【数学】2019届一轮复习人教A版三角函数图象及其性质、三角函数图象变换学案（文）

【数学】2019届一轮复习人教A版三角函数图象及其性质、三角函数图象变换学案（文）

母题6 三角函数图象及其性质、三角函数图象变换 ‎【母题原题1】【2018天津，文6】‎ 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 （ ）‎ A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 ‎【答案】A 即，令可得一个单调递增区间为：．‎ 函数的单调递减区间满足：，‎ 即，令可得一个单调递减区间为：，故选A．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查 生的转化能力和计算求解能力．‎ ‎【母题原题2】【2017天津，文7】‎ 设函数，，其中，．若，，且的最小正周期大于，则 A．， B．， C．， D．，‎ ‎【答案】A ‎【考点】三角函数的图象与性质 ‎【名师点睛】关于的问题有以下两种题型：①提供函数图象求解析式或参数的取值范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定，再根据最小正周期求，最后利用最高点或最低点的坐标满足解析式，求出满足条件的的值；②题目用文字叙述函数图象的特点，如对称轴方程、曲线经过的点的坐标、最值等，根据题意自己画出大致图象，然后寻求待定的参变量，题型很活，一般是求或的值、函数最值、取值范围等．x/ --w ‎ ‎【母题原题3】【2016天津，文8】‎ 已知函数，．若在区间内没有零点，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【考点】解简单三角方程 ‎【名师点睛】对于三角函数来说，常常是先化为y＝Asin(ωx＋φ)＋ 的形式，再利用三角函数的性质求解．三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式．‎ ‎【命题意图】 高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查 三角函数的图象与性质以及三角函数图象变换．‎ ‎【命题规律】 高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：其一考查三角函数的图象与性质，一种是给出函数图像，从图象所给出的信息，求出解析式中的参数，大多考查和的取值或范围，另一种是提供解析式，考查函数的有关性质．其二是考查函数图象变换． ‎ ‎【答题模板】解答本类题目，以2018年试题为例，一般考虑如下三步：‎ 第一步： 确定： 本题已知 第二步：确定和：本题利用三角函数图象所过的两个特殊点的坐标满足函数解析式，列出两个关于和的方程；‎ 第三步：消元： 两式相减，削去，得出，根据的取值范围，确定的值；‎ 第四步：求出解析式：回带值，找出的要求，根据的范围，求出的值．‎ ‎【方法总结】‎ 有关利用待定系数法求函数中的待定系数问题方法如下：‎ ‎1．利用函数图象的最高点、最低点及平衡点的坐标求出；‎ ‎2．利用周期求，由于周期，所以根据图象所提供的或或等，可以求出；‎ ‎3．求出后，利用图象所过的一点的坐标满足函数解析式，求出，最好使用最高点或最低点的坐标求更简单．‎ ‎1．【天津市河东区2018届高三高考二模】函数在下列区间单调递增的为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据条件利用降幂公式和诱导公式化简函数的解析式，结合三角函数单调性的性质进行求解即可．‎ ‎【名师点睛】（1）本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，考查复合函数的单调性，意在考查 生对这些基础知识的掌握能力和数形结合的思想方法．（2）本题是一个易错题，‎ 分解函数为根据复合函数的单调性原理，要求f(x)的单调性，就是求正弦函数的减区间，所以2 π+≤2x≤2 π+， ∈ ，这里不是求正弦函数的增区间．‎ ‎2．【天津市十二校2018年高三二模】已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先根据函数的最小正周期为，求出的值，再由平移后得到为偶函数，可得，进而可得结果．‎ 详解：由函数的最小正周期为 ，‎ 可得，，将的图象向左平移个单位长度，‎ 得的图象，平移后图象关于轴对称，‎ ‎，，，故选D．‎ ‎【名师点睛】已知的奇偶性求时，往往结合正弦函数及余弦函数的奇偶性和诱导公式来解答：（1）时， 是奇函数；（2） 时， 是偶函数．‎ ‎3．天津市2018届9校高三联考【】函数（， ， ）的部分图象如图， （ ）‎ A． B． C． D． -1‎ ‎【答案】D ‎【名师点睛】解决函数综合性问题的注意点 ‎ ‎（1）结合条件确定参数的值，进而得到函数的解析式．‎ ‎（2）解题时要将看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解．