2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第六章 第3节 平面向量的数量积及其应用

2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第六章 第3节 平面向量的数量积及其应用

www.ks5u.com 多维层次练34‎ ‎[A级　基础巩固]‎ ‎1．(2020·开封一模)已知向量a＝(m－1，1)，b＝(m，－2)，则“m＝2”是“a⊥b”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：当m＝2时，a＝(1，1)，b＝(2，－2)，‎ 所以a·b＝(1，1)·(2，－2)＝2－2＝0，‎ 所以充分性成立；‎ 当a⊥b时，‎ a·b＝(m－1，1)·(m，－2)＝m(m－1)－2＝0，‎ 解得m＝2或m＝－1，必要性不成立，‎ 所以“m＝2”是“a⊥b”的充分不必要条件．‎ 答案：A ‎2．设向量a，b满足|a＋b|＝4，a·b＝1，则|a－b|＝(　　)‎ A．2 B．2 ‎ C．3 D．2 解析：由|a＋b|＝4，a·b＝1，得a2＋b2＝16－2＝14，‎ 所以|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝14－2×1＝12，‎ 所以|a－b|＝2.‎ 答案：B ‎3．(2020·唐山质检)若向量a＝，向量b＝(1，sin 22.5°)，则a·b＝(　　)‎ A．2 B．－2 ‎ C. D．－ 解析：由题意知a·b＝tan 67.5°＋ ‎＝－ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝2.‎ 答案：A ‎4．(2020·石家庄二模)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析：设|b|＝1，则|a＋b|＝|a－b|＝2.‎ 由|a＋b|＝|a－b|，得a·b＝0，‎ 故以a、b为邻边的平行四边形是矩形，且|a|＝，‎ 设向量a＋b与a的夹角为θ，‎ 则cos θ＝＝＝＝，‎ 因为0≤θ≤π，所以θ＝.‎ 答案：D ‎5．(2020·惠州模拟)已知两个非零向量a与b，若a＋b＝(－3，6)，‎ a－b＝(－3，2)，则a2－b2的值为(　　)‎ A．－3 B．－24 ‎ C．21 D．12‎ 解析：因为a＋b＝(－3，6)，a－b＝(－3，2)，‎ 所以a＝(－3，4)，b＝(0，2)，‎ a2＝|a|2＝25，b2＝|b|2＝4，‎ 则a2－b2＝21.‎ 答案：C ‎6．(2020·佛山调研)在Rt△ABC中，AB＝AC，点M、N是线段AC的三等分点，点P在线段BC上运动且满足＝k，当·取得最小值时，实数k的值为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析：建立平面直角坐标系，如图所示，‎ 设AB＝AC＝3，P(x，3－x)(0≤x≤3)，‎ 则M(1，0)，N(2，0)，‎ 则·＝2x2－9x＋11＝2＋，‎ 所以当x＝时，·取到最小值，此时P，‎ 所以k＝＝.‎ 答案：C ‎7．在△ABC中，三个顶点的坐标分别为A(3，t)，B(t，－1)，C(－3，－1)，若△ABC是以B为直角顶点的直角三角形，则t＝________．‎ 解析：由已知，得·＝0，‎ 即(3－t，t＋1)·(－3－t，0)＝0，‎ 所以(3－t)(－3－t)＝0，解得t＝3或t＝－3，‎ 当t＝－3时，点B与点C重合，舍去．故t＝3.‎ 答案：3‎ ‎8．(一题多解)(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．‎ 解析：法一　|a＋2b|＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝2.‎ 法二(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图所示，则|a＋2b|＝||.‎ 又∠AOB＝60°， 所以|a＋2b|＝2.‎ 答案：2 ‎9．(2017·天津卷)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若＝2‎ ，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为________．‎ 解析：由＝2得＝＋，‎ 所以·＝·(λ－)＝λ·－2＋λ2－·，‎ 又·＝3×2×cos 60°＝3，2＝9，2＝4，‎ 所以·＝λ－3＋λ－2＝λ－5＝－4，解得λ＝.‎ 答案： ‎10．(2017·江苏卷)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．‎ ‎(1)若a∥b，求x的值；‎ ‎(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．‎ 解：(1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b，‎ 所以－cos x＝3sin x.‎ 若cos x＝0，则sin x＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，‎ 故cos x≠0.于是tan x＝－.‎ 又x∈[0，π]，所以x＝.‎ ‎(2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)＝3cos x－sin x＝2cos .‎ 因为x∈[0，π]，所以x＋∈，‎ 从而－1≤cos≤，‎ 于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最大值3；‎ 当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值－2.