !!" 46 ! #!/ ! 本题考查函数的奇偶性及单调性 ! 由题知函数 : " & #的定义域为 " &且 : " & # . : " ,& # +:B " !.&槡 $ ,& # ,&.:B !. " ,& #槡 $ .& .&+:B!+" &所以函数 : " & #为奇函数 ! 因为 : " & # +:B !.&槡 $ ,&,&+ :B " ! !.&槡 $ .& # ,& &所以函数 : " & #在 " 上单调递减 ! 因为 : " % # . : " $%,0 # ' " &所以 %.$%,0 - " &解得 % - ! &故实数 % 的取值范围是" ! & . C # ! $名师点睛%本题考查函数的奇偶性和单调性&不等式的求解&先判断函数 0 + : " & #的奇偶性&然后对对数的 真数分子有理化&快速判断函数 0 + : " & #在定义域上的单调性&从而利用奇偶性和单调性求解不等式 ! 8!3 ! 本题考查三棱锥外接球的表面积 ! 因为 #$ , 平面 $/2 &所以 #$ , $/ & #$ , 2/ &又因为 $2 , /2 &所以 /2 , 平面 #$2 &所以 /2 , #2 &记 #/ 的中点为 3 &因为 #$ , $/ & /2 , #2 &所以 0 #$/ & 0 #2/ 均为直角 三角形&所以点 3 到 # & $ & / & 2 四点的距离相等&即点 3 为三棱锥 #,$/2 外接球的球心&又因为 #$+! & $2+0 & 2/+$ &所以 #/+ ! $ .$ $ .0槡 0 槡+ !4 &故三棱锥 #,$/2 外接球的表面积为 " 1#/ $ +!4 " ! ! " # $ % & ! & " ' ( ) =!2 ! 本题考查椭圆的性质 ! 连接 +, 并延长交 & 轴于点 * &因为点 , 为 + +4 ! 4 $ 的平分 线与 + +4 $ 4 ! 的平分线的交点&所以) +, ) ) ,* ) + ) +4 !) ) 4 ! * ) + ) +4 $) ) 4 $ * ) &所以) +, ) ) ,* ) + ) +4 !) . ) +4 $) ) 4 ! * ) . ) 4 $ * ) + $% $> +$ &所以) +, ) ) +* ) + $ 0 &又因为 #$ 平行于 & 轴&所以) +, ) ) +* ) + ) #$ ) ) 4 ! 4 $) + $ 0 &解得 ) #$ ) + = 0 ! 6!*32 ! 本题考查统计图 ! 由雷达图可知&乙的)综合性*优于甲的)综合性*&所以选项 / 不正确,甲的)基础性* 与乙的)基础性*相同&所以选项 * 正确,甲的)应用性*优于乙的)应用性*&所以选项 3 正确,乙的)创新性*优 于甲的)创新性*&所以选项 2 正确 ! !"!/3 ! 本题考查双曲线的性质 ! 设 ) 4 ! 4 $) +$> &若双曲线的离心率大于槡0&则 !. 9 $ %槡 $ - 0 &解得9 % -槡$,若 9+$ & +4 !, +4 $ &则 ) +4 !) $ . ) +4 $) $ +4> $ &又因为 )) +4 !) , ) +4 $)) +$% &解得 ) +4 !) ! ) +4 $) +$9 $ += & 所以 0 +4 ! 4 $ 的面积为 4 ,若 ) 4 ! 4 $) 槡+$5 & ) +4 !) + ) +4 $) .$ &则 > 槡+ 5 & %+! &所以双曲线的方程为 & $ , 0 $ 4 +! ,若因为 ) +4 $) + ) 4 ! 4 $) & 0 +4 ! 4 $ 的周长为 !4% &所以 $>.$%.$>.$>+!4% &解得> % +$ &故双曲线 / 的离心率为 $! !!!/32 ! 本题考查比较数的大小 ! 函数 0 +:B& & 0 +A-B& & 0 +?@A& 的图象如图所示& ! ' 9 ' % &因为" ! E # > - " & ! 第 $ ! 页 共 4 页 ! $! 所以 :B ! > - " & ! > - ! &即 " ' > ' ! &所以 > ' 9 ' %! ! ! " # $ % ! %&"#$ $ %&%$ $ %&&'" $ !$!*3 ! 本题考查新定义及数列的综合应用 ! 设数列' % < (的一阶差数列&二阶差数列&三阶差数列分别为' 9 < (& ' > < (&' C < ( ! 因为 % ! +! & % $ +$ & % 0 += & % 4 +$$ &所以 9 ! +! & 9 $ +# & 9 0 +!4 & > ! +5 & > $ += & C ! +0 &由题知&数列 ' C < (为常数列&所以 C < +0 & > <.! ,> < +0 & > < +0<.$ &所以 9 <.! ,9 < +0<.