2019-2020学年河北省邯郸市曲周县第一中学高二10月月考数学试题（解析版）

2019-2020学年河北省邯郸市曲周县第一中学高二10月月考数学试题（解析版）

2019-2020 学年河北省邯郸市曲周县第一中学高二 10 月月考 数学试题 一、单选题 1．“ ”是“ ”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】设A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜ ,或 x＞0}，判断集合 A，B 的包含关系，根据“谁 小谁充分，谁大谁必要”的原则，即可得到答案． 【详解】 设 A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＜ ,或 x＞0}， ∵A B， 故“x＞0”是“ ”成立的充分不必要条件． 故选：A． 【点睛】 本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件判断，其中熟练掌握集合法判断充 要条件的原则“谁小谁充分，谁大谁必要”，是解答本题的关键． 2．命题“ ，都有 ”的否定是（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，都有 D. ，都有 【答案】B 【解析】全称命题的否定为特称命题，据此可得： 命题“ ，都有 ”的否定是 ，使得 . 本题选择 B 选项. 3．在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别（）. x 0＞ 2 0x x+ > 1− 1− ≠ ⊂ 2 0x x+ > 0x∀ > 2 0x x− ≤ 0x∃ > 2 0x x− ≤ 0x∃ > 2 0x x− > 0x∀ > 2 0x x− > 0x∀ ≤ 2 0x x− > 0x∀ > 2 0x x− ≤ 0x∃ > 2 0x x− > A.23 与 26 B.31 与 26 C.24 与 30 D.26 与 30 【答案】B 【解析】根据茎叶图的数据，结合众数与中位数的概念，即可求解，得到答案. 【详解】 根据茎叶图中的数据，可得众数是数据中出现次数最多的数据，即众数为 ， 又由中位数的定义，可得数据的中位数为 ， 故选 B. 【点睛】 本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答中正确读取茎叶图的数据，以及熟记众数、中 位数的概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4．已知椭圆 的一个焦点是圆 的圆心，且 短轴长为 8，则椭圆的左顶点为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵圆 ，化为一般式可得 ，故其圆心为 ， ∴椭圆 的一个焦点为 ，得 ，又∵短轴长为 ， 得 ，∴ ，可得椭圆的左顶点为 ，故选 D. 5．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150，120，180，150 个销售点．公司为了 调查产品销售情况，需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本．记这项调查为 ①；在丙地区有 20 个大型销售点，要从中抽取 7 个调查其销售收入和售后服务等情况， 记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是(　　) A.分层抽样法，系统抽样法 B.分层抽样法，简单随机抽样法 C.系统抽样法，分层抽样法 D.简单随机抽样法，分层抽样法 【答案】B 【解析】此题为抽样方法的选取问题．当总体中个体较少时宜采用简单随机抽样法；当 31 26 2 2 2 2 1 ( 0)x y a ba b + = > > 2 2 6 8 0x y x+ − + = ( 2,0)− ( 3,0)− ( 4,0)− ( 5,0)− 2 2 6 8 0x y x+ − + = ( )2 23 1x y− + = 3 0（ ，） 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > ( )3 0F ， 3c = 2 8b = 4b = 2 2 5a b c= + = ( )5,0− 总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较多时，宜采用系统抽样． 【详解】 依据题意，第①项调查中，总体中的个体差异较大，应采用分层抽样法；第②项调查 总体中个体较少，应采用简单随机抽样法． 