2018届二轮复习附加部分学案（江苏专用）

2018届二轮复习附加部分学案（江苏专用）

‎2018年高三二轮复习讲练测之讲案【苏教版理 数 】‎ 专题十 选修内容 考向一 几何证明选讲 ‎1.讲高考 ‎（1）考纲要求 ‎（1）了解平行线截割定理；‎ ‎（2）直角三角形射影定理.‎ ‎（3）圆周角定理；‎ ‎（4）圆的切线判定定理与性质定理；‎ ‎（5）相交弦定理；‎ ‎（6）圆内接四边形的性质定理与判定定理；‎ ‎（7）切割线定理．‎ ‎（2）命题规律 几何证明选讲在高考中多以圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定 定理、切割线定理等为考查重点，属于中等偏容易题．预测2018年高考中不会有太大的变化．应认真掌握好相关基础知识，确保高考不失分.‎ 例1【2017江苏，21A】如图，AB为半圆O的直径,直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足.‎ 求证：（1）‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】试题分析：（1）由弦切角定理得，再由直角三角形可得余角相等：（2）由三角形相似可得结论.‎ 试题解析：证明：（1）因为切半圆O于点C，‎ 所以，‎ 因为为半圆O的直径，‎ 所以,‎ 因为AP⊥PC，所以，‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）知，故，‎ 所以 ‎【考点】圆性质，相似三角形 ‎【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路 ‎(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比 代换，解题时应灵活把握．‎ ‎2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．‎ 例2【2016江苏，21 A】如图，在ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点.‎ 求证：∠EDC=∠ABD.‎ ‎【答案】详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：先由直角三角形斜边上中线性质， 再由，与互余，与互余，得，从而得证.‎ 试题解析： ‎ 证明：在和中，‎ 因为为公共角，‎ 所以∽，于是. : ]‎ 在中，因为是的中点，‎ 所以，从而.‎ 所以.‎ ‎【考点】相似三角形 ‎【名师点睛】1.相似三角形的证明方法：(1)找两对内角对应相等；(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；(3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．‎ ‎2．利用相似三角形的性质进行对应边的比、对应角的度数的相关运算时，要善于联想变换比例式，通过添加辅助线构造相似三角形，同时注意面积法的应用．‎ ‎2.讲基础 一、平行线分线段成比例定理 对于平行线分线段成比例定理，往往会以相似三角形为载体，通过三角形相似 构建相应线段比，从而解决问题．解题时要充分利用中点 作辅助线，建立三角形的中位线或梯形的中位线，从而有效利用平行线分线段成比例定理．‎ ‎1．平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．‎ 推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．‎ 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．‎ ‎2．平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．‎ 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．‎ 二、相似三角形的判定及性质 证明两个三角形相似的关键是根据判定定理找(证)两个三角形的边和角之间的数量关系．有的证明起 比较简单方便，但有的找边角关系比较困难，这就要求我们必须提高读图、识图、添加必要辅助线的能力．对计算问题则要灵活使用有关定理，掌握相似三角形的性质定理．[ : ]‎ ‎1．相似三角形的判定定理 判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似；‎ 判定定理2：三边对应成比例的两个三角形相似；‎ 判定定理3：两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．[ : ]‎ ‎2．相似三角形的性质定理 性质定理1：相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比；‎ 性质定理2：相似三角形的面积比等于相似比的平方．‎ 结论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．‎ 三、射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项．‎ ‎***********‎ 一、圆周角、弦切角和圆的切线 ‎1．圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．