2018-2019学年湖南省岳阳县第一中学、汨罗市一中高一上学期期中考试数学试题

2018-2019学年湖南省岳阳县第一中学、汨罗市一中高一上学期期中考试数学试题

‎ ‎ ‎2018-2019学年湖南省岳阳县第一中学、汨罗市一中高一上学期期中考试数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）‎ ‎1．已知全集，集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．函数的定义域为（ ）‎ A．R B． C． D．‎ ‎3．已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知幂函数在单调递增，则实数m的值为（ ）‎ A．﹣1 B．3 C．﹣1或3 D．1或﹣3‎ ‎5．在空间四边形ABCD中，AC=BD，顺次连接它的各边中点E、F、G、H，所得四边形EFGH的形状是（ ）‎ A．梯形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 ‎6．已知函数在上为增函数，则实数m的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．方程的解的个数是（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎8．函数的单调递增区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．有一长方体木块，其顶点为ABCD﹣A1B1C1D1，AB=3，BC=2，AA1=1，一小虫从长方体木块的一顶点A绕其表面爬行到另一顶点C1，则小虫爬行的最短距离为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数是偶函数，且在上是增函数，若，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．函数的图象大致为（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A． B． C． D ‎12．已知是定义在上的奇函数，且，当，且时，成立，若对任意的恒成立，则实数m的取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在横线上）‎ ‎13．函数的图象恒过定点P，则点P坐标为 。‎ ‎14．已知函数，则的值是 。‎ ‎15．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则 。‎ ‎16．定义区间的长度均为，其中，已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值与最小值的差为 。‎ 三、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）计算下列各式的值：‎ ‎（1）‎ ‎（2）已知，求和的值．‎ ‎18．（12分）已知函数，．‎ ‎（1）判断并证明函数的奇偶性；‎ ‎（2）求满足的实数的取值范围．‎ ‎19．（12分）如图，圆柱的底面半径为r，球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．‎ ‎（1）计算圆柱的表面积；‎ ‎（2）计算图中圆锥、球、圆柱的体积比．‎ ‎20．（12分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，S，E，G分别是B1D1，BC，SC的中点．‎ ‎（1）求证：直线EG∥平面BDD1B1．‎ ‎（2）求直线EG与DD1所成角的正切值．‎ ‎ ‎ ‎21．（12分）我国加入WTO时，根据达成的协议，某产品的市场供应量P与市场价格的关系近似满足（其中t为关税的税率，且，为市场价格，b、k为正常数）．当t=时的市场供应量曲线如图所示．‎ ‎（1）根据图象求b、k的值；‎ ‎（2）当关税的税率t=时，求市场供应量P不低于1024时，市场价格至少为多少？‎ ‎21．（12分）已知二次函数满足，且的最小值是．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若关于的方程在区间上有唯一实数根，求实数m的取值范围；‎ ‎（3）函数，对任意都有恒成立，求实数t的取值范围．