2018届高三数学一轮复习： 第2章 第2节 函数的单调性与最值

2018届高三数学一轮复习： 第2章 第2节 函数的单调性与最值

第二节　函数的单调性与最值 ‎[考纲传真]　1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．‎ ‎1．增函数、减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1＜x2，则都有：‎ ‎(1)f(x)在区间D上是增函数⇔f(x1)＜f(x2)；‎ ‎(2)f(x)在区间D上是减函数⇔f(x1)＞f(x2)．‎ ‎2．单调性、单调区间的定义 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．‎ ‎3．函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 ‎①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；‎ ‎②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ‎①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；‎ ‎②存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M是y＝f(x)的最大值 M是y＝f(x)的最小值 ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，x1≠x2且(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数．(　　)‎ ‎(2)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　)‎ ‎(3)函数y＝|x|是R上的增函数．(　　)‎ ‎(4)所有的单调函数都有最值．(　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．(2016·北京高考)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是(　　)‎ A．y＝ B．y＝cos x C．y＝ln(x＋1)‎ D．y＝2－x D　[选项A中，y＝在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数，故y＝在(－1,1)上为增函数；‎ 选项B中，y＝cos x在(－1,1)上先增后减；‎ 选项C中，y＝ln(x＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，故y＝ln(x＋1)在(－1,1)上为增函数；‎ 选项D中，y＝2－x＝x在R上为减函数，故y＝2－x在(－1,1)上是减函数．]‎ ‎3．(教材改编)函数f(x)＝在[1,2]上的最大值和最小值分别是________．‎ ，1　[f(x)＝＝＝2－在[1,2]上是增函数，∴f(x)max＝f(2)＝，f(x)min＝f(1)＝1.]‎ ‎4．函数y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围是________. ‎ ‎【导学号：01772025】‎ 　[由题意知2k＋1＜0，得k＜－.]‎ ‎5．f(x)＝x2－2x，x∈[－2,3]的单调增区间为________，f(x)max＝________.‎ ‎ [1,3]　8　[f(x)＝(x－1)2－1，故f(x)的单调增区间为[1,3]，f(x)max＝f(－2)＝8.]‎ 函数单调性的判断 ‎　(1)函数f(x)＝log2(x2－1)的单调递减区间为________．‎ ‎(2)试讨论函数f(x)＝x＋(k＞0)的单调性．‎ ‎(1)(－∞，－1)　[由x2－1＞0得x＞1或x＜－1，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．‎ 令t＝x2－1，因为y＝log2t在t∈(0，＋∞)上为增函数，‎ t＝x2－1在x∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f(x)＝log2(x2－1)的单调递减区间为(－∞，－1)．]‎ ‎(2)法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x1，x2，令0＜x1＜x2，那么f(x2)－f(x1)＝－＝(x2－x1)＋k＝(x2－x1).2分 因为0＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x1x2＞0.‎ 故当x1，x2∈(，＋∞)时，f(x1)＜f(x2)，‎ 即函数在(，＋∞)上单调递增.6分 当x1，x2∈(0，)时，f(x1)＞f(x2)，‎ 即函数在(0，)上单调递减．‎ 考虑到函数f(x)＝x＋(k＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－)上单调递增，在(－，0)上单调递减．‎ 综上，函数f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在(－，0)和(0，)上单调递减.12分 法二：f′(x)＝1－.2分 令f′(x)＞0得x2＞k，即x∈(－∞，－)或x∈(，＋∞‎ ‎)，故函数的单调增区间为(－∞，－)和(，＋∞).6分 令f′(x)＜0得x2＜k，即x∈(－，0)或x∈(0，)，故函数的单调减区间为(－，0)和(0，).10分 故函数f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增，在(－，0)和(0，)上单调递减.12分 ‎[规律方法]　1.利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻底．‎ ‎2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确．‎ 易错警示：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如本题(1)．‎ ‎[变式训练1]　(1)(2017·深圳二次调研)下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是(　　)‎ A．y＝x3　　　　　 B.y＝ C．y＝ D.y＝x ‎(2)函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间是(　　)‎ A．(0，＋∞) B.(－∞，0)‎ C．(2，＋∞) D.(－∞，－2)‎ ‎(1)C　(2)D　[(1)选项A，B中函数在定义域内均为单调递增函数，选项D为在定义域内为单调递减函数，选项C中，设x1＜x2(x1，x2≠0)，则y2－y1＝－＝，因为x1－x2＜0，当x1，x2同号时x1x2＞0，－＜0，当x1，x2异号时x1x2＜0，－＞0，所以函数y＝在定义域上不是单调函数，故选C.‎ ‎(2)由x2－4＞0得x＞2或x＜－2，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为y＝logt在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t＝x2－4的单调递减区间，可知所求区间为(－∞，－2)．]‎ 利用函数的单调性求最值 ‎　已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)，且a≤1. ‎ ‎【导学号：01772026】‎ ‎(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；‎ ‎(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．‎ ‎[思路点拨]　(1)先判断函数f(x)在[1，＋∞)上的单调性，再求最小值；(2)根据f(x)min＞0求a的范围，而求f(x)min应对a分类讨论．‎ ‎[解]　(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，f′(x)＝1－＞0，x∈[1，＋∞)，‎ 即f(x)在[1，＋∞)上是增函数，∴f(x)min＝f(1)＝1＋＋2＝.4分 ‎(2)f(x)＝x＋＋2，x∈[1，＋∞)．‎ 法一：①当a≤0时，f(x)在[1，＋∞)内为增函数．‎ f(x)min＝f(1)＝a＋3.‎ 要使f(x)＞0在x∈[1，＋∞)上恒成立，只需a＋3＞0，‎ ‎∴－3＜a≤0.7分 ‎②当0＜a≤1时，f(x)在[1，＋∞)内为增函数，‎ f(x)min＝f(1)＝a＋3，‎ ‎∴a＋3＞0，a＞－3，∴0＜a≤1.‎ 综上所述，f(x)在[1，＋∞)上恒大于零时，a的取值范围是(－3,1].10分 法二：f(x)＝x＋＋2＞0，∵x≥1，∴x2＋2x＋a＞0，8分 ‎∴a＞－(x2＋2x)，而－(x2＋2x)在x＝1时取得最大值－3，∴－3＜a≤1，即a的取值范围为(－3,1].12分 ‎[规律方法]　利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．‎ 请思考，若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数呢？‎ ‎[变式训练2]　(2016·北京高考)函数f(x)＝(x≥2)的最大值为________．‎ ‎2　[法一：∵f′(x)＝，∴x≥2时，f′(x)＜0恒成立，‎ ‎∴f(x)在[2，＋∞)上单调递减，‎ ‎∴f(x)在[2，＋∞)上的最大值为f(2)＝2.‎ 法二：∵f(x)＝＝＝1＋，‎ ‎∴f(x)的图象是将y＝的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的．∵y＝在[2，＋∞)上单调递减，∴f(x)在[2，＋∞)上单调递减，故f(x)在[2，＋∞)上的最大值为f(2)＝2.‎ 法三：由题意可得f(x)＝1＋.‎ ‎∵x≥2，∴x－1≥1，∴0＜≤1，‎ ‎∴1＜1＋≤2，即1＜≤2.‎ 故f(x)在[2，＋∞)上的最大值为2.]‎ 函数单调性的应用 ‎☞角度1　比较大小 ‎　(2015·山东高考)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝‎1.50.6‎，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A．a0.60.6>0.61.5，即b10.6＝1，即c>1.综上，b

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