故选：B． 【点睛】 本题考查随机抽样知识，属基本题型、基本概念的考查． 6．采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编号 1，2， ，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 29，则抽到的 32 人 中，编号落入区间 的人数为 A．7 B．9 C．10 D．12 【答案】C 【解析】根据系统抽样的定义，可知抽到的号码数可组成一个以 为通项公 式的等差数列，令 ，解不等式可得结果。 【详解】 每组人数= 人，即抽到号码数的间隔为 30，因为第一组抽到的号码为 29， 根据系统抽样的定义，抽到的号码数可组成一个等差数列，且 ，令 ，得 ，可 得 n 的取值可以从 7 取到 16，共 10 个，故选 C。 【点睛】 本题主要考查系统抽样的定义及应用，转化为等差数列是解决本题的关键。 7．椭圆以 轴和 轴为对称轴，经过点(2，0)，长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的方 程为（ ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】C 【解析】由于椭圆长轴长是短轴长的2 倍，即 ，又椭圆经过点(2，0)，分类讨论， 即可求解. 【详解】 … [ ]200,480 30 1= −na n *200 30 1 480,≤ − ≤ ∈n n N 960 32 30÷ = *29 30( 1) 30 1,= + − = − ∈n n n n Na 200 30 1 480≤ − ≤n 201 481 30 30 ≤ ≤n x y 2 2 14 x y+ = 2 2 116 4 y x+ = 2 2 14 x y+ = 2 2 116 4 y x+ = 2 2 14 x y+ = 2 2 14 y x+ = 2a b= 由于椭圆长轴长是短轴长的 2 倍，即 ，又椭圆经过点(2，0)， 则若焦点在 x 轴上，则 ， ，椭圆方程为 ； 若焦点在 y 轴上，则 ， ，椭圆方程为 ， 故选 C． 【点睛】 本题主要考查了椭圆的方程的求解，其中解答中熟记椭圆的标准方程的形式，合理分类 讨论是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 8．下列命题正确的是 （1）命题“ ， ”的否定是“ ， ”； （2）l 为直线， ， 为两个不同的平面，若 ， ，则 ； （3）给定命题 p，q，若“ 为真命题”，则 是假命题； （4）“ ”是“ ”的充分不必要条件． A．（1）（4） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（3） 【答案】D 【解析】逐个命题进行判定，对于（1）结合全称命题的否定方法可以判定；对于（2） 要考虑全面直线与平面的位置关系；对于（3）根据复合命题的真假进行判断；对于 （4）利用 可以判定. 【详解】 对于（1）“ ， ”的否定就是“ ， ”，正确； 对于（2）直线 可能在平面 内，所以不能得出 ，故不正确； 对于（3）若“ 为真命题”则 均为真命题，故 是假命题，正确； 对于（4）因为 时可得 ，反之 不能得出 ，故 “ ”是“ ”的必要不充分条件,故不正确.故选 D. 【点睛】 本题主要考查简易逻辑，涉及知识点较多，要逐一判定，最后得出结论.题目属于知识 拼盘. 9．“吸烟有害健康，吸烟会对身体造成伤害”，哈尔滨市于 2012 年 5 月 31 日规定室内 场所禁止吸烟．美国癌症协会研究表明，开始吸烟年龄 X 分别为 16 岁、18 岁、20 岁 2a b= 2a = 1b = 2 2 14 x y+ = 4a = 2b = 2 2 116 4 y x+ = x R∀ ∈ 2 0x > 0x R∃ ∈ 02 0x ≤ α β l β⊥ α β⊥ / /l α p q∧ p¬ 1sin 2 α = 6 πα = 5 6 πα = x R∀ ∈ 2 0x > 0x R∃ ∈ 02 0x ≤ l α / /l α p q∧ ,p q p¬ 6 πα = 1sin 2 α = 1sin 2 α = 6 πα = 1sin 2 α = 6 πα = 和 22 岁者，其得肺癌的相对危险度 Y 依次为 15.10，12.81，9.72，3.21；每天吸烟支数 U 分别为 10，20，30 者，其得肺癌的相对危险度 V 分别为 7.5，9.5 和 16.6，用 表示 变量 X 与 Y 之间的线性相关系数，用 r2 表示变量 U 与 V 之间的线性相关系数，则下列 说法正确的是(　　) A.r1＝r2 B.r1＞r2＞0 C.0＜r1＜r2 D.r1＜0＜r2 【答案】D 【解析】根据正相关和负相关的概念可以求解. 