2014年重庆市高考数学试卷（文科）

2014年重庆市高考数学试卷（文科）

‎2014年重庆市高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）实部为﹣2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面内的（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．（5分）在等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=10，则a7=（　　）‎ A．5 B．8 C．10 D．14‎ ‎3．（5分）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（　　）‎ A．100 B．150 C．200 D．250‎ ‎4．（5分）下列函数为偶函数的是（　　）‎ A．f（x）=x﹣1 B．f（x）=x2+x C．f（x）=2x﹣2﹣x D．f（x）=2x+2﹣x ‎5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（　　）‎ A．10 B．17 C．19 D．36‎ ‎6．（5分）已知命题：p：对任意x∈R，总有|x|≥0，q：x=1是方程x+2=0的根；则下列命题为真命题的是（　　）‎ A．p∧￢q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧q ‎7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A．12 B．18 C．24 D．30‎ ‎8．（5分）设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C．4 D．‎ ‎9．（5分）若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是（　　）‎ A．6+2 B．7+2 C．6+4 D．7+4‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）=，且g（x）=f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣，﹣2]∪（0，] B．（﹣，﹣2]∪（0，] C．（﹣，﹣2]∪（0，] D．（﹣，﹣2]∪（0，]‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，把答案填写在答题卡相应的位置上．‎ ‎11．（5分）已知集合A={3，4，5，12，13}，B={2，3，5，8，13}，则A∩B=　 　．‎ ‎12．（5分）已知向量与的夹角为60°，且=（﹣2，﹣6），||=，则•=　 　．‎ ‎13．（5分）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜‎ ‎）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）=　 　．‎ ‎14．（5分）已知直线x﹣y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0相交于A、B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为　 　．‎ ‎15．（5分）某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为　 　（用数字作答）．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（13分）已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和．‎ ‎（Ⅰ）求an及Sn；‎ ‎（Ⅱ）设{bn}是首项为2的等比数列，公比为q满足q2﹣（a4+1）q+S4=0．求{bn}的通项公式及其前n项和Tn．‎ ‎17．（13分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：‎ ‎（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；‎ ‎（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；‎ ‎（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．‎ ‎18．（13分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．‎ ‎（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；‎ ‎（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．‎ ‎19．（12分）已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．‎ ‎（Ⅰ）求a的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．‎ ‎20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上一点，且BM=．‎ ‎（Ⅰ）证明：BC⊥平面POM；‎ ‎（Ⅱ）若MP⊥AP，求四棱锥P﹣ABMO的体积．‎ ‎21．（12分）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．‎ ‎（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2014年重庆市高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）实部为﹣2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面内的（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【分析】根据复数的几何意义，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：实部为﹣2，虚部为1的复数所对应的点的坐标为（﹣2，1），位于第二象限，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查复数的几何意义，比较基础．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）在等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=10，则a7=（　　）‎ A．5 B．8 C．10 D．14‎ ‎【分析】由题意可得a4=5，进而可得公差d=1，可得a7=a1+6d，代值计算即可．‎ ‎【解答】解：∵在等差数列{an}中a1=2，a3+a5=10，‎ ‎∴2a4=a3+a5=10，解得a4=5，‎ ‎∴公差d==1，‎ ‎∴a7=a1+6d=2+6=8‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的通项公式，属基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（　　）‎ A．100 B．150 C．200 D．