黑龙江省双鸭山市第一中学2020届高三上学期12月月考数学（理）试题

黑龙江省双鸭山市第一中学2020届高三上学期12月月考数学（理）试题

双鸭山市第一中学 2019-2020 学年度上学期高三(理科)数学月考试题 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1. 是虚数单位， 则 ( ) A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据复数的除法运算求出 的代数形式，然后再求出 ． 【详解】由题意得 ， ∴ ． 故选 B． 【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模，解题的关键是正确进行复数的运算，属于简 单题． 2.集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 通过解不等式分别得到集合 ，然后再求出 即可． 【详解】由题意得 ， ， ∴ ． 故选 C． 【点睛】解答本题的关键是正确得到不等式的解集，需要注意的是在解对数不等式时要注意 i 4 1 iz i = − | |z = 2 2 4 2 z z 4 4 (1 ) 2 (1 ) 2 21 (1 )(1 ) i i iz i i ii i i += = = + = − +− − + 2 2| | ( 2) 2 2 2z = − + = { | 2lg 1}A x x= < { }2| 9 0B x x= − ≤ A B = [ 3,3]− (0, 10) (0,3] [ 3, 10)− ,A B A B∩ { } { }1| 2lg 1 | lg | 0 102A x x x x x x = < = < = < <   { } { }2| 9 | 3 3B x x x x= ≤ = − ≤ ≤ { } ( ]| 0 3 0,3A B x x∩ = < ≤ = 定义域的限制，这是容易出现错误的地方，属于基础题． 3.已知向量 ， ， ，则 与 的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意先求出向量 与 的数量积，再根据数量积的定义求出夹角的余弦值，进而得到夹角 的大小． 【详解】∵ ， ∴ ． 设 与 的夹角为 θ，则 ， 又 ， ∴ ， 即 与 的夹角为 ． 【点睛】向量的数量积为求解夹角问题、垂直问题及长度问题提供了工具，在求夹角时首先 要求出两向量的数量积，进而得到夹角的余弦值，容易忽视的问题是忘记夹角的范围，属于 基础题． 4.为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为 200 的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各 100 人；男性 120 人，女性 80 人，绘制不同群体中 倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，如图所示，其中阴影部分表示倾向 选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是( ) A. 是否倾向选择生育二胎与户籍有关 B. 否倾向选择生育二胎与性别有关 C. 倾向选择生育二胎的人群中，男性人数与女性人数相同 是 2a = 1b = ( )2 2a a b⋅ − =   a b 30° 60° 90° 150° a b ( ) 2· 2 2 · 4 2 · 2a a b a a b a b− = − = − =       · 1a b = a b · 1 2| || | a bcos a b θ = =   0 180θ° ≤ ≤ ° 60θ = ° a b 60° D. 倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数少于城镇户籍人数 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意，通过阅读理解、识图，将数据进行比对，通过计算可得出 C 选项错误． 【详解】由比例图可知，是否倾向选择生育二胎与户籍、性别有关，倾向选择不生育二胎的 人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数， 倾向选择生育二胎的人员中，男性人数为 人，女性人数为 人，男 性人数与女性人数不相同，故 C 错误，故选：C． 【点睛】本题主要考查了条形图的实际应用，其中解答中认真审题，正确理解条形图所表达 的含义是解答的关键，着重考查了阅读理解能力、识图能力，属于基础题. 5.设变量 满足约束条件 则 的最大值为（ ） A. B. -12 C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数 z＝x﹣2y 为直线方程的斜截式，可知当直线在 y 轴上的 截距最小时 z 最大，结合图象找出满足条件的点，联立直线方程求出点的坐标，代入目标函 数可求 z 的最大值． 【详解】满足约束条件 的可行域如下图所示： 0.8 120 96× = 0.6 80 48× = ,x y 1 0 0 , 2 4 0 x y x y x y − − ≤  + ≥  + − ≤ 2z x y= − 3 2 1 0 0 , 2 4 0 x y x y x y − − ≤  + ≥  + − ≤ 由图可知，当直线 过可行域内点 C 时直线在 y 轴上的截距最小，z 最大． 联立 ，解得 ． 即 C（ ， ）． ∴目标函数 z＝x﹣2y 的最大值为 ﹣2×（ ）＝ ． 故选：A． 【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，关键是正确作出可 行域，是中档题． 6.正项等差数列 的前 和为 ，已知 ，则 =（ ） A. 35 B. 36 C. 45 D. 54 【答案】C 【解析】 【分析】 由等差数列 通项公式得 ，求出 ，再利用等差数列前 项和公式能 求出 . 【详解】 正项等差数列 的前 项和 ， ， ， 2 2 x zy = − 1 0 x y x y − =  + = 1 2 1 2 x y  =  = − 1 2 1 2 − 1 2 1 2 − 3 2 { }na n nS 2 3 7 5 15 0a a a+ − + = 9S { }na 2 3 7 5 15 0a a a+ − + = 5a n 9S  { }na n nS 2 3 7 5 15 0a a a+ − + = 2 5 52 15 0a a∴ − − = 解得 或 （舍）， ，故选 C. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题.解等差数列问题要注意应用 等差数列的性质 （ ）与前 项和的关系. 7.设 是两条不同的直线, 是两个不同的平面, ,则“ ”是 “ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分 又不必要条件 【答案】A 【解析】 若 或 ，此时 或 与 相交，即必要性不成立，若 ，即充分性成立，故 是 的充分不必 要条件，故选 A. 8.已知实轴长为 2 的双曲线 C： 的左、右焦点分别为 F1（﹣2，0）， F2（2，0），点 B 为双曲线 C 虚轴上的一个端点，则△BF1F2 的重心到双曲线 C 的渐近线的距离 为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求出 a，b，c 得到三角形的重心坐标，求出双曲线的渐近线方程，然后利用点到直线的距离 求解即可． 