【详解】 由题意可知，开始吸烟年龄递增时，得肺癌的相对危险度呈递减趋势，所以吸烟年龄与 得肺癌的危险度呈负相关，所以 r1＜0，同理可知，得肺癌的危险度与每天吸烟支数呈 正相关，所以 r2＞0.因此可得 r1＜0＜r2，故选 D. 【点睛】 本题主要考查相关系数的理解，正相关时系数为正，负相关时系数为负，对概念的准确 理解是求解关键. 10．某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于 90 分的具有复赛资格，某校有 800 名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30，150] 内，其频率分布直方图如图．则获得复赛资格的人数为（） A.640 B.520 C.280 D.240 【答案】B 【解析】由频率分布直方图得到初赛成绩大于 90 分的频率，由此能求出获得复赛资格 的人数． 【详解】 初赛成绩大于 90 分的具有复赛资格，某校有 800 名学生参加了初赛， 所有学生的成绩均在区间（30，150]内， 1r 由频率分布直方图得到初赛成绩大于 90 分的频率为：1﹣（0.0025+0.0075+0.0075）×20 ＝0.65． ∴获得复赛资格的人数为：0.65×800＝520． 故选：B． 【点睛】 本题考查频率分布直方图的应用，考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识， 是基础题． 11．方程 为椭圆方程的一个充分不必要条件是（ ） A． B． 且 C． D． 【答案】C 【解析】方程 表示椭圆的充要条件是 ，即 且 ， 所以方程 为椭圆方程的一个充分不必要条件是 ，故选 C. 12．已知椭圆 上一点 A 关于原点的对称点为点 B，F 为其右焦 点，若 ，设 ，且 ，则该椭圆离心率 的取值范围为 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据直角三角形性质得 A 在圆上，解得 A 点横坐标，再根据条件确定 A 横坐 标满足条件，解得离心率. 【详解】 由题意得 ，所以 A 在圆 上，与 联立解得 ， 2 2 12 1 x y m m + =− 1 2m > 1 2m > 1m ≠ 1m > 0m > 2 2 12 1 x y m m + =− 0 2 1 0 2 1 m m m m >  − >  ≠ − 1 2m > 1m ≠ 2 2 12 1 x y m m + =− 1m > 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > AF BF⊥ ABF α∠ = ,6 4 π πα  ∈   e 2 , 3 12  −    2 ,12      2 3,2 2       3 6,3 3       OA OB OF c= = = 2 2 2=x y c+ 2 2 2 2 1x y a b + = 2 2 2 2 2 ( ) A a c bx c −= 因为 ，且 ， 所以 因此 ， 解得 即 ，即 ，选 A. 【点睛】 本题考查椭圆离心率，考查基本分析化简求解能力，属中档题. 二、填空题 13．某校对高三年级 1 600 名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取 一个容量是 200 的样本，已知样本中女生比男生少 10 人，则该校高三年级的女生人数 是________． 【答案】760 【解析】设样本中女生有 人，则男生有 人，则 ，即 ， 设该校高三年级的女生有 人，则由分层抽样的特点（等比例抽样），得 ， 解得 ，即该校高三年级的女生人数是 760. 14．如图，矩形的长为 ，宽为 ，在矩形内随机地撒 颗黄豆，数得落在阴影部分 的黄豆为 颗，则我们可以估计出阴影部分的面积约为________． 【答案】 【解析】设阴影部分区域的面积为 ，计算出矩形的面积，利用阴影部分区域的面积与 矩形区域的面积之比等于黄豆落在阴影部分区域的频率，由此列等式求出 的值. 