250‎ ‎【分析】计算分层抽样的抽取比例和总体个数，利用样本容量=总体个数×抽取比例计算n值．‎ ‎【解答】解：分层抽样的抽取比例为=，‎ 总体个数为3500+1500=5000，‎ ‎∴样本容量n=5000×=100．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样方法的特征是关键．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）下列函数为偶函数的是（　　）‎ A．f（x）=x﹣1 B．f（x）=x2+x C．f（x）=2x﹣2﹣x D．f（x）=2x+2﹣x ‎【分析】根据偶函数的定义，依次分析选项，先分析函数的定义域，再分析f（﹣x）=f（x）是否成立，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，依次分析选项：‎ A、f（x）=x﹣1，其定义域为R，f（﹣x）=﹣x﹣1，f（﹣x）≠f（x），不是偶函数，不符合题意；‎ B、f（x）=x2+x，其定义域为R，f（﹣x）=x2﹣x，f（﹣x）≠f（x），不是偶函数，不符合题意；‎ C、f（x）=2x﹣2﹣x，其定义域为R，f（﹣x）=2﹣x﹣2x，f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数不是偶函数，不符合题意；‎ D、f（x）=2x+2﹣x，其定义域为R，f（﹣x）=2﹣x+2x，f（﹣x）=f（x），是偶函数，符合题意；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查函数奇偶性的判断，注意要先分析函数的定义域．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（　　）‎ A．10 B．17 C．19 D．36‎ ‎【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件k＜10，跳出循环体，计算输出S的值．‎ ‎【解答】解：由程序框图知：第一次循环S=2，k=2×2﹣1=3；‎ 第二次循环S=2+3=5，k=2×3﹣1=5；‎ 第三次循环S=5+5=10，k=2×5﹣1=9；‎ 第四次循环S=10+9=19，k=2×9﹣1=17，‎ 不满足条件k＜10，跳出循环体，输出S=19．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了当型循环结构程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知命题：p：对任意x∈R，总有|x|≥0，q：x=1是方程x+2=0的根；则下列命题为真命题的是（　　）‎ A．p∧￢q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧q ‎【分析】判定命题p，q的真假，利用复合命题的真假关系即可得到结论．‎ ‎【解答】解：根据绝对值的性质可知，对任意x∈R，总有|x|≥0成立，即p为真命题，‎ 当x=1时，x+2=3≠0，即x=1不是方程x+2=0的根，即q为假命题，‎ 则p∧￢q，为真命题，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查复合命题的真假关系的应用，先判定p，q的真假是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）‎ A．12 B．18 C．24 D．30‎ ‎【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断三棱柱的高及消去的三棱锥的高，判断三棱锥与三棱柱的底面三角形的形状及相关几何量的数据，把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算．‎ ‎【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：‎ 三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，‎ 三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，‎ ‎∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×3=30﹣6=24．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C．4 D．‎ ‎【分析】根据（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，由双曲线的定义可得（2a）2=b2﹣3ab，求得a=，c==b，即可求出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：∵（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，‎ ‎∴由双曲线的定义可得（2a）2=b2﹣3ab，‎ ‎∴4a2+3ab﹣b2=0，‎ ‎∴a=，‎ ‎∴c==b，‎ ‎∴e==．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是（　　）‎ A．6+2 B．7+2 C．6+4 D．7+4‎ ‎【分析】利用对数的运算法则可得＞0，a＞4，再利用基本不等式即可得出 ‎【解答】解：∵3a+4b＞0，ab＞0，‎ ‎∴a＞0．b＞0‎ ‎∵log4（3a+4b）=log2，‎ ‎∴log4（3a+4b）=log4（ab）‎ ‎∴3a+4b=ab，a≠4，a＞0．b＞0‎ ‎∴＞0，‎ ‎∴a＞4，‎ 则a+b=a+=a+=a+3+=（a﹣4）++7+7=4+7，当且仅当a=4+2取等号．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）=，且g（x）=f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．（﹣，﹣2]∪（0，] B．（﹣，﹣2]∪（0，] C．（﹣，﹣2]∪（0，] D．（﹣，﹣2]∪（0，]‎ ‎【分析】由g（x）=f（x）﹣mx﹣m=0，即f（x）=m（x+1），作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由g（x）=f（x）﹣mx﹣m=0，即f（x）=m（x+1），‎ 分别作出函数f（x）和y=h（x）=m（x+1）的图象如图：‎ 由图象可知f（1）=1，h（x）表示过定点A（﹣1，0）的直线，‎ 当h（x）过（1，1）时，m=此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m的取值范围是0＜m≤，‎ 当h（x）过（0，﹣2）时，h（0）=﹣2，解得m=﹣2，此时两个函数有两个交点，‎ 当h（x）与f（x）相切时，两个函数只有一个交点，‎ 此时，‎ 即m（x+1）2+3（x+1）﹣1=0，‎ 当m=0时，x=，只有1解，‎ 当m≠0，由△=9+4m=0得m=﹣，此时直线和f（x）相切，‎ ‎∴要使函数有两个零点，‎ 则﹣＜m≤﹣2或0＜m≤，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，把答案填写在答题卡相应的位置上．‎ ‎11．（5分）已知集合A={3，4，5，12，13}，B={2，3，5，8，13}，则A∩B=　{3，5，13}　．