数学文卷·2018届山东省烟台市实验中学高三上学期第三次诊断考试试题（解析版）

数学文卷·2018届山东省烟台市实验中学高三上学期第三次诊断考试试题（解析版）

山东省实验中学2015级高三第三次诊断性考试 数学试题(文科)‎ ‎2017．12‎ 说明：本试卷满分150分。分为第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第I卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第6页．试题答集请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效，考试时间120分钟．‎ 第I卷(共60分)‎ 一、选择题(本大题共12小题。每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)‎ ‎1. 设集合，则集合 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】集合 ，根据集合的交集的概念得到集合 。‎ 故得到答案为：D。‎ ‎2. 设向量，则实数x的值是 A. 0 B. C. 2 D. ±2‎ ‎【答案】D ‎【解析】向量因为，由向量平行的坐标运算得到 ‎ 故答案为：D。‎ ‎3. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本中的中位数、众数、极差分别是 A. 46，45，56 B. 46，45，53‎ C. 47，45，56 D. 45，47，53‎ ‎【答案】A ‎【解析】中位数在45到47之间，众数为45，极差为68-12=56，所以选A ‎ ‎ ‎4. 设是两个不同的平面，直线．则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】充分性：若，则存在过直线的平面与不平行，所以充分性不成立；‎ 必要性：若，则平面内的任意直线都与平行，则必要性成立，‎ 所以是必要不充分条件。故选B。‎ ‎5. 已知满足约束条件的最大值为 A. B. C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据不等式组画出可行域，可得可行域是一个封闭的三角形区域，记和交于点A（1，1），目标函数化为，根据图像可知，当目标函数过点A时，有最大值，代入得到3.‎ 故答案为：C。‎ ‎6. 已知等差数列的前项和为，若，则公差d的值为：‎ A. 1 B. 2 C. 4 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】由等差数列的概念及前n项和公式得到 ‎ 故答案为：C。‎ ‎7. 已知不共线的两个向量 A. B. 2 C. D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】向量，两边平方得到 化简得到联立两式得到。‎ 故答案为：B。‎ ‎8. 中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人应偿还升，b升，c升，1斗为10升；则下列判断正确的是 A. 依次成公比为2的等比数列，且 B. 依次成公比为2的等比数列，且 C. 依次成公比为的等比数列，且 D. 够次成公比为的等比数列，且 ‎【答案】D ‎【解析】由条件知，，依次成公比为的等比数列，三者之和为52升，根据等比数列的前N项和，即 ‎ 故答案为D。‎ ‎9. 如图是函数在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y=sinx的图象 A. 向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变 B. 向左平移至个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 C. 向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变 D. 向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 ‎【答案】A ‎【解析】由图可知A=1，T=π，‎ ‎∴ω=2，‎ 又﹣ω+φ=2kπ（k∈Z），‎ ‎∴φ=2kπ+（k∈Z），又0＜ϕ＜，‎ ‎∴φ=，‎ ‎∴y=sin（2x+）．‎ ‎∴为了得到这个函数的图象，只需将y=sinx（x∈R）的图象上的所有向左平移个长度单位，得到y=sin（x+）的图象，再将y=sin（x+）的图象上各点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变）即可．‎ 故答案为A。‎ ‎10. 函数的图象可能是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由题意得，可排除B,D,当时，，故排除C所以答案为A 考点：函数的图像 ‎11. 三棱锥面ABC，，则该三棱锥外接球的表面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ PA⊥平面ABC，AC⊥BC，‎ ‎∴BC⊥平面PAC，PB是三棱锥P﹣ABC的外接球直径；‎ ‎∵Rt△PBA中，AB=，PA=，‎ ‎∴PB=，可得外接球半径R=PB=，‎ ‎∴外接球的表面积S=4πR2=5π 故选A．