2017-2018学年新疆兵团第二师华山中学高二上学期期末考试数学（文）试题 解析版

2017-2018学年新疆兵团第二师华山中学高二上学期期末考试数学（文）试题 解析版

‎2017-2018学年新疆兵团第二师华山中学高二上学期期末考试数学（文）试题 解析版 一、选择题：（12小题，每题5分，共60分）‎ ‎1. 已知复数z满足iz=2+3i，则z对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】 对应的点位于第四象限,选D ‎2. 设命题p：∀x＞0，x-lnx＞0，则￢p为 A. ∃x0＞0，x0-lnx0＞0 B. ∃x0＞0，x0-lnx0≤0‎ C. ∀x＞0，x-lnx＜0 D. ∀x＞0，x-lnx≤0‎ ‎【答案】B ‎【解析】由于全称命题的否定为特称命题，‎ 所以命题p：∀x＞0，x-lnx＞0，则￢p为∃x0＞0，x0-lnx0≤0.‎ 故选B.‎ ‎3. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】由程序框图可得，时，，继续循环；时，，继续循环；时，， 继续循环；结束输出.‎ 点睛：循环结构的考查是高考热点，有时会问输出结果，或是判断框的条件是什么，这类问题容易错在审题不清，计数变量加错了，没有理解计数变量是在计算结果之前还是计算结果之后，最后循环进来的数是什么等问题，防止出错的最好的办法是按顺序结构写出每一个循环，这样就会很好的防止出错.‎ ‎4. 若a，b∈R，则“a＞0，b＞0”是“a+b＞0”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】当“a＞0，b＞0”时，由不等式的性质可知“a+b＞0”，‎ ‎ ‎ 则“a＞0，b＞0”是“a+b＞0”的充分不必要条件，‎ 故选A．‎ ‎5. 已知双曲线的一条渐近线为，则实数a的值为 A. B. 2 C. D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵双曲线的渐近线为，∴，解得a=4，‎ 故选D．‎ ‎6. 下列说法错误的是 A. 对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小 B. 在回归直线方程=0.2x+0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位 C. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1‎ D. 回归直线过样本点的中心（，）‎ ‎【答案】A ‎【解析】A．对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”可信程度越大，因此不正确；‎ B．在线性回归方程=0.2x+0.8中，当x每增加1个单位时，预报量平均增加0.2个单位，正确； ‎ C．两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，因此正确； ‎ D．回归直线过样本点的中心（，），正确．‎ 综上可知：只有A不正确．‎ 故选：A．‎ ‎7. 函数f（x）=2x2-4lnx的单调减区间为 A. （-1，1） B. （1，+∞） C. （0，1） D. [-1，0）‎ ‎【答案】C ‎【解析】f（x）的定义域是（0，+∞），，‎ 令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，‎ 故选：C．‎ ‎8. 椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则∠F1PF2的余弦值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，椭圆的标准方程为，其中则，‎ 则cos∠F1PF2==.‎ 故选：B．‎ ‎9. 若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值，则的最小值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：因为函数在处有极值，所以，即，则（当且仅当且，即时取“=”）；故选C．‎ 考点：1．函数的极值；2．基本不等式．‎ ‎10. 《论语》云：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是 A. 合情推理 B. 归纳推理 C. 类比推理 D. 演绎推理 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：因推理的格式符合三段论的形式,故是演绎推理,故应选D.‎ 考点：推理的形式.‎ ‎11. 已知点P在抛物线y2=4x上，点A（5，3），F为该抛物线的焦点，则△PAF周长的最小值为 A. 12 B. 11 C. 10 D. 9‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线l：x=-1，点A（5，3）在抛物线内部，．‎ P是抛物线上的动点，PD⊥l交l于D，由抛物线的定义可知|PF|=|PD|.‎ ‎∴要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小 ‎，当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，为5-（-1）=6，则（|PA|+|PF|）min=6．‎ ‎△PAF周长的最小值为：6+5=11．‎ 故选B．‎ 点睛：求抛物线上一点到抛物线内一点的距离与到焦点的距离的和，应利用抛物线的定义转化为抛物线上的点到已知点的距离与到准线距离的和，当垂足、抛物线内的点、抛物线上的点三点共线时，距离和最小，即为抛物线内的点到准线的距离.‎ ‎12. 函数f（x）的定义域为R，f（1）=3，对任意x∈R，都有f（x）+f'（x）＜2，则不等式ex•f（x）＞2ex+e的解集为 A. {x|x＜1} B. {x|x＞1}‎ C. {x|x＜-1或x＞1} D. {x|x＜-1或0＜x＜1}‎ ‎【答案】A ‎【解析】令g（x）=exf（x）-2ex-e，则g′（x）=exf（x）+exf′（x）-2ex=ex[f（x）+f′（x）-2]，‎ ‎∵f（x）+f′（x）＜2，∴f（x）+f′（x）-2＜0，∴g′（x）＜0，即g（x）在R上单调递减，‎ 又f（1）=3，∴g（1）=ef（1）-2e-e=0，故当x＜1时，g（x）＞g（1），‎ 即exf（x）-2ex-e＞0，整理得exf（x）＞2ex+e，∴exf（x）＞2ex+e的解集为{x|x＜1}．‎ 故选：A．