‎ ‎（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．‎ ‎4．【2018届天津市滨海新区七所重点 校高三联考】函数（， ）的最小正周期是，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象（ ）‎ A． 关于点对称 B． 关于直线对称 C． 关于点对称 D． 关于直线对称 ‎【答案】B ‎【解析】由于函数最小正周期为，所以，即．向左平移得到为奇函数，故，所以． ，故为函数的对称轴，选B． x w ‎5．【山东省烟台市2018届高三下 期高考诊断性测试】若函数 在上是增函数，则的取值范围是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎ ， 即，又，所以，故选D．‎ ‎6．【天津市部分区2018届高三上 期期末考试】设函数，其图象的一条对称轴在区间内，且的最小正周期大于，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎7．【天津市红桥区2017-2018 年高一上 期期末考试】函数最小正周期为，则（ ）‎ A． 4 B． 2 C． 1 D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数最小正周期为，解得．故选A．‎ ‎8．【天津市耀华中 2018届高三12月月考】已知关于的函数在上有极值，且，则与的夹角的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，有解．‎ ‎∴，∴．∴．故选．‎ ‎9．【天津市第一中 2018届高三上 期第三次月考】若的图像关于直线对称，且当取最小值时， ，使得，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得 ‎ 因为，因此 ，选D．‎ ‎【点睛】函数的性质 ‎(1) ；‎ ‎(2)周期；x w ‎ ‎(3)由 求对称轴；‎ ‎(4)由求增区间；‎ 由求减区间．‎ ‎10．【天津市第一中 2018届高三上 期第二次月考】设函数，若在区间上单调，且，则的最小正周期为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D 且（，0）即（，0）为f（x）=sin（ωx+φ）的一个对称中心，‎ ‎∴=•=﹣=，解得ω=2∈（0，3 ，∴T==π，故选D．‎ ‎【名师点睛】本题考查三角函数的周期性及其求法，确定x=与（，0）为同一周期里面相邻的对称轴与对称中心是关键，也是难点，属于难题．‎ ‎11．【2018年天津市南开中 高三模拟考试】已知函数的图象经过点．‎ ‎（1）求的值，并求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1)；的单调递增区间为．‎ ‎(2)．‎ ‎【解析】分析：（1）利用倍角公式和辅助角公式可以求得，然后再利用 因为经过点，所以，，‎ 因为的单调递增区间为 所以 ‎ 当，即时，，‎ 因为恒成立即，所以所．‎ ‎【名师点睛】该题考查的是有关三角函数的恒等变换以及恒成立问题，涉及到的知识点有倍角公式、辅助角公式、正弦函数的单调性、三角函数在闭区间上的最值等，在解题的过程中，注意正确使用公式，再者就是将恒成立问题转化为最值来处理即可． ： ‎ ‎12．【2018年天津市河西区高三三模】已知函数．‎ ‎（1）求函数的最小正周期和对称轴方程；‎ ‎（2）讨论函数在上的单调性．‎ ‎【答案】（1）最小正周期，对称轴方程为，；（2）在区间上单调递增；在区间上单调递减．‎ ‎【解析】分析：（1）利用二倍角公式、两角和的余弦公式化简函数表达式，再利用周期公式和整体思想进行求解；（2）利用整体思想和三角函数的单调性进行求解．‎ 所以，当时，在区间上单调递增；在区间上单调递减．‎ ‎【名师点睛】本题考查二倍角公式、两角和公式、辅助角公式、三角函数的图象和性质等知识，意在考查 生的转化能力和基本计算能力．‎ ‎13．【天津市部分区2018年高三质量调查（二）】已知函数（）的图象上相邻的最高点的距离是．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）在锐角中，内角满足，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1)；(2)．‎ ‎【解析】分析：（1）利用三角恒等变换化函数为正弦型函数，求出的值，写出的解析式； （2）由正弦、余弦定理求得的值，由此求出的取值范围，再求的取值范围．‎ 详解：（1）‎ 因为函数图象上相邻的两最高点间的距离是，所以 由， ∵，∴，所以 ‎（2）由得，即，‎ ‎∴，又，∴，‎ ‎∵是锐角三角形，∴，∴，∴，∴．‎ ‎【名师点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题．‎ ‎14．【天津市河北区2018年高三二模】已知函数 ‎（I）求函数f (x)的最小正周期；‎ ‎（II）当x∈[0， 时，求函数f (x)的最大值和最小值．