2018届二轮复习等差数列及其前n项和课件（全国通用）

2018届二轮复习等差数列及其前n项和课件（全国通用）

第 二 节　 等差数列及其前 n 项和 考点梳理 考纲速览 命题解密 热点预测 1. 等差数列的概念及运算 . 2. 等差数列的性质 . 3. 等差数列的前 n 项和 . 1. 理解等差数列的概念 . 2. 掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式 . 3. 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题 . 4. 了解等差数列与一次函数的关系 . 　　主要有三种角度：一是直接利用公式求指定的 a n 或 S n ；二是利用其性质求参数；三是通过适当化归把非等差数列问题转化为等差数列问题求解 . 　　直接考查等差数列的通项公式和性质是重点 . 另外，通过保留部分等差数列性质构建 “ 类等差数列 ” 的创新性问题值得关注 . 知识点一 等差数列的有关概念 1. 等差数列的定义 如果一个数列从第 __ 项起，每一项与它的前一项的差等于 _______ ____ ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d 表示，定义的表达式为 a n ＋ 1 － a n ＝ d . 2. 等差中项：如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 __ 叫做 a 与 b 的等差中项且 _________ . 2 同一个 A 常数 3. 通项公式 (1) 如果等差数列 { a n } 的首项为 a 1 ，公差为 d ，那么通项公式为 a n ＝ ___________________ . (2) 通项公式的推广： a n ＝ a m ＋ ( n － m ) d ( n ， m ∈ N * ). a 1 ＋ ( n － 1) d ， n ∈ N * 知识点二 等差数列的前 n 项和及性质 1. 等差数列的前 n 项和 2. 等差数列的性质 数列 { a n } 是等差数列， S n 是其前 n 项和，则 (1) 若 m ＋ n ＝ p ＋ q ，则 _______________ ， 特别地，若 m ＋ n ＝ 2 p ，则 a m ＋ a n ＝ 2 a p ； (2) a m ， a m ＋ k ， a m ＋ 2 k ， a m ＋ 3 k ， … 仍是等差数列，公差为 kd ； (3) 数列 S m ， S 2 m － S m ， S 3 m － S 2 m ， … 也是等差数列 . a m ＋ a n ＝ a p ＋ a q 【 名师助学 】 方法 1 等差数列的基本量运算 等差数列的基本运算方法： (1) 等差数列可以由首项 a 1 和公差 d 确定，所有关于等差数列的计算和证明，都可围绕 a 1 和 d 进行 . (2) 对于等差数列问题，如果给出两个条件，就可以通过列方程 ( 组 ) 求出 a 1 ， d . 如果再给出第三个条件，就可以完成 a n ， a 1 ， d ， n ， S n 的 “ 知三求二 ” 问题 . 【 例 1】 等差数列 { a n } 的前 n 项和记为 S n . 已知 a 10 ＝ 30 ， a 20 ＝ 50 ， (1) 求通项 a n ； (2) 若 S n ＝ 242 ，求 n . [ 点评 ] 　 利用等差数列的通项公式与前 n 项和公式列方程组解 a 1 和 d ， 是解决等差数列问题的常用方法 . 方法 2 等差数列的判定与证明 (1) 证明一个数列 { a n } 为等差数列的基本方法有两种： ① 利用等差数列的定义证明，即证明 a n ＋ 1 － a n ＝ d ( n ∈ N * ) ； ② 利用等差中项证明，即证明 a n ＋ 2 ＋ a n ＝ 2 a n ＋ 1 ( n ∈ N * ). (2) 解选择题、填空题时，可用通项或前 n 项和直接判断： ① 通项法：若数列 { a n } 的通项公式为 n 的一次函数，即 a n ＝ An ＋ B ，则 { a n } 是等差数列； ② 前 n 项和法：若数列 { a n } 的前 n 项和 S n 是 S n ＝ An 2 ＋ Bn 的形式 ( A ， B 是常数 ) ，则 { a n } 为等差数列 . [ 点评 ] 　 解决 a n 与 S n 的关系式时 ，有两种途径：一是将 a n 化为 S n ， 即 a n ＝ S n － S n － 1 ， 二是将 S n 化为 a n ， 根据题目的形式灵活应用 . 方法 3 等差数列前 n 项和的最值问题 求等差数列前 n 项和的最值问题的方法： 【 例 3】 植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10 米 . 开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 ________ 米 . 解析　 答案　 2 000 [ 点评 ] 　 每两个树坑间的距离都是 10 米 ， 表示出每个树坑与第 i 个树坑间的距离 ， 得出等差数列 ， 然后求和 ， 根据 i 的取值求出最小值 .