‎ ‎2．圆心角定理 圆心角的度数等于它所对弧的度数．‎ 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．‎ 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．‎ ‎3．弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．‎ ‎4．圆的切线的性质及判定定理 性质定理　圆的切线垂直于经过切点的半径．‎ 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．‎ 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．‎ 判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．‎ 二、圆内接四边形的性质与判定定理 性质定理1：圆的内接四边形的对角互补．‎ 性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角． ‎ 判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．‎ 判定定理的推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．‎ 三、与圆有关的比例线段 ‎1．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．‎ ‎2．割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．‎ ‎3．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．‎ ‎4．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这点的连线平分两条切线的夹角．‎ ‎3.讲典例 ‎【例1】【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数 （理）】如图，已知为⊙的直径，直线与⊙相切于点， 垂直于点. 若，求切点到直径的距离．‎ ‎【答案】4‎ ‎【趁热打铁】【福建省2016届高三毕业班总复习（几何选讲）单元过关平行性测试卷】如图， ‎ 是圆的切线，切点为， 是过圆心的割线且交圆于点，过作的切线交于点．‎ 求证：（1）；（2）．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；‎ ‎【解析】试题分析：（1）要证，即证为中点，则证，即证；（2）根据（1）的结论，再结合可得；‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵是圆的切线，∴，‎ 连结，则，‎ ‎∵是圆的切线，∴，‎ 又，∴，∴，则，‎ 而，∴，∴，‎ ‎（2）将代入得，故． ‎ 考点：1．圆的切线；2．切割线定理；‎ ‎【例2】【江苏省徐州市2017届高三信息卷数 （理）试题】如图，点， ， ， 在圆上， ， 的延长线交于点， ， 交于点，且．若， ，求的长．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：利用题意结合圆的性质和相似三角形的性质可得DF=1.‎ 试题解析： ‎ 因为，所以．‎ 因为，所以．‎ 因为， ，‎ 所以，又．‎ 所以，故．‎ 所以，又因为，‎ 所以∽，则．‎ 又因为， ，所以．‎ ‎【趁热打铁】【江苏省苏锡常镇四市2017届高三教 情况调研（二） （5月）】如图，直线切圆于点 ‎，直线交圆于， 两点， 于点，且，求证： .‎ ‎【答案】见解析 ‎4.讲方法 ‎1．在使用直角三角形射影定理时，要 会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．‎ ‎2．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法．[ ‎ ‎3.圆周角定理与弦切角定理多用于证明角的关系，从而证明三角形全等或相似，也可用于求线段的长或角的大小及与圆的切线有关的问题．‎ ‎4.利用其性质或判定定理解决四点共圆问题时，要弄清四边形的外角和它的内对角的位置．注意圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及与垂径定理的联系与应用．[ : _ _ ]‎ ‎5.相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明，解决问题时要注意相似三角形的知识及相关圆的性质的综合应用．‎ ‎5.讲易错 ‎【题目】【2015高考广东，理15】（几何证明选讲选作题）如图1，已知是圆的直径，，是圆的切线，切点为，，过圆心做的平行线，分别交和于点和点，则 .‎ ‎【错因】不能正确审题分析图形中的线段关系，适当添加辅助线段. 本题连接，则容易得到，并利用直角三角形的射影定理求得线段的值．‎ ‎【正解】如下图所示，连接，因为，又，所以，又为线段的中点，所以，在中，，由直角三角形的射影定理可得即，故应填入．‎ 考向二 矩阵与变换 ‎1.讲高考 ‎（1）考纲要求 ‎（1）了解矩阵的概念；‎ ‎（2）掌握二阶矩阵与平面向量；‎ ‎（3）了解常见的平面变换；‎ ‎（4）掌握矩阵的复合与矩阵的乘法；‎ ‎（5）掌握二阶逆矩阵 ‎（6）掌握二阶矩阵的特征值与特征向量；‎ ‎（7）掌握二阶矩阵的简单应用．