高考文科数学专题复习练习3古典概型的概率

高考文科数学专题复习练习3古典概型的概率

‎160‎ 古典概型的概率 ‎19.(12分)(2015辽宁锦州一模,文19,古典概型的概率,解答题)某幼儿园有教师30人,对他们进行年龄状况和受教育程度的调查,其结果如下:‎ 本科 研究生 合计 ‎35岁以下 ‎5‎ ‎2‎ ‎7‎ ‎35~50岁(含35岁和50岁)‎ ‎17‎ ‎3‎ ‎20‎ ‎50岁以上 ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎(1)从该幼儿园教师中随机抽取一人,求具有研究生学历的概率;‎ ‎(2)从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人,求有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率.‎ 解:(1)设“从该幼儿园教师中随机抽取一人,具有研究生学历”为事件A,由题可知幼儿园总共有教师30人,其中“具有研究生学历”的共6人,则P(A)=‎6‎‎30‎‎=‎‎1‎‎5‎.‎ 幼儿园教师中随机抽取一人,具有研究生学历的概率为‎1‎‎5‎.‎ ‎(2)设幼儿园中35岁以下具有研究生学历的教师用1,2表示,35~50岁(含35岁和50岁)具有研究生学历的教师为3,4,5,50岁以上具有研究生学历的教师为6,从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人,所有可能结果有15个,它们是:12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56,共有15种抽法,其中全是35~50岁(含35岁和50岁)的结果有3种,分别为:34,35,45,记“从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人,有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生”为事件B,则B中的结果共有15-3=12个,故所求概率为P(B)=‎12‎‎15‎‎=‎‎4‎‎5‎.‎ ‎18.(12分)(2015河南开封二模,文18,古典概型的概率,解答题)某种产品按质量标准分成五个等级,等级编号x依次为1,2,3,4,5,现从一批产品中随机抽取20件,对其等级编号进行统计分析,得到频率分布表如下:‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 频率 a ‎0.3‎ ‎0.35‎ b c ‎(1)若所抽取的20件产品中,等级编号为4的恰有2件,等级编号为5的恰有4件,求a,b,c的值.‎ ‎(2)在(1)的条件下,将等级编号为4的2件产品记为x1,x2,等级编号为5的4件产品记为y1,y2,y3,y4,现从x1,x2,y1,y2,y3,y4,这6件产品中任取两件(假定每件产品被取出的可能性相同),写出所有可能的结果,并求这两件产品的等级编号恰好相同的概率.‎ 解:(1)由频率分布表得a+0.3+0.35+b+c=1,即a+b+c=0.35.‎ ‎∵抽取的20件产品中,等级编号为4的恰有2件,‎ ‎∴b=‎2‎‎20‎=0.1.‎ 等级编号为5的恰有4件,∴c=‎4‎‎20‎=0.2.‎ ‎∴a=0.35-b-c=0.05.‎ 故a=0.05,b=0.10,c=0.20.‎ ‎(2)从产品x1,x2,y1,y2,y3,y4中任取两件,所有可能的结果为:{x1,x2},{x1,y1},{x1,y2},{x1,y3},{x1,y4},{x2,y1},{x2,y2},{x2,y3},{x2,y4},{y1,y2},{y1,y3},{y1,y4},{y2,y3},{y2,y4},{y3,y4},共15个.‎ 设A表示“从x1,x2,y1,y2,y3,y4,这6件产品中任取两件,这两件产品的等级编号恰好相同”,则A包含的基本事件为:{x1,x2},{y1,y2},{y1,y3},{y1,y4},{y2,y3},{y2,y4},{y3,y4},共7个,故所求概率为P=‎7‎‎15‎.‎ ‎18.(12分)(2015河南郑州一模,文18,古典概型的概率,解答题)在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球,球上分别标有数字1,2,3,4,5.甲先从箱子中摸出一个小球,记下球上所标数字后,再将该小球放回箱子中摇匀后,乙从该箱子中摸出一个小球.‎ ‎(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同为平局),求甲获胜的概率;‎ ‎(2)若规定:两人摸到的球上所标数字之和小于6则甲获胜,否则乙获胜,这样规定公平吗?