【详解】 矩形的长为 ，宽为 ，则矩形的面积为 ，设阴影部分区域的面积为 . ABF α∠ = ,6 4 π πα  ∈   2 2 sin 22 sin ( ) 2 sin [ , ]A A a a c a c a cAF c e x c xc e e e αα α − − −= ∴ − = ∴ = ∈ 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) ( )a c a c b a c e c e − − −≤ ≤ 2 2 2 2 2 2 2 2( 2 ) ( ) ( 2 ) 2 ( )a c c b a c a c c a a c− ≤ − ≤ − − ≤ − ≤ −， ， 2 22 , 2 0a c a c ac≤ − − ≥ 2 21 2 ,1 2 0 3 12e e e e≤ − − ≥ ∴ ≤ ≤ − x (10 )x+ (10 ) 200x x+ + = 95x = y 95 1600 200 y = 760y = 6 3 300 125 15 2 S S 6 3 6 3 18× = S 由题意可得 ，解得 ，故答案为： . 【点睛】 本题考查实验法求概率以及几何概型面积类型，将两者建立关系，引入方程思想求解， 考查计算能力，属于基础题. 15．已知椭圆 的右焦点为 F，过点 F 作圆 x2+y2＝b2 的切线， 若两条切线互相垂直，则 _____________． 【答案】 【解析】由题意画出图形，可得 b＝c，两边平方后结合隐含条件得答案． 【详解】 解：如图， 由题意椭圆 的右焦点为 F， 过点 F 作圆 x2+y2＝b2 的切线，若两条切线互相垂直，可得 b＝c，则 2b2＝c2，a2＝b2+c2 ＝3b2， 则 ． 故答案为： ． 【点睛】 本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 16．已知 是椭圆 的左、右焦点，过左焦点 的直线与椭 圆 交于 两点，且 ， ，则椭圆 的离心率为________ 【答案】 125 300 18 S= 15 2S = 15 2 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > a b = 3 2 ( )2 2 2 2 1 0x yC a ba b + =： ＞ ＞ 2 3a b = 3 1 2,F F :C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1F C ,A B 1 1| | 2| |AF BF= 2| | | |AB BF= C 3 3 【解析】连接 ,设 ,利用椭圆性质 ,得到 长度,分别在△ 和 中利用余弦定理,得到 c 的长度，根据离心率的定义 计算得到答案. 【详解】 设 ，则 ， ，由 ， 得 ， ，在△ 中， ， 又在 中， ，得 故离心率 【点睛】 本题考察了离心率的计算,涉及到椭圆的性质,正余弦定理,综合性强,属于难题. 三、解答题 17．已知命题 ，使 ；命题 ，使 . （1）若命题 为假命题，求实数 的取值范围； （2）若 为真命题， 为假命题，求实数 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）若 p 为假命题， ，可直接解得 a 的取值范围；（2） 由题干可知 p,q 一真一假，分“p 真 q 假”和“p 假 q 真”两种情况讨论，即可得 a 的范围。 【详解】 解：（1）由命题 P 为假命题可得： ， 即 ， 所以实数 的取值范围是 . （2） 为真命题， 为假命题，则 一真一假. 若 为真命题，则有 或 ，若 为真命题，则有 . 则当 真 假时，则有 当 假 真时，则有 2AF 1BF k= 1 2 1 2 2BF BF AF AF a+ = + = 2AF 2ABF 1 2F AF∆ 1BF k= 1 2AF k= 2 3BF k= 1 2 1 2 2BF BF AF AF a+ = + = 2 4a k= 2 2AF k= 2ABF 2 1cos 3BAF∠ = 1 2F AF∆ 2 2 2 1 2 (2 ) (2 ) (2 ) 1cos 2 32 2 k k cF AF k k + −∠ = =× × 42 3 c k= 3 3 ce a = = :p x R∃ ∈ 2 ( 1) 1 0x a x+ − + < : [2,4]q x∀ ∈ 2log 0x a− ≥ p a p q∨ p q∧ a [ ]1,3− [ 1,1] (3, )− ∪ +∞ 2( 1) 4 0a∆ = − − ≤ 2( 1) 4 0a∆ = − − ≤ 2 2 3 0a a− − ≤ a [ ]1,3− p q∨ p q∧ p q、 p 1a < − 3a > q 1a ≤ p q 3a > p q 1 1a− ≤ ≤ 所以实数 的取值范围是 . 【点睛】 本题考查根据命题的真假来求变量的取值范围，属于基础题，判断为真的语句叫做真命 题，判断为假的语句叫做假命题。 18．已知离心率为 的椭圆 过点 ． （1）求椭圆 的方程； （2）过点 作斜率为 直线 与椭圆相交于 两点，求 的长． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）根据离心率可得 的关系，将点 代入椭圆方程，可得椭圆方程； （2）直线方程与椭圆方程联立，可得弦长 . 【详解】 （1） ，又 ， ，即椭圆方程是 ， 代入点 , 可得 ， 椭圆方程是 . （2）设 直线方程是 ，联立椭圆方程 a [ 1,1] (3, )− ∪ +∞ 2 2 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > ( 2,1)M C (1,0) 2 l ,A B | |AB 2 2 14 2 x y+ = 4 359 , ,a b c M AB 2 2 ce a = = 2 2 2a b c= + 2 22a b∴ = 2 2 2 2 12 x y b b + = ( )2,1M 2 22, 4b a= = ∴ 2 2 14 2 x y+ = ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y ( )2 1y x= − ( ) 2 2 2 1 14 2 y x x y  = − + = 29 16 4 0x x⇒ − + = 1 2 1 2 16 4,9 9x x x x+ = = ( )22 2 1 2 1 2 1 21 1 4AB k x x k x x x x= + − = + + − 代入可得 . 【点睛】 本题考查了椭圆方程和直线与椭圆的位置关系，涉及弦长公式，属于简单题. 19．在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中 有 3 只黄色、3 只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道： 摸球方法：从袋中随机摸出 3 个球，若摸得同一颜色的 3 个球，摊主送给摸球者 5 元钱； 若摸得非同一颜色的 3 个球，摸球者付给摊主 1 元钱. （1）摸出的 3 个球为白球的概率是多少？ （2）摸出的 3 个球为 2 个黄球 1 个白球的概率是多少？ （3）假定一天中有 100 人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按 30 天 计）能赚多少钱？ 【答案】（1）0．05；（2）0．45；（3）1200. 【解析】（1）先列举出所有的事件共有 20 种结果，摸出的 3 个球为白球只有一种结果， 根据概率公式得到要求的概率，本题应用列举来解，是一个好方法；（2）先列举出所 有的事件共有 20 种结果，摸出的 3 个球为 1 个黄球 2 个白球从前面可以看出共有 9 种 结果种结果，根据概率公式得到要求的概率；（3）先列举出所有的事件共有 20 种结果， 根据摸得同一颜色的 3 个球，摊主送给摸球者 5 元钱；若摸得非同一颜色的 3 个球，摸 球者付给摊主 1 元钱，算一下摸出的球是同一色球的概率，估计出结果. 【详解】 把 3 只黄色乒乓球标记为 A、B、C，3 只白色的乒乓球标记为 1、2、3． 从 6 个球中随机摸出 3 个的基本事件为：ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、 A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共 20 个. (1)事件 E={摸出的 3 个球为白球}，事件 E 包含的基本事件有 1 个，即摸出 123 号 3 个 球，P（E）= =0．05. (2)事件 F={摸出的 3 个球为 2 个黄球 1 个白球}，事件 F 包含的基本事件有 9 个，P（F） = =0．45. （3）事件 G={摸出的 3 个球为同一颜色}={摸出的 3 个球为白球或摸出的 3 个球为黄 球}，P（G）= =0．1，假定一天中有 100 人次摸奖， 由摸出的 3 个球为同一颜色的概率可估计事件 G 发生有 10 次，不发生 90 次． 4 359AB = 1 20 9 20 2 20 则一天可赚 ，每月可赚 1200 元． 【考点】1．互斥事件的概率加法公式；2．概率的意义 20．某电视台问政直播节目首场内容是“让交通更顺畅”．A、B、C、D 四个管理部门的 负责人接受问政，分别负责问政 A、B、C、D 四个管理部门的现场市民代表(每一名代 表只参加一个部门的问政)人数的条形图如下．