2018-2019学年吉林省长春外国语学校高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版

2018-2019学年吉林省长春外国语学校高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 吉林省长春外国语学校2018-2019学年高二下学期期中考试数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合,,则=‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由交集运算直接求解即可 ‎【详解】‎ 由题 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查集合运算，准确计算是关键，是基础题 ‎2．计算=‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：根据复数乘法法则求结果.‎ 详解：‎ 选B.‎ 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为 ‎3．下列函数中，在内单调递减的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据指数型函数的单调性判断出在R上递减，求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题，在R上递减，所以在内单调递减，‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的单调性，利用函数的性质是解题的关键，属于基础题.‎ ‎4．命题“”的否定是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可 ‎【详解】‎ 因为全称命题的否定是特称命题，所以 命题“，”的否定是，‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了全称命题的否定是特称命题，属于基础题.‎ ‎5．方程的解所在的区间是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合零点存在定理确定方程的解所在的区间即可.‎ ‎【详解】‎ 方程的解所在的区间即函数的零点所在的区间，‎ 由于：，，‎ ‎，，，‎ 结合函数零点存在定理可得函数零点所在区间为.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数零点存在定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎6．已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则实数 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎=，x=2代入得a的方程求解即可 ‎【详解】‎ ‎=,解a=4‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查切线方程，求导运算，直线平行，是基础题 ‎7．下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图,若输入的分别为14，18，则输出的为 A．0 B．2 C．4 D．14‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a＝b＝2时不满足条件a≠b，输出a的值为2．‎ ‎【详解】‎ 模拟执行程序框图，可得 a＝14，b＝18‎ 满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b＝4‎ 满足条件a≠b，满足条件a＞b，a＝10‎ 满足条件a≠b，满足条件a＞b，a＝6‎ 满足条件a≠b，满足条件a＞b，a＝2‎ 满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b＝2‎ 不满足条件a≠b，输出a的值为2．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了循环结构程序框图，准确计算是关键，属于基础题．‎ ‎8．若直线与圆相交于两点，则线段中点的坐标为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，设AB的中点为M，由垂径定理可得直线OM与直线AB垂直，进而可得直线OM的方程为yx，据此可得M为直线AB与直线OM的交点，则有，解可得x、y的值，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，设AB的中点为M，‎ 圆C：x2+y2＝4的圆心为O，（0，0），‎ 直线与圆C：x2+y2＝4相交于A，B两点，则直线OM与直线AB垂直，‎ 则直线OM的方程为yx，‎ M为直线AB与直线OM的交点，则有，解可得：，则M的坐标为（，）；‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎9．已知数列的前项和为，且，则=‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 整理得：，问题得解。‎ ‎【详解】‎ 因为.‎ 所以 ‎.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了裂项求和方法，考查转化能力及计算能力，属于中档题。‎ ‎10．是抛物线的焦点，以为端点的射线与抛物线相交于点，与抛物线的准线相交于点，若，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，利用抛物线的定义，结合向量条件，求出A的纵坐标，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 由题意，设A的纵坐标为m，则由抛物线的定义，可得，∴m，‎ ‎∴|FA|，|FB|＝6，‎ ‎∴|FA||FB|，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的定义、向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎11．函数的图像大致为 (　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.‎ 详解：为奇函数，舍去A,‎ 舍去D;‎ ‎，‎ 所以舍去C；因此选B.‎ 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． ‎ ‎12．已知为定义在上的奇函数，，且对任意的，当时，，则不等式的解集为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先明确函数的奇偶性与单调性，利用单调性解不等式即可.‎ ‎【详解】‎ ‎∵为定义在上的奇函数，‎ ‎∴也为定义在上的奇函数，‎ ‎∵对任意的时，当时，‎ ‎∴为上的单调增函数，又为上的奇函数，‎ ‎∴在上单调递增，‎ 由可得 即 ‎∴，即 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查函数奇偶性与单调性的性质，考查不等式的解法，是基础题．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知矩形 ABCD，AB= 4 ，BC =3，以 A, B 为焦点，且 过 C, D 两点的双曲线的离心率为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据为焦点，得；又求得，从而得到离心率.‎ ‎【详解】‎ 为焦点 ‎ 在双曲线上，则 又 ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用双曲线的定义求解双曲线的离心率问题，属于基础题.‎ ‎14．已知函数的最小正周期为，若,则=____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求的解析式，再由得平方即可求解 ‎【详解】‎ 由题，故,,得, 则= ‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查函数解析式求法，两角和的正弦及二倍角公式，考查同角三角函数基本关系，熟记公式准确计算是关键，是基础题 ‎15．若x，y满足约束条件则z=x−2y的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由得，记为点；由得，记为点；由得，记为点.分别将A，B，C的坐标代入，得，，，所以的最小值为．‎ ‎【考点】 简单的线性规划 ‎【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：‎ ‎（1）在平面直角坐标系内作出可行域；‎ ‎（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；‎ ‎（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；‎ ‎（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．