‎ ‎【答案】(1)；(2)．‎ ‎∴ ‎ ‎（Ⅱ）∵ ∴． ‎ ‎∵当 ，即时，函数单调递增，当 ，即 时，函数单调递减且，∴． ‎ ‎【名师点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质，属于中档题．‎ 函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若，把看作是一个整体，由 求得函数的减区间，求得增区间；②若，则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间．‎ ‎15．【天津市2018届9校高三联考】已知函数， ．‎ ‎（1）求函数的最小正周期及其图象的对称中心；‎ ‎（2）在中，若，锐角满足，求的值．‎ ‎【答案】(1) 最小正周期为，对称中心： ， (2) ‎ ‎，‎ 所以函数的最小正周期为．对称中心： ， ‎ ‎（2）由（1）得， ，由已知， ，又角为锐角，所以，由正弦定理，得．‎ ‎15．【2018天津部分区高三上 期期末考试】已知函数， ．‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）求在区间上的最大值与最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）当时， 取得最小值；当时， 取得最大值 ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）化函数f（x）为正弦型函数，再求出它的最小正周期； ； ‎ ‎（Ⅱ）由x∈求得f（x）的单调区间，从而求得f（x）的最大、最小值．‎ 试题解析：（1） ‎ ‎，‎ 所以，所以的最小正周期为． ‎ ‎（2）由，得， ‎ 当，即时， ，此时； ‎ 所以当时， 取得最小值；当时， 取得最大值 ‎16．【天津河西2017-2018 年高三上期中考试】已知函数 的最小正周期为．‎ ‎（）求的值及函数的单调递增区间．‎ ‎（）求在区间上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（），单调递增区间， ；（）最大值为，最小值为．‎ ‎【解析】试题分析： ‎ ‎（1）利用降幂公式降幂后，再由两角差的正弦公式和两角和的正弦公式化函数为一个三角函数形式，然后利用周期公式可得，结合正弦函数的单调性可得增区间；‎ ‎（2）由（1）可得函数在区间上的单调性，从而可得最大值和最小值．‎ ‎（）由（）得，∵，∴，‎ ‎∴当时，即时，，当时，即时， ．‎ ‎16．【天津市滨海新区大港油田第一中 2017-2018 年高三上 期期中考试】已知函数f（x）=（sinx+cosx）2-2cos2x，‎ ‎（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；‎ ‎（2）当x∈时，求f（x）的最大值和最小值 ‎【答案】(1) 单调递减区间[π+ π，7π/8+ π ∈ ；(2) f(x)的最大值是，f(x)的最小值是-1．．‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式与配角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质求最小正周期和单调递减区间；（2）先根据x∈，确定正弦函数自变量 ‎ 当2x - = 即x＝π时，f(x)有最大值 ‎ 此时f(x)在[0，π 是增函数，在 [π， 是减函数 所以f(x)的最大值是，f(x)的最小值是-1． ‎ ‎18．天津市耀华中 2018届高三12月月考【】已知向量，，．‎ ‎（）求函数的单增区间．‎ ‎（）若，求值．‎ ‎（）在中，角，，的对边分别是，，．且满足，求函数的取值范围．‎ ‎【答案】（）；（）；（）． ； ‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用平面向量的数量积得到f（x）的解析式，求解单调区间即可；‎ ‎（2）由（1）的解析式，利用f（x）=1，结合倍角公式求的值即可；‎ ‎（3）结合正弦定理结合内角和公式，得到fA．的解析式，结合三角函数的有界性求值域即可．‎ 试题解析：（），‎ ‎∴．由，得：，．‎ ‎∴．∴．‎ ‎∵．∴．∴．‎ ‎∵．∴．∴．∴，．‎ 又∵．∴．故函数的取值范围是．‎ ‎【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可．‎ ‎19．【天津市耀华中 2018届高三上 期第三次月考】已知函数， ．求：‎ ‎（1）求函数在最小正周期和单调递增区间；‎ ‎（2）求函数在区间上的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（1）最小正周期， （2）最大值为4，最小值为1．‎ ‎【解析】试题分析：（1）化简函数得，可得最小正周期，由即可解得增区间；‎ ‎（2）结合函数在上的单调性即可得最值．‎