数学文卷·2018届山东省济南一中高三1月月考（2018

数学文卷·2018届山东省济南一中高三1月月考（2018

济南一中高三年级2018新年学业检测 数学试题（文科）‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，‎ 注意事项：‎ 1． 选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.‎ 2． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.‎ 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎(1) 已知集合，，则=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎(2) 在复平面内，复数 对应的点位于（　　）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎(3) 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了（　　）‎ A．60里 B．48里 C．36里 D．24里 ‎(4) 从数字，，，，中任取个，组成一个没有重复数字的两位数，则这个两位数大于的概率是（　　）‎ A B C D ‎ ‎(5) 执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的值为 开始 结束 输入x 是 否 输出 A 6 B 8 C 10 D 12‎ ‎ (6) 若变量x，y满足则x2+y2的最大值是（　　）‎ A 4 B 9 C 10 D 12‎ ‎ (7) 直线与圆相切，则（ ）‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 ‎(8) 已知函数，则下列结论中正确的是 A. 函数的最小正周期为 ‎ B.函数的图象关于点对称 C.由函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象 ‎ D. 函数在区间上单调递增 ‎(9) 函数，则函数的导数的图象是（　　）‎ A B． ‎ C ． D．‎ ‎(10) 如图, 网格纸上的小正方形的边长为, 粗实线画出的是某几何体的三视图, 则该几何体的体积是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎(11) 已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面的距离为 ‎，，, 则球的表面积为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎(12) 设函数的定义域为R , , 当时,, 则函数在区间上的所有零点的和为 A. B. C. D . ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共20分．‎ ‎(13) 函数的极小值为 ．‎ ‎(14) 设是公差为正数的等差数列，若，，____.‎ ‎(15) 已知平面向量与的夹角为，，，则 .‎ ‎(16) 如果，，…，是抛物线：上的点，它们的横坐标依次为，，…，，是抛物线的焦点，若，则_________. ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎ (17)（本小题满分分）‎ ‎ 在△中，分别为内角的对边，‎ ‎.‎ ‎ (Ⅰ) 求的大小；‎ ‎ (Ⅱ) 若, , 求△的面积.‎ ‎(18)（本小题满分分）‎ 韩国民意调查机构“盖洛普韩国”2016年11月公布的民调结果显示，受“闺蜜门”时间影响，韩国总统朴槿惠的民意支持率持续下跌，在所调查的1000个对象中，年龄在[20，30）的群体有200人，支持率为0%，年龄在[30，40）和[40，50）的群体中，支持率均为3%；年龄在[50，60）和[60，70）的群体中，支持率分别为6%和13%，若在调查的对象中，除[20，30）的群体外，其余各年龄层的人数分布情况如频率分布直方图所示，其中最后三组的频数构成公差为100的等差数列．‎ ‎(1)依频率分布直方图求出图中各年龄层的人数 ‎（2）请依上述支持率完成下表：‎ ‎ 年龄分布 是否支持 ‎[30，40）和[40，50）‎ ‎[50，60）和[60，70）‎ ‎ 合计 ‎ 支持 ‎ 不支持 ‎ 合计 根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为年龄与支持率有关？‎ 附表：‎ ‎ P（K2≥k）‎ ‎ 0.15‎ ‎0.10 ‎ ‎ 0.05‎ ‎ 0.025‎ ‎0.010 ‎ ‎0.005 ‎ ‎0.001 ‎ ‎ k ‎ 2.072‎ ‎2.076 ‎ ‎3.841 ‎ ‎5.024 ‎ ‎6.635 ‎ ‎7.879 ‎ ‎10.828 ‎ ‎（参考公式：，其中 参考数据：125×33=15×275，125×97=25×485）‎ ‎ ‎ ‎(19)（本小题满分分）‎ ‎ 如图，三棱锥P-ABC中，平面PAC平面ABC，ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F在线段AB上，且EF//BC.‎ ‎(Ⅰ)证明：AB平面PFE. ‎ ‎(Ⅱ)若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长.‎ ‎(20)（本小题满分分）‎ 已知椭圆经过点M（﹣2，﹣1），离心率为．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论．‎ ‎(21) （本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，证明：.‎ ‎ ‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4－5: 不等式选讲 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时，求函数的定义域；‎ ‎(Ⅱ)若关于的不等式≥的解集是R，求实数的最大值．‎ 月考答案 ‎1.A 2.B 3.C 4.C 5.C 6.C 7.D 8.C 9.A 10.A 11.D 12.B ‎13. -2 14. 105 15. 2 16. 20‎ ‎17. (Ⅰ)解: ∵,‎ 由正弦定理得，， ……………………………………1分 化简得，. ……………………………………………………2分 ‎∴. …………………………………………………4分 ‎∵，‎ ‎∴. ……………………………………………………5分 ‎(Ⅱ)解：∵, ∴. …………………………………6分 ‎ ∴. …………8分 ‎ 由正弦定理得，， ……………………………………………………9分 ‎ ∵，， ‎ ‎ ∴. ………………………………………………………10分 ‎ ∴△的面积. ………12分 ‎18. 