$ &由累加法得 9 < ,9 ! + " 9 < , 9 <,! # . " 9 <,! ,9 <,$ # . . . " 9 $ ,9 ! # + " 0<,! # . " 0<,4 # . . .5+ " <,! #" 0<,!.5 # $ &所以 9 < + 0 $ < $ . ! $ <,! & % <.! ,% < + 0 $ < $ . ! $ <,! &所以 % < ,% ! + " % < ,% <,! # . " % <,! ,% <,$ # . . . " % $ ,% ! # + 6 <,! D+! " 0 $ D $ . D $ ,! # + " <,! # < " $<,! # 4 . < " <,! # 4 , " <,! # + < 0 ,< $ ,$<.$ $ &所以 % < + < 0 ,< $ ,$<.4 $ ! !0!0 ! 本题考查导数的几何意义 ! 因为 : = " & # +$&. ! & &所以 : = " ! # +0 &故所求的切线的斜率为 0! !4!5" ! 本题考查二项展开式 ! " $&.! # 5的展开式中含 & $项的系数为 3 0 5 1$ $ +4" &含 & 项的系数为 3 4 5 1$+ !" &所以" &.! #" $&.! # 5的展开式中含 & $项的系数为 5"! !5!$ ! 本题考查平面向量的基本定理 ! 因为12 $2+ ( 12 $/ & 12 /.+ ) 12 /$ &所以 $ & 2 & . & / 四点共线&设 2. 的中点为 4 &因为12 #2, 12 &#$+ 12 .#, 0 12 #/ &所以12 #2. 12 #.+ 12 &#$, 0 12 #/ &所以 $ 12 #4+ 12 &#$, 0 12 #/ &所以& $ , 0 $ +! & 即 &, 0 +$! ! " # $ % & !#!槡=$ ! 本题考查空间几何体的位置关系 ! 因为 $/ , 2/ & #2 , 2/ & $/ , #$ & $/+/2+ 4 & #/ 槡+40 &把三棱锥 #,$/2 放入如图所示的棱长为 4 的正方体中&过点 2 作 /. 的垂线&垂足为 4 &连接 #4 & $4 &易证 24 , 平面 #$/ &故 0 #2$ 在平面 #$/ 上的射 影为 0 #4$ &因为 #$+ 4 $ .4槡 $ 槡+4$ &所以 0 #4$ 的面积为! $ 槡 槡1414$+=$ &即 0 #2$ 在平面 #$/ 上的射影的面积为 槡=$! !8! 解+本题考查解三角形 ! 选 # +因为 %?@A/ 槡. 0%A-B/,9,>+" &所以 A-B#?@A/ 槡. 0A-B#A-B/,A-B$,A-B/+" &又因为 #./+ " ,$ &所以 A-B#?@A/ 槡. 0A-B#A-B/,A-B " #./ # ,A-B/+" &所以 A-B/A-B " #, " # # + ! $ A-B/ &又因为 # & / # "& " #&所以 #+ " 0 &又因为 9+$ & >+! &所以 % $ +9 $ .> $ ,$9>?@A#+0 &所以 9 $ +% $ .> $ &故 $+ " $ &因为 7 ! +$7 $ &所以 $1 ! $ $21>+ ! $ /21> &所以 $$2+/2 & $2+ ! 0 $/+ 槡0 0 ! !" 分…………………………… 选 $ +因为 槡$0?@A $ " $./ $ # .A-B " $./ # 槡+ 0 &所以 A-B " $./ # 槡+, 0?@A " $./ #&所以 A-B# 槡+ 0?@A# &因 为 # # "& " #&所以 #+ " 0 &又因为 9+$ & >+! &所以 % $ +9 $ .> $ ,$9>?@A#+0 &所以 9 $ +% $ .> $ &故 $+ " $ & 因为 7 ! +$7 $ &所以 $1 ! $ $21>+ ! $ /21> &所以 $$2+/2 & $2+ ! 0 $/+ 槡0 0 ! !" 分…………………… 选 % +因为 %A-B$ 槡+ 0 &所以 $%A-B$ 槡+$0 &又因为 9+$ &所以 $%A-B$ 槡+ 09 &由正弦定理知& $A-B#A-B$+ 槡0A-B$ &又因为 # & $ # "& " #&且 % ' 9 &所以 #+ " 0 &又因为 >+! &所以 % $ +9 $ .> $ ,$9>?@A#+0 &所以 9 $ + % $ .> $ &故 $+ " $ &因为 7 ! +$7 $ &所以 $1 ! $ $21>+ ! $ /21> &所以 $$2+/2 & $2+ ! 0 $/+ 槡0 0 ! !" 分 ……… …………………………………………………………………………………………………………… !=! 