2019高三数学（人教A版理）一轮课时分层训练33　数列求和

2019高三数学（人教A版理）一轮课时分层训练33　数列求和

课时分层训练(三十三) 数列求和 (对应学生用书第 233 页) A 组 基础达标 (建议用时：30 分钟) 一、选择题 1．数列 11 2 ，31 4 ，51 8 ，7 1 16 ，…，(2n－1)＋ 1 2n ，…的前 n 项和 Sn 的值等于( ) A．n2＋1－ 1 2n B．2n2－n＋1－ 1 2n C．n2＋1－ 1 2n－1 D．n2－n＋1－ 1 2n A [该数列的通项公式为 an＝(2n－1)＋ 1 2n ， 则 Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋ 1 2 ＋ 1 22 ＋…＋ 1 2n ＝n2＋1－ 1 2n.] 2．在数列{an}中，an＋1－an＝2，Sn 为{an}的前 n 项和．若 S10＝50，则数列{an ＋an＋1}的前 10 项和为( ) A．100 B．110 C．120 D．130 C [{an＋an＋1}的前 10 项和为 a1＋a2＋a2＋a3＋…＋a10＋a11＝2(a1＋a2＋… ＋a10)＋a11－a1＝2S10＋10×2＝120.故选 C．] 3．[数学文化]中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百 七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行 里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走 378 里路，第一天健步行走， 从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地，请问第 二天走了( ) 【导学号：97190183】 A．192 里 B．96 里 C．48 里 D．24 里 B [由题意，知每天所走路程形成以 a1 为首项，公比为1 2 的等比数列，则 a1 1－ 1 26 1－1 2 ＝378，解得 a1＝192，则 a2＝96，即第二天走了 96 里．故选 B.] 4．已知数列 5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于 它的前后两项之和，则这个数列的前 16 项之和 S16 等于( ) A．5 B．6 C．7 D．16 C [根据题意这个数列的前 8 项分别为 5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从 第 7 项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为 6，前 6 项和为 5 ＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0. 又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S16＝2×0＋7＝7.故选C．] 5．已知函数 f(x)＝xa 的图象过点(4,2)，令 an＝ 1 fn＋1＋fn ，n∈N*，记数列 {an}的前 n 项和为 Sn，则 S2 019＝( ) A． 2 018－1 B． 2 019－1 C． 2 020－1 D． 2 020＋1 C [由 f(4)＝2 得 4a＝2，解得 a＝1 2 ，则 f(x)＝x1 2. ∴an＝ 1 fn＋1＋fn ＝ 1 n＋1＋ n ＝ n＋1－ n， S2 019＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 019＝( 2－ 1)＋( 3－ 2)＋( 4－ 3)＋…＋ ( 2 020－ 2 019)＝ 2 020－1.] 二、填空题 6．设数列{an }的前 n 项和为 Sn，且 an＝sinnπ 2 ，n∈N*，则 S2 018＝__________. 1 [an＝sinnπ 2 ，n∈N*，显然每连续四项的和为 0. S2 018＝S4×504＋a2 017＋a2 018＝0＋1＋0＝1.] 7．计算：3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n＋2)·2－n＝__________. 4－n＋4 2n [设 S＝3×1 2 ＋4× 1 22 ＋5× 1 23 ＋…＋(n＋2)× 1 2n ， 则 1 2S＝3× 1 22 ＋4× 1 23 ＋5× 1 24 ＋…＋(n＋2)× 1 2n＋1. 两式相减得 1 2S＝3×1 2 ＋ 1 22 ＋ 1 23 ＋…＋ 1 2n －n＋2 2n＋1 . ∴S＝3＋ 1 2 ＋ 1 22 ＋…＋ 1 2n－1 －n＋2 2n ＝3＋ 1 2 1－ 1 2 n－1 1－1 2 －n＋2 2n ＝4－n＋4 2n .] 8．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a3＝3，S4＝10，则∑ n k＝1 1 Sk ＝ ________. 2n n＋1 [设等差数列{an}的公差为 d，则 由 a3＝a1＋2d＝3， S4＝4a1＋4×3 2 d＝10， 得 a1＝1， d＝1. ∴Sn＝n×1＋nn－1 2 ×1＝nn＋1 2 ， 1 Sn ＝ 2 nn＋1 ＝2 1 n － 1 n＋1 . ∴∑ n k＝1 1 Sk ＝ 1 S1 ＋ 1 S2 ＋ 1 S3 ＋…＋ 1 Sn ＝2 1－1 2 ＋1 2 －1 3 ＋1 3 －1 4 ＋…＋1 n － 1 n＋1 ＝2 1－ 1 n＋1 ＝ 2n n＋1.] 