‎ ‎（2）命题规律 综观各种类型的高考试卷，都有一题独立考查矩阵及其变换，主要是考查二阶逆矩阵与矩阵的乘法，二阶矩阵的特征值与特征向量，预测2018年，不会有变化.‎ 例1【2015高考江苏，理21B】已知，向量是矩阵的属性特征值的一个特征向量，矩阵以及它的另一个特征值.‎ 例2．已知矩阵 矩阵B的逆矩阵 ，求矩阵AB.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：先求逆矩阵的逆： ，再根据矩阵运算求矩阵AB.‎ 试题解析：解：设，则，‎ 即，‎ 故，解得，所以.‎ 因此，. ‎ ‎【考点】逆矩阵，矩阵乘法 ‎【名师点睛】矩阵乘法及逆矩阵需明确运算法则，实质是考查一种运算法则：，类似求矩阵特征值及特征向量也是如此.‎ ‎2.讲基础 ‎1．乘法规则 ‎(1)行矩阵[a‎11　‎a12]与列矩阵的乘法规则：‎ ‎[a‎11　‎a12]＝[a11×b11＋a12×b21]．‎ ‎(2)二阶矩阵与列向量的乘法规则：‎ ＝.‎ ‎(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：‎ ＝ ‎(4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律．即(AB)C＝A(BC)，AB≠BA，由AB＝AC不一定能推出B＝C.‎ 一般地两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算．‎ ‎2．常见的平面变换 ‎(1)恒等变换：因为＝，该变换把点(x，y)变成(x，y)，故矩阵表示恒等变换．‎ ‎(2)反射变换：因为＝，该变换把点(x，y)变成(－x，y)，故矩阵表示关于y轴的反射变换；类似地，，，分别表示关于x轴、直线y＝x和直线y＝－x的反射变换．‎ ‎(3)伸缩变换：因为＝，该变换把点(x，y)变成点(x，ky)，在此变换中，点的横坐标不变，纵坐标变成原 的k倍，故矩阵表示y轴方向上的伸缩变换；类似地，矩阵可以用 表示水平伸缩变换．‎ ‎(4)旋转变换：把点A(x，y)绕着坐标原点逆时针旋转α角的变换，对应的矩阵是.‎ ‎(5)切变变换：＝表示的是沿x轴的切变变换．沿y轴的切变变换对应的矩阵是.‎ ‎(6)投影变换：＝，该变换把所有横坐标为x的点都映射到了点(x,0)上，因此矩阵表示的是x轴上的投影变换．类似地，表示的是y轴上的投影变换．‎ ‎3．逆变换与逆矩阵 ‎(1)对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵；‎ ‎(2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－‎1A－1.‎ ‎4．特征值与特征向量 设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量．‎ ‎3．逆变换与逆矩阵 ‎(1)逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝1，则称变换ρ可逆，并且称σ是ρ的逆变换．‎ ‎(2)逆矩阵：设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使得BA＝AB＝E2，则称矩阵A可逆，或称矩阵A是可逆矩阵，并且称B是A的逆矩阵．‎ ‎(3)逆矩阵的性质 性质①：设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的．‎ 性质②：设A，B是二阶矩阵，如果A，B都可逆，则AB也可逆，且(AB)－1＝B－1A－1.‎ ‎ (4)定理：二阶矩阵A＝可逆，当且仅当det A＝ad－bc≠0.‎ ‎（5）逆矩阵与二元一次方程组 ‎①定理：如果关于变量x，y的二元一次方程组(线性方程组)的系数矩阵A＝可逆，那么该方程组有唯一解＝－1.‎ ‎②推论：关于变量x，y的二元一次方程组其中a，b，c，d是不全为零的常数，有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式＝0.‎ ‎4．特征值和特征向量 设矩阵A＝，如果存在数λ以及非零向量ξ，使得Aξ＝λξ，则称λ是矩阵A的一个特征值，ξ是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量．‎ 特征向量的性质 设λ1，λ2是二阶矩阵A的两个不同特征值，ξ1，ξ2是矩阵A的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于任意的非零平面向量α，设α＝t1ξ1＋t2ξ2(t1，t2为实数)，则对任意的正整数n，有Anα＝t1λξ1＋t2λξ2.‎ ‎3.讲典例 例1【江苏省苏州市2017-2018 年高三上 期期中调研】已知矩阵,求的值．‎ ‎【答案】‎ ‎【趁热打铁】【江苏省如东高级中 2017-2018 年高二上 期期中考试数 试题】已知矩阵的两个特征向量， ，若，求.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：‎ 设矩阵的特征向量对应的特征值为，特征向量对应的特征值为，可求得则由， ， ，进而可求得.‎ 试题解析：‎ 设矩阵的特征向量对应的特征值为，特征向量对应的特征值为，‎ 则由可解得： ， ， ‎ 又 ，‎ 所以 ‎ 例2【江苏省泰州中 2018届高三10月月考数 （理）】在平面直角坐标系中，设点 在矩阵对应的变换下得到点，求.