‎ ‎【分析】根据题意，分析集合A、B的公共元素，由交集的意义即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，集合A={3，4，5，12，13}，B={2，3，5，8，13}，‎ A、B公共元素为3、5、13，‎ 则A∩B={3，5，13}，‎ 故答案为：{3，5，13}．‎ ‎【点评】本题考查集合交集的运算，注意写出集合的形式．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知向量与的夹角为60°，且=（﹣2，﹣6），||=，则•=　10　．‎ ‎【分析】利用向量的模、夹角形式的数量积公式，求出即可 ‎【解答】解：∵=（﹣2，﹣6），‎ ‎∴，‎ ‎∴=2=10．‎ 故答案为：10．‎ ‎【点评】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）=　　．‎ ‎【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得sin（2ωx+φ﹣ω）=sinx，可得2ω=1，且 φ﹣ω=2kπ，k∈z，由此求得ω、φ的值，可得f（x）的解析式，从而求得f（）的值．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得函数y=sin（2ωx+φ）的图象．‎ 再把所得图象再向右平移个单位长度得到函数y=sin[2ω（x﹣）+φ）]‎ ‎=sin（2ωx+φ﹣ω）=sinx的图象，‎ ‎∴2ω=1，且 φ﹣ω=2kπ，k∈Z，‎ ‎∴ω=，φ=+2kπ，∴f（x）=sin（x+），‎ ‎∴f（）=sin（+）=sin=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知直线x﹣y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+‎ ‎2x﹣4y﹣4=0相交于A、B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为　0或6　．‎ ‎【分析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=9，圆心C（﹣1，2），半径r=3，‎ ‎∵AC⊥BC，‎ ‎∴圆心C到直线AB的距离d=，‎ 即d==，‎ 即|a﹣3|=3，‎ 解得a=0或a=6，‎ 故答案为：0或6．‎ ‎【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为　　（用数字作答）．‎ ‎【分析】设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|30≤x≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={（x，y）|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可．‎ ‎【解答】解：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|30≤x≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，对应的面积S=20×20=400，‎ 则小张比小王至少早5分钟到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，则符合题意的区域为△ABC，联立得C（45，50），联立 得B（30，35），则S△ABC=×15×15，由几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查几何概率模型与模拟方法估计概率，求解的关键是掌握两种求概率的方法的定义及规则，求出对应区域的面积是解决本题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（13分）已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和．‎ ‎（Ⅰ）求an及Sn；‎ ‎（Ⅱ）设{bn}是首项为2的等比数列，公比为q满足q2﹣（a4+1）q+S4=0．求{bn}的通项公式及其前n项和Tn．‎ ‎【分析】（Ⅰ）直接由等差数列的通项公式及前n项和公式得答案；‎ ‎（Ⅱ）求出a4和S4，代入q2﹣（a4+1）q+S4=0求出等比数列的公比，然后直接由等比数列的通项公式及前n项和公式得答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵{an}是首项为1，公差为2的等差数列，‎ ‎∴an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．‎ ‎；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a4=7，S4=16．‎ ‎∵q2﹣（a4+1）q+S4=0，即q2﹣8q+16=0，‎ ‎∴（q﹣4）2=0，即q=4．‎ 又∵{bn}是首项为2的等比数列，‎ ‎∴．‎ ‎．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式的求法，是基础题．‎ ‎　‎ ‎17．（13分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：‎ ‎（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；‎ ‎（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；‎ ‎（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图求出a的值；‎ ‎（Ⅱ）由图可知，成绩在[50，60）和[60，70）的频率分别为0.1和0.15，用样本容量20乘以对应的频率，即得对应区间内的人数，从而求出所求．‎ ‎（Ⅲ）分别列出满足[50，70）的基本事件，再找到在[60，70）的事件个数，根据古典概率公式计算即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）根据直方图知组距=10，由（2a+3a+6a+7a+2a）×10=1，解得a=0.005．‎ ‎（Ⅱ）成绩落在[50，60）中的学生人数为2×0.005×10×20=2，‎ 成绩落在[60，70）中的学生人数为3×0.005×10×20=3．‎ ‎（Ⅲ）记成绩落在[50，60）中的2人为A，B，成绩落在[60，70）中的3人为C，D，E，则成绩在[50，70）的学生任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个，‎ 其中2人的成绩都在[60，70）中的基本事件有CD，CE，DE共3个，‎ 故所求概率为P=．‎ ‎【点评】本题考查频率分布直方图的应用以及古典概型的概率的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（13分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．