【数学】2020届一轮复习（理）通用版2-3二次函数与幂函数

【数学】2020届一轮复习（理）通用版2-3二次函数与幂函数

‎2.3　二次函数与幂函数 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 ‎1.二次 函数 了解二次函数,理解二次函数图象,能结合图象分析二次函数对称轴与顶点坐标的关系 ‎2017浙江,5,4分 二次函数的最值 分段函数 ‎★★★‎ ‎2015四川,9,5分 二次函数的单调性 基本不等式 ‎2015陕西,12,5分 二次函数的图象与性质 函数极值 ‎2.幂函数 了解幂函数的概念;结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=‎1‎x,y=x‎1‎‎2‎的图象,了解它们的变化情况 ‎2018上海,7,5分 幂函数的性质 函数的单调性及奇偶性 ‎★☆☆‎ ‎2014浙江,7,5分 幂函数的图象 对数函数图象 分析解读　　1.会求二次函数在给定区间上的最值.2.掌握“三个二次”,即二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系,解决含参数不等式恒成立问题及一元二次方程根的分布问题.3.理解幂函数的图象与性质,会识图与作图.4.以二次函数、幂函数为载体,考查函数性质及应用是高考热点.5.高考对本节主要考查二次函数的单调区间、最值以及有关参数的范围等问题,对幂函数的考查是以幂函数的图象为载体,研究幂函数的性质,分值约为5分,属中低档题.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点一　二次函数　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ ‎1.(2017河北武邑第三次调研,9)已知定义在R上的奇函数f(x)满足:当x≥0时, f(x)=x3,若不等式f(-4t)>f(2m+mt2)对任意实数t恒成立,则实数m的取值范围是(　　)‎ A.(-∞,-‎2‎) B.(-‎2‎,0)‎ C.(-∞,0)∪(‎2‎,+∞) D.(-∞,-‎2‎)∪(‎2‎,+∞)‎ 答案　A　‎ ‎2.(2018北京东城二十七中期中,13)已知函数f(x)=ax2+bx+1(a、b为实数,a≠0,x∈R),若f(-1)=0,且函数f(x)的值域为[0,+∞),则f(x)的表达式为　　　　,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,则实数k的取值范围是　　　　. ‎ 答案　f(x)=x2+2x+1;(-∞,-2]∪[6,+∞)‎ 考点二　幂函数 ‎1.(2018福建模拟,3)已知a=0.40.3,b=0.30.4,c=0.3-0.2,则(　　)‎ A.b0,‎解得a≥-‎5‎‎4‎,‎a>-2,‎a>1或a<-1,‎ 即a>1或-‎5‎‎4‎≤a<-1.‎ ‎∴实数a的取值范围是‎-‎5‎‎4‎,-1‎∪(1,+∞).‎ ‎(2)∵方程x2+2(a+2)x+a2-1=0有一个正根和一个负根,‎ ‎∴f(0)=a2-1<0,解得-10),g(x)=logax的图象可能是(　　)‎ 答案　D　‎ ‎2.(2018上海,7,5分)已知α∈‎-2,-1,-‎1‎‎2‎,‎1‎‎2‎,1,2,3‎.若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α=　　　　. ‎ 答案　-1‎ 教师专用题组 考点一　二次函数 ‎1.(2015陕西,12,5分)对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零整数‎··‎),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.-1是f(x)的零点 B.1是f(x)的极值点 C.3是f(x)的极值 D.点(2,8)在曲线y=f(x)上 答案　A　‎ ‎2.(2014大纲全国,16,5分)若函数f(x)=cos 2x+asin x在区间π‎6‎‎,‎π‎2‎是减函数,则a的取值范围是　　　　. ‎ 答案　(-∞,2]‎ ‎3.(2014辽宁,16,5分)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,‎‎3‎a ‎-‎4‎b+‎5‎c的最小值为　　　　. ‎ 答案　-2‎ ‎4.(2015浙江,18,15分)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),记M(a,b)是|f(x)|在区间[-1,1]上的最大值.‎ ‎(1)证明:当|a|≥2时,M(a,b)≥2;‎ ‎(2)当a,b满足M(a,b)≤2时,求|a|+|b|的最大值.‎ 解析　(1)证明:由f(x)=x+‎a‎2‎‎2‎+b-a‎2‎‎4‎,得对称轴为直线x=-a‎2‎.‎ 由|a|≥2,得‎-‎a‎2‎≥1,故f(x)在[-1,1]上单调,‎ 所以M(a,b)=max{|f(1)|,|f(-1)|}.‎ 当a≥2时,由f(1)-f(-1)=2a≥4,‎ 得max{f(1),-f(-1)}≥2,‎ 即M(a,b)≥2.‎ 当a≤-2时,由f(-1)-f(1)=-2a≥4,‎ 得max{f(-1),-f(1)}≥2,即M(a,b)≥2.‎ 综上,当|a|≥2时,M(a,b)≥2.‎ ‎(2)由M(a,b)≤2得|1+a+b|=|f(1)|≤2,|1-a+b|=|f(-1)|≤2,‎ 故|a+b|≤3,|a-b|≤3,‎ 由|a|+|b|=‎|a+b|,ab≥0,‎‎|a-b|,ab<0,‎得|a|+|b|≤3.