‎ ‎【答案】.‎ ‎【趁热打铁】【江苏省东台市2017届高三5月模拟】在平面直角坐标系xOy中，直线在矩阵A＝对应的变换作用下得到的直线仍为，求矩阵A的逆矩阵．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】试题分析：利用题意列方程组可得矩阵A的逆矩阵.‎ 试题解析：‎ 设P是直线上任意一点，其在矩阵A＝对应的变换下 得到 =仍在直线上，‎ 所以得， ‎ 与比较得，解得，故A＝，‎ 求得逆矩阵． ‎ ‎4.讲方法 ‎1．矩阵相等实质上是矩阵对应元素相等，体现了方程思想，要注意矩阵对应元素相等．‎ ‎2．矩阵的乘法只满足结合律，不满足交换律和消去律．‎ ‎3．对于平面图形的变换要分清是伸缩、反射、还是切变变换．‎ ‎4．伸缩、反射、切变变换这三种几何变换称为初等变换，对应的变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或多次的复合．‎ ‎5．在解决通过矩阵进行平面曲线的变换时，变换矩阵可以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚，防止混淆．‎ ‎6．曲线(或点)经过二阶矩阵变换后的曲线(或点)的求法，类似于平面解析几何中的代入法求轨迹，此类问题的关键是求对坐标之间的变换公式．‎ ‎7．求逆矩阵的常见方法 ‎(1)待定系数法：‎ 设A是一个二阶可逆矩阵，AB＝BA＝E2；‎ ‎(2)公式法：‎ ‎|A|＝＝ad－bc，有A－1＝，‎ 当且仅当|A|≠0；‎ ‎(3)从几何变换的角度求解二阶矩阵的逆矩阵；‎ ‎(4)利用逆矩阵的性质(AB)－1＝B－1A－1.‎ ‎8．求特征值和特征向量的方法 ‎(1)矩阵M＝的特征值λ满足(λ－a)(λ－d)－bc＝0，属于λ的特征向量a＝满足 M＝λ.‎ ‎(2)求特征向量和特征值的步骤：‎ ‎①解f(λ)＝＝0得特征值；‎ ‎②解⇔(λ－a)x－by＝0，取x＝1或y＝1，写出相应的向量．‎ ‎5.讲易错 ‎【题目】1．若矩阵M＝，N＝，求矩阵MN的逆矩阵．‎ ‎【错因】对矩阵与变换的关系理解错误，增加了计算量，又由于运算不细心出现错误．‎ ‎【正解】‎ 解：法一　∵M＝为一伸缩变换对应的矩阵，‎ ‎∴M－1＝.‎ 又∵N＝也为一伸缩变换对应的矩阵，‎ ‎∴N－1＝.‎ 由矩阵的性质知 ‎(MN)－1＝N－1M－1＝＝.‎ 法二：由已知，得MN＝ ‎∴MN的逆矩阵是(MN)－1＝ ‎【考点定位】逆矩阵与逆变换.‎ 考向三 坐标系与参数方程 ‎1.讲高考 ‎（1）考纲要求 ‎1．了解在平面直角坐标系下的伸缩变换．‎ ‎2．理解极坐标的概念，能进行极坐标和直角坐标的互化．‎ ‎3．能在极坐标系中给出简单图形(直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.‎ ‎（2）参数方程 ‎1．了解参数方程，了解参数的意义．‎ ‎2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．‎ ‎3．了解圆的平摆线、渐开线的形成过程，并能推导出它们的参数方程．‎ ‎（2）命题规律 综观各种类型的高考试卷，独立考查坐标系、参数方程有之，也有二者综合考查的题目，较多的是考查极坐标、参数方程与普通方程的互化，转化成普通方程下曲线位置关系的研究，预测2016年，不会有太大的变化.‎ 例1【2015高考江苏，理21C】已知圆C的极坐标方程为，求圆C的半径.‎ 例2【2015高考新课标2，理23】选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线（为参数，），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线．‎ ‎（Ⅰ）.求与交点的直角坐标；‎ ‎（Ⅱ）.若与相交于点，与相交于点，求的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）和；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为．联立解得或所以与交点的直角坐标为和．‎ ‎（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中．因此得到极坐标为，的极坐标为．所以，当时，取得最大值，最大值为．‎ ‎【考点定位】1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值．‎ ‎【名师点睛】（Ⅰ）将曲线与的极坐标方程化为直角坐标方程，联立求交点，得其交点的直角坐标，也可以直接联立极坐标方程，求得交点的极坐标，再化为直角坐标；（Ⅱ）分别联立与和与的极坐标方程，求得的极坐标，由极径的概念将表示，转化为三角函数的最大值问题处理，高考试卷对参数方程中参数的几何意义和极坐标方程中极径和极角的概念考查加大了力度，复习时要克服把所有问题直角坐标化的误区．‎ ‎2.讲基础 一、平面直角坐标系下的伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，‎ 称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．‎ 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换 表示．