‎ ‎16．已知定义在上的函数满足:,在上为增函数；若时，成立，则实数的取值范围为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数单调性和对称性得出自变量与对称轴的远近，从而得出的不等式，根据函数最值得出的范围．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，可知函数的图像关于直线对称，因为其在上为增函数，则在上是减函数，并且距离自变量离1越近，则函数值越小，由可得，，化简得，因为，所以，所以该不等式可以化为，即不等式组在 上恒成立，从而有，解得.‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数单调性的应用，根据函数对称性和单调性之间的关系是解决本题的关键．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．的内角对边分别为,已知 ,的面积为2，‎ ‎(1) 求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用同角三角函数基本关系求sinB，再由面积公式得ac=（2）由余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形，结合 a+c的值即可求出b的值 ‎【详解】‎ ‎（1）∵cosB，B为三角形的内角，‎ ‎∴sinB，又S=2得ac=‎ ‎（2）∵a+c＝6，ac=，cosB，‎ ‎∴由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2accosB＝（a+c）2﹣2ac＝4，‎ 得：b=2‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．‎ ‎18．已知是等差数列，是等比数列,且.‎ ‎(1) 求的通项公式；‎ ‎(2) 设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由已知条件求得等比数列的首项和公比，从而得到的首项和公差，从而得到其通项公式；（Ⅱ）首先求得数列的通项公式，结合其特点采用分组求和法求解 试题解析：（Ⅰ）等比数列的公比,‎ 所以，‎ 设等差数列的公差为，因为，,‎ 所以，即，‎ 因此 ‎（II）由（I）知，，．‎ 因此．‎ 从而数列的前项和 ‎ ‎ ‎．‎ 考点：等差数列等比数列通项公式；数列分组求和 ‎19．某校高三的某次数学测试中，对其中100名学生的成绩进行分析，按成绩分组，得到的频率分布表如下：‎ 组号 分组 频数 频率 第1组 ‎[90，100）‎ ‎15‎ ‎①‎ 第2组 ‎[100，110）‎ ‎②‎ ‎0.35‎ 第3组 ‎[110，120）‎ ‎20‎ ‎0.20‎ 第4组 ‎[120，130）‎ ‎20‎ ‎0.20‎ 第5组 ‎[130，140）‎ ‎10‎ ‎0.10‎ 合计 ‎100‎ ‎1.00‎ ‎（1）求出频率分布表中①、②位置相应的数据；‎ ‎（2）为了选拔出最优秀的学生参加即将举行的数学竞赛，学校决定在成绩较高的第3、4、5组中分层抽样取5名学生，则第4、5组每组各抽取多少名学生？‎ ‎【答案】(1) 0.15 ; 35 (2) 2名, 1名 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用频率与频数的关系列方程即可求解。‎ ‎（2）利用分层抽样中的比例关系列方程即可求解。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设频率分布表中①、②位置相应的数据分别为：.‎ 由题可得：‎ 解得： ，‎ ‎（2）设第4、5组每组各抽取个学生，‎ 则：‎ 解得：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了频率与频数的关系，还考查了分层抽样中的比例关系，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎20．在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，圆的方程为，动圆与圆内切且与圆外切.‎ ‎(1)求动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎(2)已知与为平面内的两个定点，过点的直线与轨迹交于,两点，求四边形面积的最大值.‎ ‎【答案】(1) (2)6‎ ‎【解析】试题分析：（1）由椭圆定义得到动圆圆心的轨迹的方程；（2）设的方程为，联立可得，通过根与系数的关系表示弦长进而得到四边形面积的表达式，利用换元法及均值不等式求最值即可.‎ 试题解析：‎ ‎(1)设动圆的半径为，由题意知 从而有，故轨迹为以为焦点，长轴长为4的椭圆，‎ 并去 除点，从而轨迹的方程为.‎ ‎（2）设的方程为，联立，‎ 消去得，设点，‎ 有则，‎ 点到直线的距离为，点到直线的距离为，‎ 从而四边形的面积 令，有，函数在上单调递增，‎ 有，故，即四边形面积的最大值为.‎ ‎21．设函数．‎ ‎（1）若函数在处的切线与垂直，求的值；‎ ‎（2）证明：当时，.‎ ‎【答案】（1）=1（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）得解a即可；（2），不等式证明转化为判断函数单调性得最小值即可证明 ‎【详解】‎ ‎（1），由题，∴a=1‎ ‎（2）.函数的定义域为，令，则 所以当时，，当时，,‎ 所以的最小值为，‎ 当时，，所以，‎ 所以成立．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查切线方程，导数与函数的最值，考查转化化归能力，是中档题 ‎22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)，曲线C2的参数方程为(为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α 与C1，C2 各有一个交点．当 α＝0时，这两个交点间的距离为2，当 α＝时，这两个交点重合．‎ ‎(1) 求曲线C1，C2的直角坐标方程 ‎(2) 设当 α＝时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当 α＝－时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．‎ ‎【答案】（1）C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和＋y2＝1，（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)令α＝0和α＝得a,b 值由参数方程与普通方程的互化求解得C1，C2的普通方程；（2）令α＝，得A1，B1的横坐标，利用对称性得A1，B1关于x轴对称，得四边形A1A2B2B1为等腰梯形，利用面积公式求解即可 ‎【详解】‎ 由题C1 的普通方程为x2＋y2＝1；C2的普通方程为 当α＝0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a＝3.‎ 当α＝时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b＝1.‎ 故C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和＋y2＝1，‎ ‎（2）当α＝时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝，与C2交点B1的横坐标为x′＝.‎ 当α＝－时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形．‎ 故四边形A1A2B2B1的面积为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程的应用，直线与椭圆的交点问题，转化化归能力，是中档题 ‎23．已知函数.‎ ‎(1) 若不等式的解集为,求实数的值；‎ ‎(2) 在（1）的条件下，若对一切实数恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）将原不等式转化为，利用绝对值不等式的解法求得的范围，对比题目所给已知条件，可求得的值.（II）利用零点分段法将函数表示成分段函数的形式，由此求得的最小值，从而求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（I）由，得 ‎ 则，即 故得。‎ ‎（II）由（1）得， ‎ 令 则 所以，若对一切实数恒成立，实数的取值范围是。‎ 解法二 由（1）得， ‎ ‎ =4 ‎ ‎∴，∴, ‎ 所以，若对一切实数恒成立，实数的取值范围是。‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查含有一个绝对值的不等式的解法，考查含有两个绝对值问题的求解策略，即零点分段法.属于中档题.‎