‎ 点睛：这个题目考查的是几何体的外接球问题；对于结合体的外接球问题主要是求球的体积或者表面积，首先要找到球的球心，常用方法有提圆心；直角三角形共斜边，则球心一定在公共的斜边的中点上；侧棱相等的棱锥的外接球的球心一定在高线上等。‎ ‎12. 已知定义在R的函数是偶函数，且满足上的解析式为，过点作斜率为k的直线l，若直线l与函数的图象至少有4个公共点，则实数k的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意知道函数是偶函数，且满足，故函数还是周期为4的函数，根据表达式画出图像是定义在R上的周期性的图像，一部分是开口向下的二次函数，一部分是一次函数，当k>0时，根据题意知两图像有两个交点，当直线和图像,,相切时是一种临界，要想至少有4个交点，斜率要变小；故设切点为 ‎ 当k<0时，临界是过点（-6，1）时，此时,要想至少有4个交点需要逆时针继续旋转，斜率边大，直到和x轴平行。故两种情况并到一起得到：实数k的取值范围是。‎ 故答案为：C。‎ 点睛：这个题目考查了已知函数的零点个数求参数的范围的问题；一般常用的方法是，转化为函数图像和轴的交点问题，或者转化为两个函数图像的交点问题，还可以转化为方程的根问题。‎ ‎ 第II卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.)‎ ‎13. 若点在函数的图象上，则=__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】点在函数的图象上，故将点代入得到 ‎ 代入正切值得到：。‎ 故答案为：。‎ ‎14. 一简单组合体的三视图如图，则该组合体的体积为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由三视图知：几何体是长方体中挖去一个半径为1的圆柱，且圆柱与长方体的高都是1，‎ 长方体的长为2+1+1=4，宽为0.5+2+0.5=3，‎ ‎∴几何体的体积V=V长方体﹣V圆柱=4×3×1﹣π×12×1=12﹣π．‎ ‎15. 已知函数，且，则的最小值为_____________.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ 画出了函数图像，，故得到a和b是关于轴对称的，； ‎ 等号成立的条件为： ‎ 故答案为：9.‎ ‎16. 己知数列，数列的前n项和记为，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ 故答案为：。‎ 点睛：这个题目考查了数列通项公式的求法，数列前n项和的求法；求通项一般会用到观察归纳的方法，构造新数列的方法；求和会用到裂项相消求和，倒序相加求和，错位相减求和等方法。‎ 三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.)‎ ‎17. 已知函数．‎ ‎(I)求函数的最小正周期和单调递减区间；‎ ‎(II)在中，A，B，C的对边分别为a,b,c,，求的值．‎ ‎【答案】(1) 函数的单减区间为;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)整理函数的解析式为 ，结合三角函数的性质可得 ，单调减区间为 ‎ ‎(2)由题意结合余弦定理得到关于边长的方程组，求解方程组可得.‎ 试题解析：‎ ‎ ‎ ‎(1)周期为 ‎ 因为 ‎ 所以 所以函数的单调减区间为 ‎ ‎ （2）因为，所以 ‎ 所以，(1) ‎ 又因为，所以 (2) ‎ 由（1），（2）可得 ‎18. 已知数列的前项和为.‎ ‎(I)求证：数列为等差数列；‎ ‎(II)令，求数列的前n项和．‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）将式子变形得到，得到数列是首项为5，公差为1的等差数列，根据等差数列概念证明即可。（2）由第一问可得，进而得到，接下来错位相减求和即可。‎ 解析：‎ ‎⑴由得，又因为，，所以数列是首项为5，公差为1的等差数列。‎ ‎⑵由⑴可知，‎ 当时， ‎ 又也符合上式，所以 ‎ 所以，故得到 ‎ ‎ ‎ 故。 ‎ ‎19. 某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东西两部各5个城市，得到观看该节目的人数(单位：千人)如下茎叶图所示，其中一个数字被污损．‎ ‎(I)求东部观众平均人数超过西部观众平均人数的概率.‎ ‎(II)节目的播出极大激发了观众随机统计了4位观众的周均学习成语知识的的时间y (单位：小时)与年龄x(单位：岁)，并制作了对照表(如下表所示)：‎ 由表中数据分析，x，y呈线性相关关系，试求线性回归方程，并预测年龄为60岁观众周均学习成语知识的时间．‎ 参考数据：线性回归方程中的最小二乘估计分别是．‎ ‎【答案】（1）概率为；（2），预测60岁观众的学习成语的时间为5.25小时.‎ ‎【解析】】‎ 试题分析：（1）求出基本事件的个数，总的事件个数，让满足条件的事件个数除以总的事件个数，即可求出概率；（2）求出回归系数，代入样本中心，可得回归方程，将x=60代入方程，即可预测年龄为60岁观众周均学习成语知识时间．‎ 解析：‎ ‎（1）设被污损的数字为a，则a有10种情况．‎ 令88+89+90+91+92＞83+83+97+90+a+99，则a＜8， ‎ ‎ 东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数，有8种情况，其概率为； ‎ ‎（2）由题意可知 =35， =3.5， ‎ 所以 ‎ 所以． ‎ 当时， =5.25小时． ‎ 预测60岁观众的学习成语的时间为5.25小时。