2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第十章 第5讲 几何概型
第5讲 几何概型
一、知识梳理
1．几何概型
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的概率公式
P(A)＝
常用结论
在几何概型中，如果A是确定事件，
(1)若A是不可能事件，则P(A)＝0肯定成立；如果随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的长度、面积和体
积都是0，则它出现的概率为0，显然它不是不可能事件，因此由P(A)＝0不能推出A是不可能事件．
(2)若A是必然事件，则P(A)＝1肯定成立；如果一个随机事件所在的区域是从全部区域中扣除一个单点，则它出现的概率是1，但它不是必然事件，因此由P(A)＝1不能推出A是必然事件．
二、教材衍化
1．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )
解析：选A.因为P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，
所以P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．
2．在线段[0，3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为________．
解析：坐标小于1的区间为[0，1)，长度为1，[0，3]的区间长度为3，故所求概率为.
答案：
3．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率为________．
解析：如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的平面区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的
是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是.
答案：1－
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)几何概型中，每一个基本事件都是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )
(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( )
(3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( )
(4)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
二、易错纠偏
选用的几何测度不准确导致出错.
在区间[－2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________．
解析：由|x|≤m，得－m≤x≤m.
当0
对应的平面区域为阴影部分．
由解得
即E，所以|OE|＝＝，
所以正方形OEFG的面积为，
则阴影部分的面积为－，
所以根据几何概型的概率公式可知所求的概率为＝1－.
答案：1－
9.如图所示，圆O的方程为x2＋y2＝4.
(1)已知点A的坐标为(2，0)，B为圆周上任意一点，求的长度小于π的概率；
(2)若N(x，y)为圆O内任意一点，求点N到原点的距离大于的概率．
解：(1)圆O的周长为4π，所以的长度小于π的概率为＝.
(2)记事件M为N到原点的距离大于，则Ω(M)＝{(x，y)|x2＋y2>2}，Ω＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，所以P(M)＝＝.
10．已知向量a＝(2，1)，b＝(x，y)．
(1)若x∈{－1，0，1，2}，y∈{－1，0，1}，求向量a∥b的概率；
(2)若x∈[－1，2]，y∈[－1，1]，求向量a，b的夹角是钝角的概率．
解：(1)设“a∥b”为事件A，由a∥b，得x＝2y.所有基本事件为(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)，共12个基本事件．其中A＝{(0，0)，(2，1)}，包含2个基本事件．
则P(A)＝＝，即向量a∥b的概率为.
(2)设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得a·b<0，即2x＋y<0，且x≠2y.基本事件为
所表示的区域，
B＝，
如图，区域B为图中的阴影部分去掉直线x－2y＝0上的点，
所以，P(B)＝＝，
即向量a，b的夹角是钝角的概率是.
[综合题组练]
1．(2020·安徽合肥模拟)已知圆C：x2＋y2＝4与y轴负半轴交于点M，圆C与直线l：x－y＋1＝0相交于A，B两点，那么在圆C内随机取一点，则该点落在△ABM内的概率为( )
A. B．
C. D．
解析：选A.由图可知，由点到直线距离公式得|OC|＝＝，则|AB|＝2＝，同理可得|MD|＝＝，所以S△MAB＝|AB|·|MD|＝，由几何概型知，该点落在△ABM内的概率为＝＝，故选A.
2．已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是 ( )
A. B．
C. D．
解析：选D.以PB，PC为邻边作平行四边形PBDC，则＋＝，因为＋＋2 ＝0，所以＋＝－2，得＝－2，由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC距离的，所以S△PBC＝S△ABC，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在
△PBC内的概率为＝.
3．两位同学约定下午5：30～6：00在图书馆见面， 且他们在5：30～6：00之间到达的时刻是等可能的，先到的同学须等待，若15分钟后还未见面便离开，则这两位同学能够见面的概率是________．
解析：如图所示，以5：30作为原点O，建立平面直角坐标系，设两位同学到达的时刻分别为x，y，设事件A表示两位同学能够见面，所构成的区域为A＝{(x，y)||x－y|≤15}，即图中阴影部分，根据几何概型概率计算公式得P(A)＝＝.
答案：
4．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在如图所示的平面直角坐标系中，圆O被函数y＝3sin x的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________．
解析：根据题意，大圆的直径为函数y＝3sin x的最小正周期T，又T＝＝12，所以大圆的面积S＝π·＝36π，一个小圆的面积S′＝π·12＝π，故在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为P＝＝＝.
答案：
5．某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米(四舍五入，精确到0.1米)以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6个小组的频数是7.
(1)求进入决赛的人数；
(2)经过多次测试后发现，甲的成绩均匀分布在8～10米之间，乙的成绩均匀分布在9.5～10.5米之间，现甲、乙各跳一次，求甲比乙跳得远的概率．
解：(1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，所以总人数为＝50.
由图易知第4，5，6组的学生均进入决赛，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36，即进入决赛的人数为36.
(2)设甲、乙各跳一次的成绩分别为x，y米，则基本事件满足
，
设事件A为“甲比乙跳得远”，则x>y，作出可行域如图中阴影部分所示．
所以由几何概型得P(A)＝＝，即甲比乙跳得远的概率为.
6．已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.
(1)设集合P＝{1，2，3}和Q＝{－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；
(2)设点(a，b)是区域内的随机点，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．
解：(1)因为函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴为x＝，要使f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a>0且≤1，即2b≤a.
若a＝1，则b＝－1；
若a＝2，则b＝－1，1；
若a＝3，则b＝－1，1.
所以事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5，
因为事件“分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b”的个数是15.
所以所求事件的概率为＝.
(2)由(1)知当且仅当2b≤a且a>0时，函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为，
构成所求事件的区域为如图所示的三角形BOC部分．
由得交点坐标C，
故所求事件的概率P＝＝＝.