在伸缩变换下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．‎ 二、极坐标与直角坐标的互化 ‎ 设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面的关系式成立：或(θ与(x，y)所在象限一致)．‎ 三、参数方程和普通方程的互化 ‎1．参数方程和普通方程的互化 ‎(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．将参数方程化为普通方程需消去参数．‎ ‎(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程．‎ ‎2．几种常见的参数方程 ‎(1)圆的参数方程 若圆心在点M0(x0，y0)，半径为r，则圆的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(2)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(3)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(4)抛物线y2＝2px(p＞0)的参数方程为(t为参数)．‎ 四、直线的参数方程 利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法 经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：‎ ‎(1)t0＝；‎ ‎(2)|PM|＝|t0|＝；‎ ‎(3)|AB|＝|t2－t1|；‎ ‎(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.‎ ‎3.讲典例 ‎【例1】【江苏省前黄高级中 、如东高级中 、姜堰中 等五校2018届高三上 期第一次 情监测】在极坐标系中，直线和圆的极坐标方程为和.若直线和圆有且只有一个公共点，求的值.‎ ‎【答案】或.‎ ‎【趁热打铁】【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数 （理）】在极坐标系中，直线 与曲线 ()相切，求的值.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析： 先根据将直线与曲线极坐标方程化为直角坐标方程,再根据直线与圆相切得，解得的值.‎ 试题解析：解：以极点O为原点，极轴为轴建立平面直角坐标系，‎ 由，得，‎ 得直线的直角坐标方程为． ‎ 曲线，即圆，‎ 所以圆心到直线的距离为．‎ 因为直线与曲线（）相切，所以，即.‎ 点睛：(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式及直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如 的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以) 及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.‎ ‎【例2】【江苏省泰州中 2018届高三10月月考数 （理）】在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数， ），直线（为参数， ），求曲线上的动点到直线的距离的最小值.‎ ‎【答案】.‎ ‎【趁热打铁】【江苏省如皋市2017--2018 年度高三年级第一 期教 质量调研（三）数 （理）】在平面直角坐标系中，已知椭圆的参数方程为（为参数），以原点为极坐标系的极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程.设直线与椭圆相交于,求线段的长.‎ ‎【答案】‎ ‎4.讲方法 ‎(1)在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)．‎ ‎(2)在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．‎ 注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标．‎ ‎(3)确定极坐标方程时要注意极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．‎ ‎(4)研究曲线的极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化．当条件涉及“角度”和“到定点距离”时，引入极坐标系将会给问题的解决带 很大的方便．‎ ‎(5)直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M‎0M|＝|t|.‎ ‎(6)极坐标与参数方程的综合应用规律 ‎1．化归思想的应用，即对于含有极坐标方程和参数的题目，全部转化为直角坐标方程后再求解．‎ ‎2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．‎ ‎（7）在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．‎ ‎5.讲易错 ‎【题目】【2015高考湖北，理16】在直角坐标系中，以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为 ( 为参数) ，与C相交于两点，则 .