- 2021-07-01 发布 |
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文档介绍
2019年高考数学练习题汇总高考解答题分项练(六)
(六)函数与导数(B) 1.(2018·江苏省兴化一中模拟)已知函数f(x)=xex-ax,a∈R. (1)当a=0时,求f(x)的最小值; (2)若x≥0时,f(x)≥ax2恒成立,求实数a的取值范围; (3)若函数f(x)存在极小值,求实数a的取值范围. 解 (1)当a=0时,f(x)=xex,f′(x)=(x+1)ex, 当x<-1时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当x>-1时,f′(x)>0,f(x)单调递增, 所以当x=-1时,f(x)取最小值为f(-1)=-. (2)当x≥0时, f(x)≥ax2⇔xex-ax≥ax2⇔ex-a≥ax⇔a≤, 令h(x)=(x≥0), 则h′(x)=≥0, 所以h(x)在[0,+∞)上单调递增, 所以h(x)min=h(0)=1,所以a≤1. (3)设g(x)=f′(x)=(x+1)ex-a, 则g′(x)=(x+2)ex, 令g′(x)=0,得x=-2, 所以g(x)在(-∞,-2)上单调递减, 在(-2,+∞)上单调递增, 所以g(x)≥g(-2)=--a, 当a≤-时,g(x)≥--a≥0,即f′(x)≥0, 所以f(x)在R上单调递增,无极值; 当a>-时, 因为g(-2)=--a<0, g(a)=(a+1)ea-a≥(a+1)2-a=2+>0(易证ea≥a+1), 所以g(-2)g(a)<0, 所以g(x)在(-2,a)上有一个零点,记为x1, 则当x∈(-2,x1)时,f′(x)=g(x)<0, 则f(x)单调递减; 当x∈(x1,a)时,f′(x)=g(x)>0,则f(x)单调递增, 所以f(x)在x=x1处取得极小值. 综上,若函数f(x)存在极小值,则实数a的取值范围为. 2.设函数f(x)=2(a+1)(a∈R),g(x)=ln x+bx(b∈R),直线y=x+1是曲线y=f(x)的一条切线. (1)求a的值; (2)若函数y=f(x)-g(x)有两个极值点x1,x2. ①试求b的取值范围; ②证明:≤+. (1)解 设直线y=x+1与函数y=f(x)的图象相切于点(x0,y0), 则y0=x0+1,y0=2(a+1),=1,解得a=0. (2)①解 记h(x)=f(x)-g(x),则h(x)=2-ln x-bx. 函数y=f(x)-g(x)有两个极值点的必要条件是h′(x)有两个正零点. h′(x)=--b=, 令h′(x)=0,得bx-+1=0(x>0). 令=t,则t>0. 问题转化为bt2-t+1=0有两个不等的正实根t1,t2, 等价于解得00; 当x∈(x2,+∞)时,h′(x)<0. 所以x1,x2是h(x)=f(x)-g(x)的极值点, 所以b的取值范围是. ②证明 由①知=+=. 可得g(x1)+g(x2)=-2ln b+-2,f(x1)+f(x2)=, 所以=-bln b-b. 记k(b)=-bln b-b, 则k′(b)=-ln b-2, 令k′(b)=0,得b=∈, 所以当b∈时,k′(b)>0,k(b)单调递增; 当b∈时,k′(b)<0,k(b)单调递减, 所以当b=时,k(b)取最大值+, 所以≤+. 3.设函数f(x)=2ax++cln x. (1)当b=0,c=1时,讨论函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在x=1处的切线为y=3x+3a-6且函数f(x)有两个极值点x1,x2,x1查看更多