‎ 当a=2,b=-1时,|a|+|b|=3, |f(x)|=|x2+2x-1|,此时易知|f(x)|在[-1,1]上的最大值为2,即M(2,-1)=2.‎ 所以|a|+|b|的最大值为3.‎ 考点二　幂函数 ‎　(2014上海,9,4分)若f(x)=x‎2‎‎3‎-x‎-‎‎1‎‎2‎,则满足f(x)<0的x的取值范围是　　　　. ‎ 答案　(0,1)‎ ‎【三年模拟】‎ 一、选择题(每小题5分,共45分)‎ ‎1.(2019届辽宁部分重点高中联考,8)函数y=1-|x-x2|的图象大致是(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ 答案　C　‎ ‎2.(2019届吉林长春外国语学校期中考试,5)函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是(　　)‎ A.(-∞,2] B.[0,2] C.[1,2] D.[1,+∞)‎ 答案　C　‎ ‎3.(2019届吉林长春实验中学期中考试,5)函数f(x)=(m2-m-1)xm‎2‎‎+2m-5‎是幂函数,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足f(x‎1‎)-f(x‎2‎)‎x‎1‎‎-‎x‎2‎>0,若a,b∈R,且a+b>0,则f(a)+f(b)的值(　　)‎ A.恒大于0 B.恒小于0‎ C.等于0 D.无法判断 答案　A　‎ ‎4.(2018河北衡水金卷信息卷(二),8)已知函数f(x)=-10sin2x-10sin x-‎1‎‎2‎,x∈‎-π‎2‎,m的值域为‎-‎1‎‎2‎,2‎,则实数m的取值范围是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.‎-π‎3‎,0‎ B.‎-π‎6‎,0‎ C.‎-π‎3‎,‎π‎6‎ D.‎‎-π‎6‎,‎π‎3‎ 答案　B　‎ ‎5.(2018湖北武汉模拟,10)幂函数y=xα,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图),设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xa,y=xb的图象三等分,即有BM=MN=NA,那么a-‎1‎b=(　　)‎ A.0 B.1 C.‎1‎‎2‎ D.2‎ 答案　A　‎ ‎6.(2018山东德州期中,8)已知f(x)=ax2+(b-a)x+c-b(其中a>b>c且a≠0),若a+b+c=0,x1、x2为f(x)的两个零点,则|x1-x2|的取值范围为(　　)‎ A.‎3‎‎2‎‎,2‎‎3‎ B.(2,2‎3‎)‎ C.(1,2) D.(1,2‎3‎)‎ 答案　A　‎ ‎7.(2017安徽滁州期末,10)已知函数f(x)=x2+(2a-1)x+1,若对区间(2,+∞)内的任意两个不等实数x1,x2都有f(x‎1‎-1)-f(x‎2‎-1)‎x‎1‎‎-‎x‎2‎>0,则实数a的取值范围是(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.‎-∞,-‎‎1‎‎2‎ B.‎-‎5‎‎2‎,+∞‎ ‎ C.‎-‎1‎‎2‎,+∞‎ D.‎‎-∞,-‎‎5‎‎2‎ 答案　C　‎ ‎8.(2019届安徽定远重点中学第一次月考,12)已知函数f(x)=(m2-m-1)x‎4m‎9‎-m‎5‎-1‎是幂函数,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,若a,b∈R,且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值(　　)‎ A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于 D.无法判断 答案　A　‎ ‎9.(2018河南开封模拟,12)已知不等式xy≤ax2+2y2对x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,则实数a的取值范围是(　　)‎ A.[-1,+∞ ) B.(-∞,1] C.(0,2] D.[-1,2]‎ 答案　A　‎ 二、填空题(每小题5分,共10分)‎ ‎10.(2019届湖南邵阳10月大联考,15)若对任意的x∈[a,a+2],均有(3x+a)3≤8x3,则a 的取值范围是　　　　. ‎ 答案　(-∞,-1]‎ ‎11.(2017河北衡水中学第三次调研,16)已知函数f(x)=‎|lg(-x)|,x<0,‎x‎2‎‎-6x+4,x≥0,‎若关于x的方程f2(x)-bf(x)+1=0有8个不同的实数根,则实数b的取值范围是　　　　. ‎ 答案　22x-9在[-1,1]上恒成立,‎ 即x2-(m+1)x+m+2>0在[-1,1]上恒成立,‎ 设f(x)=x2-(m+1)x+m+2,x∈[-1,1],则f(x)min>0,‎ 当m+1‎‎2‎≤-1,即m≤-3时, f(x)min=f(-1)=2m+4>0,‎ 解得m>-2,无解;‎ 当-10,此时1-2‎2‎0,此时m≥1.‎ 综上,实数m的取值范围是m>1-2‎2‎.‎ 思路分析　(1)求出函数图象的对称轴,根据二次函数的单调性求出m的范围即可;‎ ‎(2)问题转化为x2-(m+1)x+m+2>0对任意x∈[-1,1]恒成立,设f(x)=x2-(m+1)x+m+2,求出函数的对称轴方程,通过讨论对称轴的范围,求出m的范围即可.‎