‎ 点睛：本题主要考查抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.‎ 求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察四个选项，联想到函数g（x）=exf（x）-2ex-e，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.‎ 二、填空题：（4小题，每题5分，共20分）‎ ‎13. 原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”．当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生______天．‎ ‎【答案】510‎ ‎【解析】由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为1×73+3×72+2×71+6×70=510．‎ 故答案为：510.‎ ‎14. 统计某产品的广告费用x与销售额y的一组数据如表：‎ 广告费用x ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ 销售额y ‎7‎ m ‎9‎ ‎12‎ 若根据如表提供的数据用最小二乘法可求得y对x的回归直线方程是=1.1x+4.6，则数据中的m的值应该是______．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】由题意，，，‎ ‎∵y对x的回归直线方程是=1.1x+4.6，∴7+=4.4+4.6，∴m=8．‎ 故答案为：8.‎ 点睛：求解回归方程问题的三个易误点：‎ ‎① 易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．‎ ‎② 回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过 点，可能所有的样本数据点都不在直线上．‎ ‎③ 利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望值)．‎ ‎15. 点P是双曲线（b＞0）上一点，F1、F2是双曲线的左、右焦点，|PF1|+|PF2|=6，PF1⊥PF2，则双曲线的离心率为_______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，点P是双曲线（b＞0）上一点，则有||PF1|-|PF2||=2a=2，‎ 设|PF1|＞|PF2|，则有|PF1|-|PF2|=2，又由|PF1|+|PF2|=6，解可得：|PF1|=4，|PF2|=2，‎ 又由PF1⊥PF2，则有|PF1|2+|PF2|2=4c2=20，则c=，又由a=1，则双曲线的离心率e==‎ 故答案为：.‎ ‎16. 若函数y=ex+ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵y=ex+ax，∴y'=ex+a．由题意知ex+a=0有大于0的实根，‎ 由ex=-a，得a=-ex，∵x＞0，∴ex＞1．∴a＜-1．‎ 故选C.‎ 三、解答题：（6小题，共70分）‎ ‎17. 设命题p：实数x满足（x-a）（x-3a）＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足（x-3）（x-2）≤0．‎ ‎（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围．‎ ‎（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由p∧q为真，即为p，q均为真命题，解两个不等式求交集即可；‎ ‎（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，可得q是p的充分不必要条件，由题意可得P={x|a＜x＜3a}，Q={x|2≤x≤3}，由Q⊊P即可得解.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由（x-1）（x-3）＜0，得P={x|1＜x＜3}，由（x-3）（x-2）≤0，可得Q={x|2≤x≤3}，‎ 由p∧q为真，即为p，q均为真命题，可得x的取值范围是2≤x＜3；‎ ‎（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，可得q是p的充分不必要条件，‎ 由题意可得P={x|a＜x＜3a}，Q={x|2≤x≤3}，由Q⊊P，可得a＜2且3＜3a，解得1＜a＜2．‎ ‎18. 已知集合A={（x，y）︱x∈[0，2]，y∈[-1，1]}．‎ ‎（1）若x，y∈Z，求x+y≥0的概率；‎ ‎（2）若x，y∈R，求x+y≥0的概率．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）因为x，y∈Z，且x∈[0，2]，y∈[-1，1]，基本事件是有限的，所以为古典概型，这样求得总的基本事件的个数，再求得满足x，y∈Z，x+y≥0的基本事件的个数，然后求比值即为所求的概率；（2）因为x，y∈R，且围成面积，则为几何概型中的面积类型，先求x，y∈Z，求x+y≥0表示的区域的面积，然后求比值即为所求的概率 试题解析：(1)设“x＋y≥0，x，y∈Z”为事件A，x，y∈Z，x∈[0，2]，即x＝0，1，2；y∈[－1，1]，即y＝－1，0，1.‎ 则基本事件有：(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)，(2，1)共9个.其中满足“x＋y≥0”的基本事件有8个，∴P(A)＝.‎ 故x，y∈Z，x＋y≥0的概率为.‎ ‎(2)设“x＋y≥0，x，y∈R”为事件B，‎ ‎∵x∈[0，2]，y∈[－1，1]，则 基本事件为如图四边形ABCD区域，事件B包括的区域为其中的阴影部分.‎ ‎∴P(B)＝＝＝＝，故x，y∈R，x＋y≥0的概率为.‎ 考点：几何概型中的面积类型和古典概型 ‎19. 某公司即将推车一款新型智能手机，为了更好地对产品进行宣传，需预估市民购买该款手机是否与年龄有关，现随机抽取了50名市民进行购买意愿的问卷调查，若得分低于60分，说明购买意愿弱；若得分不低于60分，说明购买意愿强，调查结果用茎叶图表示如图所示．‎ ‎ ‎ ‎（1）根据茎叶图中的数据完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关？ ‎ 购买意愿强 购买意愿弱 合计 ‎20-40岁 大于40岁 合计 ‎（2）从购买意愿弱的市民中按年龄进行分层抽样，共抽取5人，从这5人中随机抽取2人进行采访，求这2人都是年龄大于40岁的概率．