专题4-7 正弦定理和余弦定理的应用（练）-2018年高考数学（文）一轮复习讲练测

专题4-7 正弦定理和余弦定理的应用（练）-2018年高考数学（文）一轮复习讲练测

A 基础巩固训练 1．从 A 处望 B 处的仰角为α，从 B 处望 A 处的俯角为β，则α，β之间的关系是( ) A．α>β B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° 【答案】B 【解析】根据仰角和俯角的概念，可知  . 2．若点 A 在点 C 的北偏东 30°，点 B 在点 C 的南偏东 60°，且 AC＝BC，则点 A 在点 B 的 ( ) A．北偏东 15° B．北偏西 15° C．北偏东 10° D．北偏西 10° 【答案】B 3. 要测量顶部不能到达的电视塔 AB 的高度, 在C 点测得塔顶 A 的仰角是 45 ,在 D 点测得 塔顶 A 的仰角是30 ,并测得水平面上的 120 , 40mBCD CD   ，则电视塔的高度为 （ ） A. 10 2m B. 20m C. 20 3m D. 40m 【答案】D 【解析】 根据题意，设 mAB x ，则 Rt ABD 中， 30ADB   ，可得 3 mtan30 ABBD x  ，同 理可得 Rt ABC 中， mBC AB x  ，  在 DBC 中， 120 , 40mBCD CD   ，  由余弦定理 2 2 2 cosBD BC BC CD DCB     得，    2 2 23 40 2 40 cos120x x x       ，整理得： 2 20 800 0x x   ，解之得 40x  或 20x   （舍），即电视塔 AB 的高度为 40 米，故选 D. 4．两灯塔 (耀 与海洋观察站 的距离都为 ，灯塔 在 的北偏东 ， 耀 在 的南偏东 ， 则 (耀 两灯塔之间距离为( ) A. B. C. D. 【答案】C 5．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷 水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45°，沿点 A 向北偏东 30°前进 100 m 到达点 B， 在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30°，则水柱的高度是( ) A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m 【答案】A B 能力提升训练 1．如下图所示，在河岸 AC 测量河的宽度 BC，图中所标的数据 a，b，c，α，β是可供测量 的数据．下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是( ) A．c 和α B．c 和 b C．c 和β D．b 和α 【答案】D 【解析】根据直角三角形的特征，只要知道一条边和一个夹角即可求出河宽. 2．甲船在岛 A 的正南 B 处，以每小时 4 千米的速度向正北航行，AB＝10 千米，同时乙船自岛 A 出发以每小时 6 千米的速度向北偏东 60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所 航行的时间为( ) A.150 7 分钟 B.15 7 分钟 C．21.5 分钟 D．2.15 小时 【答案】A 【解析】如图，设 t 小时后甲行驶到 D 处，则 AD＝10－4t，乙行驶到 C 处，则 AC＝6t.∵∠ BAC＝120°，∴DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos120°＝(10－4t) 2＋(6t)2－2×(10－ 4t)×6t×cos120°＝28t2－20t＋100. 当 t＝ 5 14 时，DC2 最小，DC 最小，此时它们所航行的时间为 5 14 ×60＝150 7 分钟． 3．轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时离开海港 C，两艘轮船航行方向的夹角为 120°，轮船 A 的航 行速度是 25 海里/小时，轮船 B 的航行速度是 15 海里/小时，下午 2 时两船之间的距离是( ) A．35 海里 B．35 2海里 C．35 3海里 D．70 海里 【答案】D 4．有一长为 1 的斜坡，它的倾斜角为 20°，现高不变，将倾斜角改为 10°，则斜坡长为( ) A．1 B．2sin10° C．2cos10° D．cos20° 【答案】C 【解析】如图所示，∠ABC＝20°，AB＝1，∠ADC＝10°，∴∠ABD＝160°. 在△ABD 中，由正弦定理 AD sin160° ＝ AB sin10° ， ∴AD＝AB·sin160° sin10° ＝sin20° sin10° ＝2cos10°. 5．【2017 山西三区八校二模】为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求 60ACB  ， BC 的长度大于 1 米，且 AC 比 AB 长 0.5 米，为了稳固广告牌，要求 AC 越短越好，则 AC 最短为（ ） A. 31 2      米 B. 2 米 C.  1 3 米 D.  2 3 米 【答案】D C 思维扩展训练 1.如图：D， C，B 三点在地面同一直线上，DC＝ a ，从 C，D 两点测得 A 点仰角分别是  ，  (  )，则 A 点离地面的高度 AB 等于( ) （A） sin sin sin( ) a     （B） sin sin cos( ) a     （C） sin cos sin( ) a     （D） cos sin cos( ) a     【答案】A 【解析】因为 tan tan AB ABDC DB CB      ，所以 sin sin sin sin, 1 1 cos costan tan cos sin cos sin sin( ) tan tan sin sin AB AB a a a aa AB                          . 2.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷 水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45°，沿点 A 向北偏东 30°前进 100 m 到达点 B， 在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30°，则水柱的高度是( ) A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m 【答案】A 【解析】设水柱高度是 h m，水柱底端为 C，则在△ABC 中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC ＝ 3h，根据余弦定理得，( 3h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即 h2＋50h－5 000＝0， 即(h－50)(h＋100)＝0，即 h＝50，故水柱的高度是 50 m. 3.【2017 安徽马鞍山二模】在边长为 2 的正三角形 ABC 的边 AB AC、 上分别取 M N、 两点， 点 A 关于线段 MN 的对称点 A正好落在边 BC 上，则 AM 长度的最小值为____． 【答案】 4 3 6 4.如图，某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训练.已知点 A 到墙面的距 离为 AB ，某目标点 P 沿墙面的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点 P ，需计算由点 A 观察点 P 的仰角 的大小.若 15m, 25m, 30AB AC BCM     ,则 tan 的最大 值 . 【答案】 5 3 9 5. 【2018 届江苏海安上学期第一次测试】如图，已知 耀 是一幢 6 层的写字楼，每层高均为 3m，在 耀 正前方 36m 处有一建筑物 ，从楼顶 处测得建筑物 的张角为 45 . （1）求建筑物 的高度； （2）一摄影爱好者欲在写字楼 耀 的某层拍摄建筑物 .已知从摄影位置看景物所成张角最 大时，拍摄效果最佳.问：该摄影爱好者在第几层拍摄可取得最佳效果（不计人的高度）？ 【答案】(1)30 米;(2) 当 = 时，张角 ∠t 最大，拍摄效果最佳. 【解析】试题分析：（1）先作 ⊥ 于 ，构造直角三角形 ，然后运用两角差的正切 公式求出 ∠ ，再求出 = ∠ ；（2）先依据题设求出 ∠th ， ∠th ， 然后建立目标函数 ∠t = (∠th + ∠th) = ∠th + ∠th 1 − ∠th ⋅ ∠th = 11 − 1 + − 1 1 1 − 11 − 1 ⋅ − 1 1 = 1 −1+155 = 1 (−) +119 ≤ 1 119 （当 = 时取等号）. 因为函数 = 在 (( ) 上是单调增函数， 所以当 = 时，张角 ∠t 最大，拍摄效果最佳. 答：该人在 6 层拍摄时效果最好.