解：（1）设年龄在[50，60）的人数为x，则最后三组人数之和为3x，‎ 所以四组总人数为4x=800，得x=200，‎ 则频率分布直方图中，年龄在[30，40）的群体有200人，‎ ‎[40，50）的群体有300人，[50，60）的群体有200人，[60，70）的群体有100人；‎ ‎（2）由题意年龄在[30，40）和[40，50）的支持人数为6+9=15，[50，60）和[60，70）的人数为12+13=25．‎ 填表如下 ‎ 年龄分布 是否支持 ‎[30，40）和[40，50）‎ ‎[50，60）和[60，70）‎ ‎ 合计 ‎ 支持 ‎15‎ ‎25‎ ‎40‎ ‎ 不支持 ‎485‎ ‎275‎ ‎760‎ ‎ 合计 ‎500‎ ‎300‎ ‎800‎ 所以K2=≈11.228＞10.828，‎ ‎∴在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为年龄与支持率有关．‎ ‎　‎ ‎19. （Ⅰ）如图，由DE=EC，PD=PC知，E为等腰△PDC中DC边的中点，故PE⊥AC，‎ 又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PE⊂平面PAC，PE⊥AC，‎ 所以PE⊥平面ABC，从而PE⊥AB．‎ 因为∠ABC=，EF∥BC，‎ 故AB⊥EF，‎ 从而AB与平面PEF内两条相交直线PE，EF都垂直，‎ 所以AB⊥平面PEF．‎ ‎（Ⅱ）设BC=x，则在直角△ABC中，AB==，‎ 从而S△ABC=AB•BC=x，‎ 由EF∥BC知，得△AFE∽△ABC，‎ 故=（）2=，即S△AFE=S△ABC，‎ 由AD=AE，S△AFD==S△ABC=S△ABC=x，‎ 从而四边形DFBC的面积为：SDFBC=S△ABC-SAFD=x-x=x．‎ 由（Ⅰ）知，PE⊥平面ABC，所以PE为四棱锥P-DFBC的高．‎ 在直角△PEC中，PE===2，‎ 故体积VP-DFBC=SDFBC•PE=x=7，‎ 故得x4-36x2+243=0，解得x2=9或x2=27，由于x＞0，可得x=3或x=3．‎ 所以：BC=3或BC=3．‎ ‎20. （Ⅰ）解：由题设，∵椭圆经过点M（﹣2，﹣1），离心率为．‎ ‎∴，①且=，②‎ 由①、②解得a2=6，b2=3，‎ ‎∴椭圆C的方程为．…‎ ‎（Ⅱ）证明：记P（x1，y1）、Q（x2，y2）．‎ 设直线MP的方程为y+1=k（x+2），与椭圆C的方程联立，得（1+2k2）x2+（8k2﹣4k）x+8k2﹣8k﹣4=0，‎ ‎∵﹣2，x1是该方程的两根，∴﹣2x1=，即x1=．‎ 设直线MQ的方程为y+1=﹣k（x+2），同理得x2=．…‎ 因y1+1=k（x1+2），y2+1=﹣k（x2+2），‎ 故kPQ====1，‎ 因此直线PQ的斜率为定值．…‎ ‎21. （21）（Ⅰ）解：当时，，‎ 所以．………………………………………………………………1分 所以，. …………………………………………………2分 所以曲线在点处的切线方程为．‎ 即.………………………………………………………………………3分 ‎（Ⅱ）证法一：当时，.‎ 要证明，只需证明.……………………………………4分 以下给出三种思路证明.‎ 思路1：设，则.‎ 设，则，‎ 所以函数在上单调递增．…………………………6分 因为，，‎ 所以函数在上有唯一零点，且.…………8分 因为时，所以，即.………………………………9分 当时，；当时，.‎ 所以当时，取得最小值．……………………………………10分 故．‎ 综上可知，当时，.………………………………………………12分 思路2：先证明．………………………………………………5分 设，则．‎ 因为当时，，当时，，‎ 所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增．‎ 所以．‎ 所以（当且仅当时取等号）．………………………………………7分 所以要证明， ‎ 只需证明．……………………………………………………8分 下面证明．‎ 设，则．‎ 当时，，当时，，‎ 所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增．‎ 所以．‎ 所以（当且仅当时取等号）．………………………………10分 由于取等号的条件不同，‎ 所以．‎ 综上可知，当时，.………………………………………………12分 ‎（若考生先放缩，或、同时放缩，请参考此思路给分！）‎ 思路3：先证明.‎ 因为曲线与曲线的图像关于直线对称，‎ 设直线与曲线，分别交于点，，点，到直线 的距离分别为，，‎ 则．‎ 其中，．‎ ‎①设，则．‎ 因为，所以．‎ 所以在上单调递增，则．‎ 所以．‎ ‎②设，则．‎ 因为当时，；当时，，‎ 所以当时，单调递减；当时，单调递增．‎ 所以．‎ 所以．‎ 所以．‎ 综上可知，当时，.………………………………………………12分 证法二：因为，‎ 要证明，只需证明.…………………………………4分 以下给出两种思路证明.‎ 思路1：设，则.‎ 设，则．‎ 所以函数在上单调递增．……………………6分 因为，，‎ 所以函数在上有唯一零点，且.……8分 因为，所以，即．……………………9分 当时，；当时，.‎ 所以当时，取得最小值．……………………………………10分 故．‎ 综上可知，当时，．………………………………………………12分 思路2：先证明，且．……………………5分 设，则．‎ 因为当时，；当时，，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增．‎ 所以当时，取得最小值．‎ 所以，即（当且仅当时取等号）．……………7分 由，得（当且仅当时取等号）．………………8分 所以（当且仅当时取等号）．……………………………9分 再证明．‎ 因为，，且与不同时取等号，‎ 所以 ‎．‎ 综上可知，当时，．………………………………………………12分 ‎24. (Ⅰ)解：由题设知：， …………………………………1分 ‎ ① 当时，得，解得. ………………………………2分 ‎ ② 当时,得,无解. …………………………………3分 ‎③ 当时,得, 解得. ……………………………4分 ‎∴函数的定义域为. …………………………………5分 ‎(Ⅱ)解：不等式，即， …………………………………6分 ‎∵R时，恒有，…………………………8分 又不等式的解集是R， ‎ ‎∴，即. ……………………………………………………………9分 ‎∴的最大值为. …………………………………………………………10分