‎ 附：． ‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）根据茎叶图可填表格，再由公式计算,并且和比较大小，即可得出结论；（Ⅱ）根据层比为，分别得到年龄在20~40岁的抽取了2人，年龄大于40岁的抽取了3人，分别对这人分类标号，并通过列举法计算所有5人中随机抽取2人的所有可能情况，并计算其概率.‎ 试题解析：（Ⅰ）由茎叶图可得：‎ 购买意愿强 购买意愿弱 合计 ‎20~40岁 ‎20‎ ‎8‎ ‎28‎ 大于40岁 ‎10‎ ‎12‎ ‎22‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 由列联表可得：．‎ 所以，没有95%的把握认为市民是否购买该款手机与年龄有关． ‎ ‎（Ⅱ）购买意愿弱的市民共有20人，抽样比例为，‎ 所以年龄在20~40岁的抽取了2人，记为a，b，‎ 年龄大于40岁的抽取了3人，记为A，B，C，‎ 从这5人中随机抽取2人，所有可能的情况为（a，b），（a，A），（a，B），（a，C），（b，A），（b，B），（b，C），（A，B），（A，C），（B，C），共10种，‎ 其中2人都是年龄大于40岁的有3种情况，所以概率为． ‎ ‎20. 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB中点，F为CD1中点．‎ ‎（1）求证：EF∥平面ADD1A1；‎ ‎（2）求直线EF和平面CDD1C1所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）取DD1中点M，连接MA，MF，易得AEFM是平行四边形，有EF∥AM，从而得证；‎ ‎（2）因为EF∥AM，AD⊥平面CDD1C1，所以∠AMD与直线EF和平面CDD1C1所成角相等，在Rt△AMD中求解即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：取DD1中点M，连接MA，MF，有，‎ 所以AEFM是平行四边形，‎ 所以EF∥AM，又AM⊂平面ADD1A1，EF⊄平面ADD1A1，‎ 所以EF∥平面ADD1A1，得证．‎ ‎（2）因为EF∥AM，AD⊥平面CDD1C1，所以∠AMD与直线EF和平面CDD1C1所成角相等，‎ 又在Rt△AMD中，有，所以直线EF和平面CDD1C1所成角的正弦值为．‎ 点睛：求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.‎ ‎21. 已知点P（0，-2），椭圆E：的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线PF的斜率为2，O为坐标原点．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）直线l被圆O：x2+y2=3截得的弦长为3，且与椭圆E交于A、B两点，求△AOB面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由直线PF的斜率和离心率列方程组求解即可；‎ ‎（2）当直线l与y轴平行时，易得△AOB面积为，当直线l与y轴不平行时，设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由直线与椭圆联立得（2k2+1）x2+4kmx+2（m2-1）=0，用弦长公式和点到直线距离公式求解面积即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设F（c，0），由已知得，直线PF的斜率k=，得c=1，又，‎ 则，b=1，故椭圆E的方程为 ‎（2）记点O到直线l的距离为d，则，‎ ‎①当直线l与y轴平行时，直线l的方程为，易求，∴， ‎ ‎②当直线l与y轴不平行时，设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由已知得，∴， ‎ 由得（2k2+1）x2+4kmx+2（m2-1）=0，又△=10k2+2＞0，‎ ‎∴，，∴，‎ ‎，‎ ‎，当且仅当k=±1时取等号，‎ 综上当k=±1时，△AOB面积的最大值为 ‎22. 已知函数f（x）=a--lnx，g（x）=ex-ex+1．‎ ‎（1）若a=2，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）若f（x）=0恰有一个解，求a的值；‎ ‎（3）若g（x）≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）1；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由f'（1）=0得切线斜率为1，进而得切线方程；‎ ‎（2）令m（x）=+lnx，求导得函数单调性和最值，进而得解；‎ ‎（3）由（Ⅱ）知函数的最大值为f（1）=a-1，g（x）=ex-ex+1，求导可得函数g（x）的最小值为g（1）=1，得1≥a-1，进而得解.‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵a=2，∴，f'（x）=，∴f'（1）=0，∴切线方程为y=1；‎ ‎（2）令m（x）=+lnx，∴m'（x）=-+，‎ ‎∴当x在（0，1）时，m'（x）＞0，m（x）递增，‎ 当x在（1，+∞）是，m'（x）＜0，m（x）递减，‎ 故m（x）的最大值为m（1）=1，‎ f（x）=0恰有一个解，即y=a，与m（x）只有一个交点，∴a=1；‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数的最大值为f（1）=a-1，g（x）=ex-ex+1．g'（x）=ex-e，‎ ‎∴当x在（0，1）时，g'（x）＜0，g（x）递减，‎ 当x在（1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）递增，‎ ‎∴函数g（x）的最小值为g（1）=1，g（x）≥f（x）恒成立，∴1≥a-1，∴a≤2．‎ 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：‎ ‎（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；‎ ‎（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；‎ ‎（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）.‎ ‎ ‎