‎ ‎[B级　能力提升]‎ ‎11．(2020·“超级全能生”全国联考)在△ABC 中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝，D是AC的中点，E在BC上，且AE⊥BD，则·等于(　　)‎ A．16 B．12 ‎ C．8 D．－4‎ 解析：以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(4，0)，B(0，0)，C(0，6)，D(2，3)．设E(0，t)，因为AE⊥BD，所以·＝(2，3)·(－4，t)＝－8＋3t＝0，‎ 所以t＝，即E.‎ ·＝·(0，6)＝16.‎ 答案：A ‎12．(2020·长郡中学联考)已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝|a|，则向量a＋b与a－b的夹角为________．‎ 解析：由|a＋b|＝|a－b|，知a⊥b，则a·b＝0，‎ 将|a＋b|＝|a|两边平方，得a2＋b2＋2a·b＝a2，‎ 所以b2＝a2.‎ 设a＋b与a－b的夹角为θ，‎ 所以cos θ＝＝＝＝.‎ 又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.‎ 答案： ‎13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－.‎ ‎(1)求sin A的值；‎ ‎(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．‎ 解：(1)由m·n＝－，‎ 得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－，‎ 所以cos A＝－.因为0＜A＜π，‎ 所以sin A＝＝ ＝.‎ ‎(2)由正弦定理，得＝，‎ 则sin B＝＝＝，‎ 因为a＞b，所以A＞B，且B是△ABC一内角，则B＝.‎ 由余弦定理得(4)2＝52＋c2－2×5c×，‎ 解得c＝1或c＝－7(舍去)，‎ 故向量在方向上的投影为||cos B＝ccos B ＝‎ ‎1×＝.‎ ‎[C级　素养升华]‎ ‎14．(多选题)已知向量与的夹角为60°，且||＝3，||＝2，若＝m＋n，且⊥，则实数m，n的值可能为(　　)‎ A．m＝1，n＝6 B．m＝1，n＝4‎ C．m＝，n＝3 D．m＝，n＝2‎ 解析：·＝3×2×cos 60°＝3，因为＝m＋n，⊥，所以(m＋n)·＝(m＋n)·(－)＝‎ ‎(m－n)·－m2＋n2＝0，所以3(m－n)－9m＋4n＝0，所以＝，故选AC.‎ 答案：AC 素养培育数学运算——‎ 平面向量与三角形的“四心”(自主阅读)‎ ‎1. 平面向量与三角形的“重心”问题 ‎[典例1]　已知A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]，λ∈R，则点P的轨迹一定经过(　　)‎ A．△ABC的内心　　　 B．△ABC的垂心 C．△ABC的重心 D．AB边的中点 解析：取AB的中点D，则2＝＋，‎ 因为＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]，‎ 所以＝[2(1－λ)＋(1＋2λ)]＝＋，而＋＝1，‎ 所以P，C，D三点共线，‎ 所以点P的轨迹一定经过△ABC的重心．‎ 答案：C ‎2．平面向量与三角形的“垂心”问题 ‎[典例2]　已知O是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ， λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)‎ A．重心 B．垂心 ‎ C．外心 D．内心 解析：因为＝＋λ，‎ 所以＝－＝λ.‎ 所以·＝·λ＝‎ λ(－||＋||)＝0.‎ 所以⊥，则点P在边BC的高线上．‎ 故动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心．‎ 答案：B ‎3．平面向量与三角形的“内心”问题 ‎[典例3]　在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cos A＝，O是△ABC的内心，若＝x＋y，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为(　　)‎ A. B. ‎ C．4 D．6 解析：根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以 OB，OC为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC的面积的2倍．‎ 在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得a＝7.‎ 设△ABC的内切圆的半径为r，则 bcsin A＝(a＋b＋c)r，解得r＝，‎ 所以S△BOC＝×a×r＝×7×＝.‎ 故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△BOC＝.‎ 答案：B ‎4．平面向量与三角形的“外心”问题 ‎[典例4]　已知在△ABC中，AB＝1，BC＝，AC＝2，点O为△ABC的外心，若＝x＋y，则有序实数对(x，y)为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：取AB的中点M和AC的中点N，连接OM，ON，则⊥，⊥，＝－＝－(x＋y)＝－y，‎ ＝－＝－(x＋y)＝－x，‎ 由⊥，得2－y·＝0，①‎ 由⊥，得2－x·＝0.②‎ 又因为2＝(－)2＝2－2·＋2，‎ 所以·＝＝－，‎ 代入①、②得解得x＝，y＝.‎ 故实数对(x，y)为.‎ 答案：A