三、解答题 9．(2018·南京、钦州第二次适应性考试)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足： Sn＝n2＋2n，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列 1 anan＋1 的前 n 项和. 【导学号：97190184】 [解] (1)当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1， a1＝S1＝3 也满足 an＝2n＋1， 所以数列{an}的通项公式为 an＝2n＋1. (2)由(1)知 1 anan＋1 ＝1 2 1 2n＋1 － 1 2n＋3 ， 则 Tn＝1 2 1 3 －1 5 ＋1 5 －1 7 ＋…＋ 1 2n＋1 － 1 2n＋3 ＝1 2 1 3 － 1 2n＋3 ＝1 6 － 1 4n＋6 ＝ n 6n＋9. 10．(2018·太原模拟(二))已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝nn＋1 2 ，数列{bn}满 足 bn＝an＋an＋1(n∈N*)． (1)求数列{bn}的通项公式； (2)若 cn＝2an·(bn－1)(n∈N*)，求数列{cn}的前 n 项和 Tn. [解] (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝1， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n， 当 n＝1 时，a1＝1，符合上式， ∴an＝n(n∈N*)， ∴bn＝an＋an＋1＝2n＋1. (2)由(1)得 an＝n，bn＝2n＋1， ∴cn＝2an·(bn－1)＝n×2n＋1， ∴Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1， ① ①×2 得 2Tn＝1×23＋2×24＋3×25＋…＋n×2n＋2， ② ①－②得－Tn＝22＋23＋…＋2n＋1－n×2n＋2 ＝(1－n)×2n＋2－4， ∴Tn＝(n－1)×2n＋2＋4. B 组 能力提升 (建议用时：15 分钟) 11．(2018·石家庄一模)已知函数 f(x)的图象关于 x＝－1 对称，且 f(x)在(－1， ＋∞)上单调，若数列{an}是公差不为 0 的等差数列，且 f(a50)＝f(a51)，则{an}的 前 100 项的和为( ) A．－200 B．－100 C．0 D．－50 B [因为函数 f(x)的图象关于 x＝－1 对称，又函数 f(x)在(－1，＋∞)上单调， 数列{an}是公差不为 0 的等差数列，且 f(a50)＝f(a51)，所以 a50＋a51＝－2，所以 S100＝100a1＋a100 2 ＝50(a50＋a51)＝－100，故选 B.] 12．(2017·合肥二次质检)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 Sn＝2an－2n，则 Sn＝__________. 【导学号：97190185】 n·2n(n∈N*) [由 Sn＝2an－2n 得当 n＝1 时，S1＝a1＝2；当 n≥2 时，Sn＝2(Sn －Sn－1)－2n，即Sn 2n －Sn－1 2n－1 ＝1，所以数列 Sn 2n 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，则 Sn 2n ＝n，Sn＝n·2n(n≥2)，当 n＝1 时，也符合上式，所以 Sn＝n·2n(n∈N*)．] 13．(2017·广州综合测试(二))设 Sn 是数列{an}的前 n 项和，已知 a1＝3，an＋ 1＝2Sn＋3(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)令 bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. [解] (1)当 n≥2 时，由 an＋1＝2Sn＋3 得 an＝2Sn－1＋3， 两式相减，得 an＋1－an＝2Sn－2Sn－1＝2an， ∴an＋1＝3an， ∴an＋1 an ＝3. 当 n＝1 时，a1＝3，a2＝2S1＋3＝2a1＋3＝9，则a2 a1 ＝3. ∴数列{an}是以 a1＝3 为首项，公比为 3 的等比数列． ∴an＝3×3n－1＝3n. (2)法一：由(1)得 bn＝(2n－1)an＝(2n－1)·3n， ∴Tn＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)·3n，① 3Tn＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n－1)·3n＋1，② ①－②得－2Tn ＝1×3＋2×32 ＋2×33 ＋…＋2×3n －(2n－1)·3n ＋ 1 ＝3＋ 2×(32＋33＋…＋3n)－(2n－1)·3n＋1 ＝3＋2×321－3n－1 1－3 －(2n－1)·3n＋1 ＝－6－(2n－2)·3n＋1. ∴Tn＝(n－1)·3n＋1＋3. 法二：由(1)得 bn＝(2n－1)an＝(2n－1)·3n. ∵(2n－1)·3n＝(n－1)·3n＋1－(n－2)·3n， ∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝(0＋3)＋(33＋0)＋(2×34－33)＋…＋[(n－1)·3n＋1－(n－2)·3n] ＝(n－1)·3n＋1＋3.