‎ ‎【错因】化参数方程为普通方程时，未注意到普通方程与参数方程的等价性而出错.‎ ‎【正解】因为，所以，所以，即；‎ 由消去得.联立方程组，解得或，‎ 即，，‎ 由两点间的距离公式得.‎ ‎【考点定位】极坐标方程、参数方程与普通方程的转化，两点间的距离.‎ 考向四 不等式选讲 ‎1.讲高考 ‎（1）考纲要求 ‎1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：‎ ‎①|a+b|≤|a|+|b|;‎ ‎②|a-b|≤|a-c|+|c-b|.‎ ‎2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:‎ ‎|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;‎ ‎|x-a|+|x-b|≥c.‎ ‎3.会用绝对值不等式、平均值不等式证明一些简单问题；能够利用平均值不等式求一些特定函数的最(极)值.‎ ‎4.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放缩法、数 归纳法．‎ ‎5.了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式．‎ ‎6.能利用均值不等式求一些特定函数的极值.‎ ‎（2）命题规律 较多考查绝对值不等式的解法、平均值不等式的应用，预测2016年高考题型及考查内容，不会有大的变化，复习时应注意基础知识、基本解法的巩固．‎ 例1【2015江苏，21 D】（选修4—5：不等式选讲）‎ 解不等式 ‎【答案】‎ ‎【考点定位】含绝对值不等式的解法 例2【2017江苏，21D】已知为实数，且证明 ‎【答案】见解析 ‎【解析】试题分析：由柯西不等式可得：，代入即得结论.‎ 试题解析：证明：由柯西不等式可得：，‎ 因为 所以，‎ 因此.‎ ‎【考点】柯西不等式 ‎【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn为实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0或存在一个数k，使ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立.‎ ‎2.讲基础 一、绝对值不等式的解法 ‎1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ‎(1)若c＞0，则|ax＋b|≤c等价于－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c等价于ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a，b的值解出即可．‎ ‎(2)若c＜0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.‎ ‎2．|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)(c＞0)，|x－a|－|x－b|≤c(或≤c)(c＞0)型不等式的解法 可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解．‎ 二、比较法证明不等式 [ : ]‎ ‎(1)求差比较法：‎ 知道a>b⇔a－b>0，ab只要证明a－b>0即可，这种方法称为求差比较法．‎ ‎(2)求商比较法：‎ 由a>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b，只要证明>1即可，这种方法称为求商比较法．‎ 三、综合法与分析法 ‎1．综合法 利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法．‎ ‎2．分析法 证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法．‎ ‎3．平均值不等式 定理：如果a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．‎ 我们称为正数a，b，c的算术平均值，为正数a，b，c的几何平均值，定理中的不等式为三个正数的算术—几何平均值不等式，简称为平均值不等式．‎ ‎4．一般形式的算术—几何平均值不等式 如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．‎ ‎3.讲典例 ‎【例1】【湖北宜昌一中、龙泉中 2016届高三年级十月联考24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 ‎ 已知函数．‎ ‎ （Ⅰ）解不等式；‎ ‎ （Ⅱ）若，且，求证：．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析．（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）这是含绝对值的不等式工，解法是由绝对值的定义对变量的范围进行分类讨论以去掉绝对值符号，化为普通的不等式（不含绝对值）；（Ⅱ）不等式为，可两边平方去掉绝对值符号，再作差可证．‎ 考点：含绝对值不等式的解法，绝对值不等式的证明，分析法．