为了了解市民对武汉市实施“让交通更顺 畅”几个月来的评价，对每位现场市民都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调 查问卷中抽取 20 份进行统计，统计结果如下面表格所示： 满意 一般 不满意 A 部门 50% 25% 25% B 部门 80% 0 20% C 部门 50% 50% 0 D 部门 40% 20% 40% (1)若市民甲选择的是 A 部门，求甲的调查问卷被选中的概率； (2)若想从调查问卷被选中且填写不满意的市民中再选出 2 人进行电视访谈，求这两人 中至少有一人选择的是 D 部门的概率． 【答案】(1)0.1(2) 【解析】(1)由条形统计图中可以得到市民代表共 200 人，其中负责问政 A 部门的市民 为 40 人，又由分层抽样 20 份求出从 A 部门问卷中抽取了 4 份，继而得到甲的调查问卷 被选中的概率 (2)分别计算出分层抽样 20 份中负责问政 A，B，C，D 四部门的市民人数，其中可以得 到不满意的人数，用枚举法列出符合条件的情况，然后求出结果 【详解】 解：(1)由条形图可得，分别负责问政 A，B，C，D 四个管理部门的现场市民代表共有 200 5 6 人，其中负责问政 A 部门的市民为 40 人． 由分层抽样可得从 A 部门问卷中抽取了 份．设事件 M＝“市民甲被选中进 行问卷调查”，所以 . ∴若甲选择的是 A 部门，甲被选中问卷调查的概率是 0.1. (2)由图表可知，分别负责问政 A，B，C，D 四部门的市民被选中进行问卷调查的人数 为 4,5,6,5.其中不满意的人数分别为 1,1,0,2 个．记对 A 部门不满意的市民是 a；对 B 部 门不满意的市民是 b；对 D 部门不满意的市民是 c，d. 设事件 N＝“从填写不满意的市民中选出 2 人，至少有一人选择的是 D”． 从填写不满意的市民中选出 2 人，共有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d) 共 6 个基本事件；而事件 N 有(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)共 5 个基本事件， 所以 . ∴这两人中至少有一人选择的是 D 的概率是 . 【点睛】 本题考查了条形统计图、分层抽样，需要掌握基础知识并熟练运用，利用枚举法求出符 合条件的情况，继而求出结果，较为基础 21．一个工厂在某年里连续 10 个月每月产品的总成本 y（万元）与该月产量 x（万件） 之间有如下一组数据： x 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 y 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26 （1）通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，请用相关系数加以说 明； （2）①建立月总成本 y 与月产量 x 之间的回归方程； ②通过建立的 y 关于 x 的回归方程，估计某月产量为 1.98 万件时，此时产品的总成本 为多少万元？（均精确到 0.001） 附注：①参考数据： =14.45， =27.31， =0.850， =1.042， =1.222． 4020 4200 × = ( ) 4 0.140P M = = ( ) 5 6P N = 5 6 10 1 i i x = ∑ 10 1 i i y = ∑ 10 2 2 1 10i i x x = −∑ 10 2 2 1 10i i y y = −∑ b ②参考公式：相关系数：r= ．回归方程 = x+ 中 斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： = ， = - 【答案】（1）见解析；（2）① ；②3.385 万元． 【解析】（1）由已知条件利用公式 ，求得 的值，再与 比 较大小即可得结果；（2）根据所给的数据，做出变量 的平均数，根据样本中心点 一定在线性回归方程上，求出 的值，写出线性回归方程；将 代入所求线性回 归方程求出对应的 的值即可. 【详解】 （1）由已知条件得： ， 这说明 与 正相关，且相关性很强． （2）①由已知求得 ， 所以所求回归直线方程为 ． ②当 时， （万元）， 此时产品的总成本为 3.385 万元． 【点睛】 本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依 据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算 的值；③计算 回归系数 ；④写出回归直线方程为 ； 回归直线过样本点中心 是 一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势. 22．