解+本题考查数列求和 ! " ! #因为 7 <.! +47 < ,07 <,! .4 < & < & $ &所以 % <.! +0% < .4 < & < & $ &所以 % <.! ,4 <.! +0% < .4 < ,4 <.! +0 " % < , 4 < #&所以 9 <.! +09 < & < & $ &又因为 % ! +5 & % $ +!6 &所以 % $ ,4 $ +0 " % ! ,4 ! #&所以数列' 9 < (为等比数列 ! # 分 …… …………………………………………………………………………………………………………… " $ #由" ! #知& % <.! ,4 <.! +0 " % < ,4 < #& % ! ,4 ! +! &所以 % < ,4 < +0 <,! & % < +4 < .0 <,! & 所以 7 < + 41 " !,4 < # !,4 . !1 " !,0 < # !,0 + 4 <.! 0 . 0 < $ , !! # ! !$ 分…………………………………………………… !6! 解+本题考查线性回归方程 ! " ! #由表知& 7 + 0.4.5.#.8 5 +5 & 8 0 + "!45."!5"."!#"."!#5."!8" 5 +"!5= & 6 5 D+! " & D , 7 & #" 0 D , 8 0 # +"!#5 & 6 5 D+! " & D , 7 & # $ +!" & 又因为E 9+ 6 < D+! " & D , 7 & #" 0 D , 8 0 # 6 < D+! " & D , 7 & # $ + "!#5 !" +"!"#5 & E %+"!5=,"!"#515+"!$55 & 所以 0 关于 & 的线性回归方程为 0 +"!"#5&."!$55! # 分…………………………………………………… " $ #由" ! #知& 6 5 D+! " & D , 7 & #" 0 D , 8 0 # +"!#5 & 6 5 D+! " & D , 7 & # $ +!" &因为 6 5 D+! " 0 D , 8 0 # $ +"!"40 & 所以 6 < D+! " & D , 7 & # $ 6 < D+! " 0 D , 8 0 # $ +"!40 &所以 (+ 6 < D+! " & D , 7 & #" 0 D , 8 0 # 6 < D+! " & D , 7 & # $ 6 < D+! " 0 D , 8 0 #槡 $ ( "!#5 "!#5# ( "!66! 由此可以认为该性能指数与孩子的喜爱程度相关性很强 ! !$ 分……………………………………………… $"! 解+本题考查直线与抛物线的综合应用 ! " ! #由题知& ) #4 ) +& ! .! & 0 $ ! +4& ! &因为 ) #4 ) + 5 4 0 ! &所以0 $ ! 4 .!+ 5 4 0 ! &解得 0 ! +! 或 0 ! +4! 当 0 ! +! 时& ! + ! 4 &当 0 ! +4 时& ! +4 &所以点 # 的坐标为" ! 4 & ! #或" 4 & 4 # ! 4 分…………………………………… " $ #设直线 #$ 的方程为 &+8 0 .! &联立方程 &+8 0 .! 0 $ +4 ! & &得 0 $ ,48 0 ,4+" &所以 0 ! . 0 $ +48 0 ! 0 $ ! +,4 &所以 & ! .& $ +48 $ .$ & ! & $ ! +! ! 由题知& + " ,! & " #&设 $ " & $ & 0 $ #&所以直线 +# 的斜率 8 ! + 0 ! & ! .! &直线 +$ 的斜率 8 $ + 0 $ & $ .! &所以 8 ! .8 $ + 0 ! & ! .! . 0 $ & $ .! + $ " 0 ! . 0 $ # .$8 0 ! 0 $ !. " & ! .& $ # .& ! & $ + $148.$81 " ,4 # !. " & ! .& $ # .& ! & $ +" & 综上可知& 8 ! .8 $ +"! !$ 分……………………………………………………………………………………… $!! 解+本题考查线线垂直和二面角 ! " ! #设 $/ 的中点为 4 &连接 24 & .4 &因为四边形 #$/2 为菱形&且 + $#2+ " 0 &所以 $/ , 24 &又因为 0 $/. 为等边三角形&所以 $/ , .4 &又因为 24 " .4+4 &所以 $/ , 平面 2.4 &又因为 2. . 平面 2.4 & 所以 $/ , 2.! 4 分……………………………………………………………………………………………… ! " # $ % & ' ( ) * " $ #连接 #/ &交 $2 于点 3 &连接 +3 &因为 +#++/ & +$++2 &四边形 #$/2 为 菱形&所以 +3 , #/ & +3 , $2 &分别以 3# & 3$ & 3+ 所在直线为 & 轴& 0 轴& " 轴 建立空间直角坐标系&如图所示 ! 因为 #$+$ & +#++/ 槡+ # & + $#2+ " 0 & 所以 3/ 槡+ 0 & 3$+32+! &所以 / " 槡, 0 & " & " #& $ "& ! & " #& 2 "& ,! & " #& 由题知&平面 +$2 的一个法向量 $+ " ! & " & " #& 设 . " & " & 0 " & " " #&所以12 $/+ " 槡, 0 & ,! & " #& 12 $.