‎ ‎20. 正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，，点M是EC中点. ‎ ‎（I）求证：BM∥平面ADEF；‎ ‎（II）求三棱锥M－BDE的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）证明线面平行，构造平行四边形ABMN先得到线线平行，再得到线面平行。（2）原棱锥的体积不好求转而去求等体积的VB﹣DEM，‎ 解析:‎ ‎（Ⅰ）证明：取ED的中点N，连接MN．‎ 又∵点M是EC中点．‎ ‎∴MN∥DC，MN=．‎ 而AB∥DC，AB=DC．‎ ‎∴ ‎ ‎∴四边形ABMN是平行四边形．‎ ‎∴BM∥AN．‎ 而BM⊄平面ADEF，AN⊂平面ADEF，‎ ‎∴BM∥平面ADEF．‎ ‎（Ⅱ）解：∵M为EC的中点，‎ ‎∴ ‎ ‎∵AD⊥CD，AD⊥DE，且DE与CD相交于D ‎∴AD⊥平面CDE．‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴三棱锥B﹣DME的高=AD=2，‎ ‎∴VM﹣BDE=VB﹣DEM ，‎ 点睛：这个题目考查了线面平行的证明和判定性质，棱锥体积的求法；对于线面平行的证法，一般是转化为线线平行；常见方法有：构造三角形中位线，构造平行四边形等方法证明线线平行，从而得到线面平行。求棱锥体积时当原椎体的底面积或者高不好求时，可以考虑等体积转化，求点面距时，也经常考虑等体积转化。‎ ‎21. 已知函数 ‎(I)若函数处取得极值，求实数的值；并求此时上的最大值；‎ ‎(Ⅱ)若函数不存在零点，求实数a的取值范围；‎ ‎【答案】（1）最大值为；（2）实数的取值范围是。‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据函数的极值的概念得到，，根据函数的单调性得到函数的最值。（2）研究函数的单调性，找函数和轴的交点，使得函数和轴没有交点即可；分和，两种情况进行讨论。‎ 解析：‎ ‎（1）函数的定义域为R，， ‎ ‎，. ‎ 在上单调递减，在上单调递增，所以时取极小值.‎ 所以所求实数的值为1. ‎ 易知在上单调递增，在上单调递减；‎ 且 . ‎ 当时，在的最大值为 ‎（2），由于.‎ ‎①当时，是增函数， ‎ 且当时，. ‎ 当时，，，取，‎ 则，所以函数存在零点. ‎ ‎②当时，. ‎ 在上单调递减，在上单调递增，所以时取最小值. ‎ 函数不存在零点，等价于，‎ 解得.‎ 综上所述：所求的实数的取值范围是.‎ 点睛：这个题目考查的是另用导数研究函数的极值和最值问题，函数的零点问题；对于函数有解求参的问题，常用的方法是，转化为函数图像和轴的交点问题，或者转化为两个函数图像的交点问题，还可以转化为方程的根的问题。‎ ‎22. 在极坐标系中，点M的坐标为，曲线C的方程为；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为的直线l经过点M．‎ ‎(I)求直线l和曲线C的直角坐标方程：‎ ‎(II)若P为曲线C上任意一点，直线l和曲线C相交于A，B两点，求△PAB面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）直线方程为y=﹣x+3，曲线C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；（2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据极坐标和直角坐标的互化公式得到直线方程为y=﹣x+3，曲线C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；（2）由图像的到圆上的点到直线L的距离最大值为，再计算弦长即三角形的底边长，进而得到面积。‎ 解析：‎ ‎（1）∵在极坐标系中，点M的坐标为，‎ ‎∴x=3cos=0，y=3sin=3，‎ ‎∴点M的直角坐标为（0，3），‎ ‎∴直线方程为y=﹣x+3， ‎ 由，得ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣2y=0，‎ 即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 ‎ ‎（2）圆心（1，1）到直线y=﹣x+3的距离，‎ ‎∴圆上的点到直线L的距离最大值为，‎ 而弦 ‎ ‎∴△PAB面积的最大值为。 ‎ ‎23. 已知函数 ‎(I)当时，求的解集；‎ ‎(II)若不等式的解集包含，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）。‎ ‎【解析】试题分析：（1）当时，不等式即，利用绝对值的意义求得它的解集；（2）不等式即，分类讨论得到解集，再根据解集中包含，从而得到的取值范围.‎ 试题解析：（1）时，原不等式可化为, 当时，原不等式化为,即，此时，不等式的解集为.当时，原不等式化为 ‎,即 ‎，此时，不等式的解集为.当时，原不等式化为,即，此时，不等式的的解集为.综上,原不等式的解集为.‎ ‎（2）不等式的解集包含,等价于,对恒成立，即 对恒成立，所以，即对恒成立，故的取值范围为.‎ 考点：绝对值不等式的解法.‎ ‎ ‎ ‎ ‎