2019高三数学（人教A版理）一轮课时分层训练18　任意角、弧度制及任意角的三角函数

2019高三数学（人教A版理）一轮课时分层训练18　任意角、弧度制及任意角的三角函数

课时分层训练(十八)　任意角、弧度制及任 意角的三角函数 (对应学生用书第 293 页) A 组　基础达标 (建议用时：30 分钟) 一、选择题 1．与角9π 4 的终边相同的角可表示为(　　) A．2kπ＋45°(k∈Z)　　　 B．k·360°＋9 4π(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋5π 4 (k∈Z) C　[9 4π＝9 4 ×180°＝360°＋45°＝720°－315°， ∴与角 9 4π 的终边相同的角可表示为 k·360°－315°，k∈Z.] 2．已知弧度为 2 的圆心角所对的弦长为 2，则这个圆心角所对的弧长是(　　) 【导学号：97190101】 A．2 B．sin 2 C． 2 sin 1 D．2sin 1 C　[由题设知，圆弧的半径 r＝ 1 sin 1 ， ∴圆心角所对的弧长 l＝2r＝ 2 sin 1.] 3．已知点 P(cos α，tan α)在第三象限，则角 α 的终边在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B　[由题意可得Error!则Error!所以角 α 的终边在第二象限，故选 B.] 4．将表的分针拨快 10 分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是(　　) A．π 3 B．π 6 C．－π 3 D．－π 6 C　[将表的分针拨快应按顺时针方向旋转分针，故所形成的角为负角，故 A、B 不正确．因为拨快 10 分钟，所以转过的角的大小应为圆周的1 6 ，故所求角 的弧度数为－1 6 ×2π＝－π 3.] 5．已知角 α 的终边经过点(3a－9，a＋2)，且 cos α≤0，sin α＞0.则实数 a 的取值范围是(　　) A．(－2,3] B．(－2,3) C．[－2,3) D．[－2,3] A　[∵cos α≤0，sin α＞0， ∴角 α 的终边落在第二象限或 y 轴的正半轴上． ∴Error!∴－2＜a≤3.] 二、填空题 6．(2018·深圳二调)以角 θ 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的非负半轴，建 立平面直角坐标系，角 θ 的终边过点 P(1,2)，则 tan(θ＋π 4)＝________. 【导学号：97190102】 －3　[由题可知 tan θ＝2，那么 tan(θ＋π 4)＝ tan θ＋tan π 4 1－tan θtan π 4 ＝－3.] 7．(2017·河南洛阳 3 月模拟)已知角 α 的始边与 x 轴非负半轴重合，终边在 射线 4x－3y＝0(x≤0)上，则 cos α－sin α＝________. 1 5 　[角 α 的始边与 x 轴非负半轴重合，终边在射线 4x－3y＝0(x≤0)上， 不妨令 x＝－3，则 y＝－4，∴r＝5，∴cos α＝x r ＝－3 5 ，sin α＝y r ＝－4 5 ， 则 cos α－sin α＝－3 5 ＋4 5 ＝1 5.] 8．在(0,2π)内，使 sin x＞cos x 成立的 x 的取值范围为________． (π 4 ，5π 4 )　[如图所示，找出在(0,2π)内，使 sin x＝cos x 的 x 值， sin π 4 ＝cos π 4 ＝ 2 2 ，sin 5π 4 ＝cos 5π 4 ＝－ 2 2 .根据三角函数线的 变化规律找出满足题中条件的 x∈(π 4 ，5π 4 ).] 三、解答题 9．已知角 θ 的终边上有一点 P(x，－1)(x≠0)，且 tan θ＝－x，求 sin θ＋cos θ 的值. 【导学号：97190103】 [解]　因为 θ 的终边过点(x，－1)(x≠0)，所以 tan θ＝－1 x. 又 tan θ＝－x，所以 x2＝1，即 x＝±1. 当 x＝1 时，sin θ＝－ 2 2 ，cos θ＝ 2 2 . 因此 sin θ＋cos θ＝0； 当 x＝－1 时，sin θ＝－ 2 2 ，cos θ＝－ 2 2 ， 因此 sin θ＋cos θ＝－ 2. 故 sin θ＋cos θ 的值为 0 或－ 2. 10．已知半径为 10 的圆 O 中，弦 AB 的长为 10. (1)求弦 AB 所对的圆心角 α 的大小； (2)求 α 所在的扇形弧长 l 及弧所在的弓形的面积 S. [解]　(1)在△AOB 中，AB＝OA＝OB＝10， 所以△AOB 为等边三角形． 因此弦 AB 所对的圆心角 α＝π 3. (2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得 l＝α·R＝π 3 ×10＝10π 3 ， S 扇形＝1 2R·l＝1 2α·R2＝50π 3 . 又 S△AOB＝1 2OA·OB·sin π 3 ＝25 3. 所以弓形的面积 S＝S 扇形－S△AOB＝50(π 3 － 3 2 ). B 组　能力提升 (建议用时：15 分钟) 11．设 θ 是第三象限角，且|cos θ 2|＝－cosθ 2 ，则θ 2 是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 B　[由于 θ 是第三象限角，所以 2kπ＋π＜θ＜2kπ＋3π 2 (k∈Z)，kπ＋π 2 ＜θ 2 ＜kπ ＋3π 4 (k∈Z)； 又|cos θ 2|＝－cosθ 2 ，所以 cos θ 2 ≤0，从而 2kπ＋π 2 ≤θ 2 ≤2kπ＋3π 2 (k∈Z)，综上 可知 2kπ＋π 2 ＜θ 2 ＜2kπ＋3π 4 (k∈Z)，即θ 2 是第二象限角．] 12．集合{αkπ＋π 4 ≤ α ≤ kπ＋π 2 ，k ∈ Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是 (　　) C　[当 k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋π 4 ≤α≤2nπ＋π 2 ，此时 α 表示的范围与π 4 ≤α≤π 2 表示的范围一样；当 k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋π 4 ≤α≤2nπ＋π＋π 2 ，此时 α 表 示的范围与 π＋π 4 ≤α≤π＋π 2 表示的范围一样．] 13．在直角坐标系中，O 是原点，A( 3，1)，将点 A 绕 O 逆时针旋转 90° 到点 B，则点 B 的坐标为________. 【导学号：97190104】 (－1， 3)　[依题意知 OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，设点 B 的坐标为(x，y)，则 x＝2cos 120°＝－1，y＝2sin 120°＝ 3，即 B(－1， 3)．] 14．已知 sin α＜0，tan α＞0. (1)求角 α 的集合； (2)求α 2 终边所在的象限； (3)试判断 tan α 2sinα 2cos α 2 的符号． [解]　(1)由 sin α＜0，知 α 在第三、四象限或 y 轴的负半轴上； 由 tan α＞0，知 α 在第一、三象限，故 α 角在第三象限， 其集合为{α2kπ＋π＜α＜2kπ＋3π 2 ，k ∈ Z}. (2)由 2kπ＋π＜α＜2kπ＋3π 2 ，k∈Z， 得 kπ＋π 2 ＜α 2 ＜kπ＋3π 4 ，k∈Z， 故α 2 终边在第二、四象限． (3)当α 2 在第二象限时，tan α 2 ＜0， sin α 2 ＞0，cos α 2 ＜0， 所以 tanα 2 sin α 2cos α 2 取正号； 当α 2 在第四象限时，tan α 2 ＜0， sin α 2 ＜0，cos α 2 ＞0， 所以 tan α 2 sin α 2cos α 2 也取正号． 因此，tan α 2sin α 2cos α 2 取正号．