+ " & " & 0 " ,! & " " #& 设平面 .$/ 的一个法向量为 #+ " & ! & 0 ! & " ! #& !参考答案 ! 第 4 ! 页"共 4 页# ! 所以 # ! 12 $/+" # ! 12 $. ! +" &所以 槡, 0& ! , 0 ! +" & " & ! . " 0 " ,! # 0 ! ." " ! ! +" & 令 & ! +! &解得 0 ! 槡+, 0 & " ! + 槡0" 0 " ,! # ,& " " " & 所以平面 .$/ 的一个法向量 #+ " ! & 槡, 0 & 槡0" 0 " ,! # ,& " " " #& 所以 ) ?@A 1 $ & # 2 ) + ) $ ! # ) $ ) ! ) # ) ) + ) ! !1 4. / 槡0" 0 " ,! # ,& " " " 0槡 $ ) + ! $ & 解得槡 0 " 0 " ,! # ,& " " " +" &因为 .$+./+$ & 所以 " & " 槡. 0 # $ . 0 $ " ." $ " +4 & $ " . " 0 " ,! # $ ." $ " ! +4 &两式相减得槡0& " . 0 " .!+" & 解得 & " +, 槡0 $ & 0 " + ! $ & " " 槡+F 0 & 当 . 点坐标为" , 槡0 $ & ! $ &槡0#时& 2.+ 0 4 . 6 4槡 槡.0+ # & 当 . 点坐标为" , 槡0 $ & ! $ & 槡, 0 #时& 2.+ 0 4 . 6 4槡 槡.0+ # & 综上所述& 2. 的长度为槡#! !$ 分………………………………………………………………………………… $$! 解+本题考查恒成立问题&求参数范围及证明不等式 ! " ! # : = " & # +%,?@A& &当 % & ! 时& : = " & # & " &所以函数 : " & #在区间/ " & . C #上单调递增&所以 : " & # & : "# +" &符合题意,当 ,! ' % ' ! 时&存在 & "- " &使得 %,?@A& " +" &且当 & # "& " #时& %,?@A& ' " &故函 数 : " & #在区间/ " & " #上单调递减&所以当 & # / " & " #时& : " & # % : "# +" &不合题意,当 % % ,! 时& : = " & # % " &所以函数 : " & #在区间/ " & . C #上单调递减&所以 : " & # % : "# +" &不合题意 ! 综上所述&实数 % 的取值范围为/ ! & . C # ! 4 分………………………………………………………………… " $ #当 %+! 时& : " !,& # +!,&,A-B " !,& #&所以 F " & # +9:B&,A-B " !,& # ,$& &因为 F " & ! # + F " & $ #&所以 9:B& ! ,A-B " !,& ! # ,$& ! +9:B& $ ,A-B " !,& $ # ,$& $ & 所以 9 " :B& ! ,:B& $ # ,$ " & ! ,& $ # +A-B " !,& ! # ,A-B " !,& $ #& 不妨设 " ' & !' & $' ! &所以 !,& !- " & !,& $- " & !,& !- !,& $ & 由" ! #知&当 %+! 时&函数 : " & #在区间/ " & . C #上单调递增&所以" !,& ! # ,A-B " !,& ! # - " !,& $ # ,A-B " !, & $ #&即 A-B " !,& ! # ,A-B " !,& $ # ' , " & ! ,& $ #&所以 9 " :B& ! ,:B& $ # ,$ " & ! ,& $ # ' , " & ! ,& $ #&所以 9 - & ! ,& $ :B& ! ,:B& $ &欲证 & ! &槡 $ ' 9 &只需证 & ! &槡 $ ' & ! ,& $ :B& ! ,:B& $ &只需证 :B & $ & ! ' & $ &槡! , & ! &槡$ &令 B+ & $ &槡! &只 需证 $:BB ' B, ! B & B - ! &令 F " B # +$:BB,B. ! B & B - ! & F = " B # + $ B ,!, ! B $ +, " B,! # $ B $ ' " &所以 F " B #在区间 " ! & . C #上单调递减&所以 F " B # ' F " ! # +" &所以 $:BB,B. ! B ' " &即 $:BB ' B, ! B & 故 & ! &槡 $ ' 9! !$ 分………………………………………………………………………………………………