‎ ‎【趁热打铁】【西藏日喀则地区一高2015 年第一 期10月检测24】（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设．‎ ‎（1）求的解集；‎ ‎（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ；（2）．‎ ‎（2）‎ 当且仅当时，取等号．…………………………8分 由不等式对任意实数恒成立，可得 解得：或．‎ 故实数的取值范围是…………………………10分 考点：1、绝对值不等式的解法；2、函数恒成立问题．‎ ‎【例2】【黑龙江牡丹江市一中2016届高三10月月考22】（本小题满分10分）（选修）已知函数 ‎（1）解不等式； ‎ ‎（2）对任意，都有成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）{|6} ；（2）-2或4。‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）绝对值不等式的解题思路是去绝对值，然后再求解。而去绝对值的方法是零点分段法，即令每个绝对值项等于零得，x=-2,x=1,则全体实数被-2，1分为三段去绝对值并分别求解。‎ ‎（2）数形结合，直观的找到满足题意的条件。‎ 试题解析：（1）-2 当时，, 即，∴；‎ ‎4‎ ‎3‎ x y 当时，,即,∴‎ 当时，, 即, ∴16‎ 综上，{|6} ………5分 ‎ ‎（2） 函数的图像如图所示：‎ 令，表示直线的纵截距，当直线过(1,3)点时，；‎ ‎∴当-2，即-2时成立； …………………8分 ‎ 当，即时，令， 得,‎ ‎∴2+,即4时成立，综上-2或4。 …………………10分 考点：解绝对值不等式；‚由不等关系求参数范围。‎ ‎【趁热打铁】【辽宁省抚顺市第一中 2016届高三10月月考24】（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若存在实数x，使得，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）不等式的解集为；（Ⅱ）.‎ 考点：解绝对值不等式；‚存在性问题求参数.‎ ‎4.讲方法 ‎(1)零点分区间法的一般步骤 ‎①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；‎ ‎②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；‎ ‎③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；‎ ‎④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．‎ ‎(2)利用绝对值的几何意义 由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)或|x－a|－|x－b|≥c(c＞0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．‎ ‎(3)|f(x)|＞g(x)，|f(x)|＜g(x)(g(x)＞0)型不等式的解法 ‎(a)|f(x)|＞g(x)⇔f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)．‎ ‎(b)|f(x)|＜g (x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)．‎ ‎(4)证明绝对值不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.主要的三种方法 a．利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．‎ b．利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．‎ c．转化为函数问题，数形结合进行证明．‎ ‎(5)绝对值不等式的综合应用 a．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．‎ b．f(x)＜a恒成立⇔f(x)max＜a.‎ f(x)>a恒成立⇔f(x)min＞a.‎ ‎(6)利用综合法证明不等式时，应注意对已证不等式的使用，常用的不等式有：(1)a2≥0；(2)|a|≥0；(3)a2＋b2≥2ab；它的变形形式又有(a＋b)2≥4ab，≥2等；(4)≥(a≥0，b≥0)，它的变形形式又有a＋≥2(a>0)，＋≥2(ab>0)，＋≤－2(ab<0)等．‎ ‎(7)分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接“关键词”．‎ ‎5.讲易错 ‎【题目】【2015高考福建，理21】选修4-5：不等式选讲 已知，函数的最小值为4．‎ ‎(Ⅰ)求的值；‎ ‎(Ⅱ)求的最小值．‎ ‎【错因】当的系数相等或相反时，可以利用绝对值不等式求解析式形如的函数的最小值，以及解析式形如的函数的最小值和最大值，否则去绝对号，利用分段函数的图象求最值．利用柯西不等式求最值时，要注意其公式的特征，以出现定值为目标．‎ ‎【正解】(Ⅰ)因为，当且仅当时，等号成立，又，所以,所以的最小值为,‎ 所以．‎ ‎(Ⅱ)由(1)知，由柯西不等式得 ‎,‎ 即.‎ 当且仅当,即时，等号成立 所以的最小值为.‎ ‎【考点定位】1、绝对值三角不等式；2、柯西不等式．‎