‎ 解:用(x,y)(x表示甲摸到的数字,y表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件,则基本事件有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共25个.‎ ‎(1)事件A包含的基本事件有:(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共有10个,则P(A)=‎10‎‎25‎‎=‎‎2‎‎5‎.‎ ‎(2)设甲获胜的事件为B,乙获胜的事件为C.‎ 事件B所包含的基本事件有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),共有10个,则P(B)=‎10‎‎25‎‎=‎‎2‎‎5‎.‎ 所以P(C)=1-P(B)=1-‎2‎‎5‎‎=‎‎3‎‎5‎.‎ 因为P(B)≠P(C),所以这样规定不公平.‎ ‎12.(2015河南商丘二模,文12,古典概型的概率,选择题)已知函数f(x)=‎1‎‎3‎x3+ax2+b2x+1,若a是从1,2,3三个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为(　　)‎ A.‎7‎‎9‎ B.‎1‎‎3‎ C.‎5‎‎9‎ D.‎‎2‎‎3‎ 解析:求导数可得f'(x)=x2+2ax+b2,要满足题意需x2+2ax+b2=0有两不等实根,即Δ=4(a2-b2)>0,即a>b,又a,b的取法共3×3=9种,其中满足a>b的有(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),共6种,故所求的概率为P=‎6‎‎9‎‎=‎‎2‎‎3‎.‎ 答案:D ‎161‎ 古典概型与其他知识的交汇(平面向量、直线、圆、函数等)‎ ‎18.(12分)(2015辽宁大连一模,文18,古典概型与其他知识的交汇(平面向量、直线、圆、函数等),解答题)某校甲、乙两个班级各有5名编号分别为1,2,3,4,5的学生进行投篮训练,每人投10次,投中的次数统计如下表:‎ 学生 ‎1号 ‎2号 ‎3号 ‎4号 ‎5号 甲班 ‎6‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎8‎ 乙班 ‎4‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎(1)从统计数据看,甲、乙两个班哪个班的同学投篮水平更稳定(用数据说明)?‎ ‎(2)在本次训练中,从两班中分别任选一个同学,比较两人的投中次数,求甲班同学投中次数多于乙班同学投中次数的概率.‎ 解:(1)两个班数据的平均值都为7,‎ 甲班的方差s甲‎2‎‎=‎‎1‎‎5‎[(6-7)2+(5-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(8-7)2]=2,‎ 乙班的方差s乙‎2‎‎=‎‎1‎‎5‎[(4-7)2+(8-7)2+(9-7)2+(7-7)2+(7-7)2]=‎14‎‎5‎,‎ 因为s甲‎2‎‎<‎s乙‎2‎,甲班的方差较小,所以甲班的投篮水平比较稳定.‎ ‎(2)甲班1到5号记作a,b,c,d,e,乙班1到5号记作1,2,3,4,5,从两班中分别任选一个同学,得到的基本样本空间为Ω={a1,a2,a3,a4,a5,b1,b2,b3,b4,b5,c1,c2,c3,c4,c5,d1,d2,d3,d4,d5,e1,e2,e3,e4,e5},‎ 共25个基本事件组成,这25个是等可能的.‎ 将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数”记作A,则A={a1,b1,c1,d1,d2,d4,d5,e1,e4,e5},A由10个基本事件组成.‎ 所以甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率为‎10‎‎25‎‎=‎‎2‎‎5‎.‎ ‎163‎ 与角度、长度有关的几何概型 ‎8.(2015宁夏银川一中一模,文8,与角度、长度有关的几何概型,选择题)若k∈[-2,2],则k的值使得过A(1,1)可以作两条直线与圆x2+y2+kx-2y-‎5‎‎4‎k=0相切的概率等于(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎1‎‎4‎ C.‎3‎‎4‎ D.不确定 解析:把圆的方程化为标准方程得x+‎k‎2‎‎2‎+(y-1)2=1+‎5‎‎4‎k+‎1‎‎4‎k2,‎ 所以1+‎5‎‎4‎k+‎1‎‎4‎k2>0,解得k<-4或k>-1.‎ 又点(1,1)应在已知圆的外部,把点代入圆方程得:1+1+k-2-‎5‎‎4‎k>0,解得k<0.‎ 则实数k的取值范围是k<-4或-1

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