已知椭圆 ，点 为椭圆上一点,且 . （1）求椭圆 C 的方程； ( )( )1 2 2 2 2 1 1 n i ii n n i ii i x y nxy x nx y ny = = = − − − ∑ ∑ ∑ y b a b 1 2 2 1 n i ii n ii x y nxy x nx = = − − ∑ ∑ a y b x 1.222 0 6ˆ .9 5y x= + 10 2 2 1 10 2 2 1 10 1 ˆ 0 ii ii x x r b y y = = − = ⋅ − ∑ ∑ r 0.75 ,x y a 1.98x = y 10 2 2 1 10 2 2 1 10 0.8501.222 0.997 0.751.04210 ˆ ii ii x x r b y y = = − = ⋅ = × = > − ∑ ∑ y x 1.445, 2.731, 2.731 1.222 1.445ˆˆ 0.965x y a y bx= = = − = − × = 1.222 0 6ˆ .9 5y x= + 1.98x = 1.222 1.98 0.965 3.385y = × + = 2 1 1 , , , n n i i i i i x y x x y = = ∑ ∑ ˆˆ,a b ˆˆ ˆy bx a= + ( ),x y 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 3( 3, )2M sin 3b a π= ⋅ （2）已知两条互相垂直的直线 ， 经过椭圆 的右焦点 ，与椭圆 交于 四点，求四边形 面积的的取值范围. 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）由题意可得 ，解得进而得到椭圆的方程； （2）设出直线 l1，l2 的方程，直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，分别求 得|AB|，|MN|，再由四边形的面积公式，化简整理计算即可得到取值范围． 【详解】 （1）因为 ，所以 ， 又 ，解得 a2＝4，b2＝3， 故椭圆 C 的方程为 ； （2）当直线 l1 的方程为 x＝1 时，此时直线 l2 与 x 轴重合， 此时|AB|＝3，|MN|＝4， ∴四边形 AMBN 面积为 S |AB|•|MN|＝6． 当直线 l1 的斜率存在且不为 0 时， 设过点 F（1，0）的两条互相垂直的直线 l1：x＝ky+1，直线 l2：x y+1， 由 x＝ky+1 和椭圆 1，可得（3k2+4）y2+6ky﹣9＝0， 判别式显然大于 0，y1+y2 ，y1y2 ， 则|AB| • • ， 把上式中的 k 换为 ，可得|MN| 1l 2l 2 2 2 2: 1x yC a b + = F C , ,A B M N与 AMBN 2 2 14 3 x y+ = 288 ,649      2 2 2 2 2 3 2 3 3 14 b a a b a b c  =   + =  = +  sin 3b a π= ⋅ b 3=a 2 2 2 3 3 14a b + = 2 2 14 3 x y+ = 1 2 = 1 k = − 2 2 4 3 x y+ = 2 6 3 4 k k −= + 2 9 3 4k = − + 21 k= + 2 2 1 2 1 2( ) 4 1y y y y k+ − = + ( )22 2 2 12 112 1 3 4 3 4 kk k k ++ =+ + 1 k − ( )2 2 12 1 3 4 k k + = + 则有四边形 AMBN 面积为 S |AB|•|MN| • • ， 令 1+k2＝t，则 3+4k2＝4t﹣1，3k2+4＝3t+1， 则 S ， ∴t＞1， ∴0 1， ∴y＝﹣（ ）2 ，在（0， ）上单调递增，在（ ，1）上单调递减， ∴y∈（12， ]， ∴S∈[ ，6） 故四边形 PMQN 面积的取值范围是 【点睛】 本题考查直线和椭圆的位置关系，同时考查直线椭圆截得弦长的问题，以及韦达定理是 解题的关键，属于中档题． 1 2 = 1 2 = ( )2 2 12 1 3 4 k k + + ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 12 1 72(1 ) 3 4 3 4 4 3 k k k k k + +=+ + + ( )( ) 2 2 2 2 2 72 72 72 72 1 1 1 1 493 1 4 1 12 1 ( ) 12 ( )2 4 t t t t t t t t t = = = =+ − + − − + + − − + 1 t ＜ ＜ 1 1 2t − 49 4 + 1 2 1 2 49 4 288 49 288 ,649     