‎ ‎（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；‎ ‎（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由a+b+c=8，根据a=2，b=求出c的长，利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值即可；‎ ‎（Ⅱ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，再利用正弦定理得到a+b=3c，与a+b+c=8联立求出a+b的值，利用三角形的面积公式列出关系式，代入S=sinC求出ab的值，联立即可求出a与b的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵a=2，b=，且a+b+c=8，‎ ‎∴c=8﹣（a+b）=，‎ ‎∴由余弦定理得：cosC===﹣；‎ ‎（Ⅱ）由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•+sinB•=2sinC，‎ 整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，‎ ‎∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，‎ ‎∴sinA+sinB=3sinC，‎ 利用正弦定理化简得：a+b=3c，‎ ‎∵a+b+c=8，‎ ‎∴a+b=6①，‎ ‎∵S=absinC=sinC，‎ ‎∴ab=9②，‎ 联立①②解得：a=b=3．‎ ‎【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．‎ ‎（Ⅰ）求a的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x可得f′（1）=﹣2，可求出a的值；‎ ‎（Ⅱ）根据（I）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f（x）的单调区间与极值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=+﹣lnx﹣，‎ ‎∴f′（x）=﹣﹣，‎ ‎∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．‎ ‎∴f′（1）=﹣a﹣1=﹣2，‎ 解得：a=．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=+﹣lnx﹣，‎ f′（x）=﹣﹣=（x＞0），‎ 令f′（x）=0，‎ 解得x=5，或x=﹣1（舍），‎ ‎∵当x∈（0，5）时，f′（x）＜0，当x∈（5，+∞）时，f′（x）＞0，‎ 故函数f（x）的单调递增区间为（5，+∞）；‎ 单调递减区间为（0，5）；‎ 当x=5时，函数取极小值﹣ln5．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，是导数的综合应用，难度中档．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上一点，且BM=．‎ ‎（Ⅰ）证明：BC⊥平面POM；‎ ‎（Ⅱ）若MP⊥AP，求四棱锥P﹣ABMO的体积．‎ ‎【分析】（Ⅰ）连接OB，根据底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上一点，且BM=，结合菱形的性质，余弦定理，勾股定理，可得OM⊥BC及PO⊥BC，进而由线面垂直的判定定理得到BC⊥平面POM；‎ ‎（Ⅱ）设PO=a，利用勾股定理和余弦定理解三角形求出PO的值，及四棱锥P﹣ABMO的底面积S，代入棱锥体积公式，可得答案．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）∵底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，‎ 故O为底面ABCD的中心，连接OB，则AO⊥OB，‎ ‎∵AB=2，∠BAD=，‎ ‎∴OB=AB•sin∠BAO=2sin（）=1，‎ 又∵BM=，∠OBM=，‎ ‎∴在△OBM中，OM2=OB2+BM2﹣2OB•BM•cos∠OBM=，‎ 即OB2=OM2+BM2，即OM⊥BM，‎ ‎∴OM⊥BC，‎ 又∵PO⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，‎ ‎∴PO⊥BC，‎ 又∵OM∩PO=O，OM，PO⊂平面POM，‎ ‎∴BC⊥平面POM；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：OA=AB•cos∠BAO=2cos（）=，‎ 设PO=a，由PO⊥底面ABCD可得：△POA为直角三角形，‎ 故PA2=PO2+OA2=a2+3，‎ 由△POM也为直角三角形得：‎ PM2=PO2+OM2=a2+，‎ 连接AM，‎ 在△ABM中，AM2=AB2+BM2﹣2AB•BM•cos∠ABM==‎ ‎，‎ 由MP⊥AP可知：△APM为直角三角形，‎ 则AM2=PA2+PM2，即a2+3+a2+=，‎ 解得a=，即PO=，‎ 此时四棱锥P﹣ABMO的底面积S=S△AOB+S△BOM=•AO•OB+•BM•OM=，‎ ‎∴四棱锥P﹣ABMO的体积V=S•PO=‎ ‎【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积，直线与平面垂直的判定，难度中档．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．‎ ‎（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），依题意，可求得c=1，易求得|DF1|==，|DF2|=，从而可得2a=2，于是可求得椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由F1P1⊥F2P2，得x1=﹣或x1=0，分类讨论即可求得圆心及半径，从而可得圆的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c2=a2﹣b2，‎ 由=2，得|DF1|==c，‎ 从而=|DF1||F1F2|=c2=，故c=1．‎ 从而|DF1|=，由DF1⊥F1F2，得=+=，‎ 因此|DF2|=，‎ 所以2a=|DF1|+|DF2|=2，故a=，b2=a2﹣c2=1，‎ 因此，所求椭圆的标准方程为+y2=1；‎ ‎（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，‎ y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，‎ 由（Ⅰ）知F1（﹣1，0），F2（1，0），所以=（x1+1，y1），=（﹣x1﹣1，y1），再由F1P1⊥F2P2，得﹣+=0，‎ 由椭圆方程得1﹣=，即3+4x1=0，解得x1=﹣或x1=0．‎ 当x1=0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在；‎ 当x1=﹣时，过P1，P2，分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C，设C（0，y0）‎ 由F1P1，F2P2是圆C的切线，知CP1⊥F1P1，得•=﹣1，而|y1|=|x1+1|=，‎ 故y0=，‎ 故圆C的半径|CP1|==．‎ 综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x2+=．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用，考查综合分析与运算能力，属于难题．‎ ‎　‎