‎ 湖南岳阳一中、汨罗市一中2018年秋高一期中考试 数学试卷（答案） ‎ 一、选择题：（12×5分=60分，每小题只有唯一正确的答案）‎ 题次 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D C B D A C C B C A B 二、填空题：（4×5分=20分）‎ ‎13． 14．5 15． 16．1 ‎ 三、解答题：‎ ‎17.解：（1）‎ ‎………………………………………… （5分）‎ （2） ‎，又 ‎ ………………………………………… （10分）‎ ‎18.解：（1）根据题意，f（x）=loga（2+x）﹣loga（2﹣x），‎ 则有，解可得﹣2＜x＜2，‎ 则函数的定义域为（﹣2，2），‎ 又由f（﹣x）=loga（2﹣x）﹣loga（2+x）=﹣f（x），‎ 则f（x）是奇函数； ………………………………………… （6分）‎ ‎（2）由f（x）＞0得loga（2+x）＞loga（2﹣x）‎ ‎①当a＞1时，，解得0＜x＜2；‎ ‎②当0＜a＜1时，，解得﹣2＜x＜0； ‎ 当a＞1时x的取值范围是（0，2）；‎ 当0＜a＜1时x的取值范围是（﹣2，0）．………………………………………… （12分）‎ ‎19.解：（1）已知圆柱的底面半径为r，则圆柱和圆锥的高为h=2r，圆锥的底面半径和球的半径为r，‎ 则圆柱的表面积为；…………………… （5分）‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎，，‎ ‎∴圆锥、球、圆柱的体积比为：：2πr3=1：2：3．…………（12分）‎ ‎20.证明：（1）如图，连接SB ∵E、G分别是BC、SC的中点，‎ ‎∴EG∥SB，又SB⊂平面BDD1B1，‎ EG不在平面BDD1B1，‎ ‎∴直线EG∥平面BDD1B1．………………………… （6分）‎ ‎（2）取BD的中点O，连接SO，则SO//DD1，‎ 由（1）知EG∥SB，则为直线EG与DD1所成角，‎ 设AB=a，则SO=a，BD，‎ 所以，，直线EG与DD1所成角的正切值为…………… （12分）‎ 20. 解：（1）由图可知，解得，解得k=6，b=5，‎ ‎………………………………………… （5分）[来源:Zxxk.Com]‎ ‎（2）由（1）可得P（x）=2，‎ 设m=（1﹣6t）（x﹣5）2，‎ 当t=时，m=（x﹣5）2，‎ ‎∵市场供应量P不低于1024时，‎ ‎∴2m≥1024，解得m≥10，‎ ‎∴（x﹣5）2≥10，解得x≥10‎ 故市场供应量P不低于1024时，市场价格至少为1024．…………………… （12分）‎ ‎21.解：（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），‎ 则由f（0）=1得c=1，‎ 又f（1）=a+b+c=1，所以a=﹣b 易知对称轴为，所以 解得a=1，b=﹣1，c=1，‎ 所以f（x）=x2﹣x+1；…………… （3分）‎ ‎（2）由方程f（x）=x+m得m=x2﹣2x+1，‎ 即直线y=m与函数y=x2﹣2x+1，x∈（﹣1，2）的图象有且只有一个交点，‎ 作出函数y=x2﹣2x+1在x∈（﹣1，2）的图象．‎ 易得当m=0或m∈[1，4）时函数图象与直线y=m只有一个交点，‎ 所以m的取值范围是{0}∪[1，4）；………………………… （7分）‎ ‎（3）由题意知g（x）=x2﹣2tx+1‎ 假设存在实数t满足条件，对任意x1，x2∈[4，5]都有|g（x1）﹣g（x2）|＜4成立， ‎ 即[|g（x1）﹣g（x2）|]max＜4，故有[g（x）]max﹣[g（x）]min＜4，‎ 由g（x）=（x﹣t）2﹣t2+1，x∈[4，5]‎ ‎①当t≤4时，g（x）在[4，5]上为增函数 ‎[g（x）]max﹣[g（x）]min=g（5）﹣g（4）＜4，，所以；‎ ‎②当时，[g（x）]max﹣[g（x）]min=g（5）﹣g（t）＜425﹣10t+1﹣t2+2t2﹣1＜4‎ ‎．即t2﹣10t+21＜0‎ 解得3＜t＜7，所以．‎ ‎③当时，[g（x）]max﹣[g（x）]min=g（4）﹣g（t）＜4‎ 即t2﹣8t+12＜0解得2＜t＜6．所以．‎ ‎④当t＞5时，[g（x）]max﹣[g（x）]min=g（5）﹣g（4）＜4‎ 即，所以 综上所述，‎ 所以当时，使得对任意x1，x2∈[4，5]都有|g（x1）﹣g（x2）|＜4成立．………………………… （12分）‎