【详解】实轴长为 2 的双曲线 C： 的左、右焦点分别为 F1（﹣2， 0），F2（2，0），可得 a＝ ，c＝2，则 b＝ ，不妨 B（0， ），则△BF1F2 的重心 5 5a = 5 3a = − ( )9 1 9 5 9 9 9 5 452S a a a∴ = + = = × = 2p q m n ra a a a a+ = + = 2p q m n r+ = + = n ,a b ,α β ,a bα β⊂ ⊥ / /α β a b⊥  , ,a b b aβ β⊥ ⊥ ∴  a β⊂ α β∥ α β , , , ,b b a a bα β β α α⊥ ∴ ⊥ ⊂ ∴ ⊥   α β∥ a b⊥  2 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b − = > > 1 3 2 3 3 3 2 3 2 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b − = > > 2 2 2 G ，双曲线的渐近线方程为：y＝x 的距离为：d＝ ． 故选：A． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力． 9.将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，则函数 的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求得 的解析式，然后求得 的解析式，利用降次公式和辅助角公式进行化 简，根据三角函数的取值范围求得 的最大值. 【 详 解 】 由 题 可 知 ， ， 所 以 的最大值为 .故选 A. 【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查三 角函数最大值的求法，属于中档题. 10.在 中， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 ，则该三角形的外接圆的半径 为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 20, 3       2 13 32 = ( ) sinf x x= 4 π ( )y g x= ( ) ( )f x g x 2 2 4 + 2 2 4 − 1 2 ( )g x ( ) ( )⋅f x g x ( ) ( )⋅f x g x ( ) sin 4g x x π = −   ( ) ( ) sin sin4y f x g x x x π = = −   22 2sin sin cos2 2x x x= − = 2 2sin 22 2sin2 2cos2 4 4 4 xx x π − + − −  = ( ) ( )y f x g x= 2 2 4 + ABC∆ A B C， ， , ,a b c 3B π= 2AB BC⋅ = −  sin sin 2sinA C B+ = R 4 3 3 2 3 3 3 2 【解析】 【分析】 根据向量的数量积的运算，求得 ，由正弦定理和余弦定理，列出方程求得 ， 进而得到 ，再利用正弦定，即可求解球的半径. 【详解】由题意，因为 ，所以 ． 由余弦定理得： . 又因为 ， 所以 ，所以 ， 所以 ，所以 ，所以 ，所以 ， 所以 ， 所以 . 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及利用正、余弦定理解三角形问题，其中 合理应用正弦定理和余弦定理列出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基 础题. 11.已知点 是抛物线 对称轴与准线的交点，点 为抛物线的焦点，点 在抛物线 上且满足 ，若 取得最大值时，点 恰好在以 为焦点的椭圆上，则椭圆的 离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设 ，利用两点间的距离公式求出 的表达式，结合基本不等式的性质求出 的最大 值时的 点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可. 【详解】设 ，因为 是抛物线 的对称轴与准线的交点，点 为抛物线的焦点， 所以 ， 的 4ac = 4a c+ = 2b = 1cos 22AB BC ac B acπ⋅ = − = − = −  （ ） 4ac = 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − sin sin 2sinA C B+ = 2a c b+ = 2 2 34 a c a c ac + = + −（ ） （ ） 23 124 a c+ =（ ） 2 16a c（ ）+ = 4a c+ = 2b = 0 2 4 32 sin sin 60 3 bR B = = = 2 3 3R = A 2 4x y= F P PA m PF= m P ,A F 3 1− 2 1− 5 1 2 − 2 1 2 − ( ),P x y m m P ( ),P x y A 2 4x y= F ( ) ( )0, 1 , 0,1A F− 则 ， 当 时， ， 当 时， ， 当且仅当 时取等号， 此时 ， ， 点 在以 为焦点的椭圆上， ， 由椭圆的定义得 ， 所以椭圆的离心率 ，故选 B. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是 一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出 ，从而求出 ;②构造 的齐次式，求出 ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解． 12.已知函数 有且只有一个极值点，则实数 构成的集合是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意，求得函数的导数 ，令 ，得 ，设 ,利用导 数求得函数 的单调性和极值，根据函数 有且只有一个极值点，转化为直线 与函数 的图象有一个交点，即可求解. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 22 1 1 4 1 1 4 y x y yPAm PF y x y y + + + += = = − + − + 2 41 2 1 y y y = + + + 0y = 1m = 0y > 2 4 4 41 1 1 212 1 12 2 2 ym y y y yy y = + = + ≤ + =+ + + + + ⋅ 1y = ∴ ( )2,1P ± 2 2, 2PA PF= =  P ,A F 2 2c AF= = ∴ 2 2 2 2a PA PF= + = + 2 2 2 12 2 2 2 c ce a a = = = = − + ,a c e ,a c e 21( ) ln 2f x ax x x a= − + a { | 0}a a < { | 0}a a > { | 1}a α < { | 1}a a > f x′（ ） 0f x′ =（ ） 1 ln xa x = + ( ) 1 ln xg x x = + ( )g x ( )f x y a= g x（ ） 【详解】由题意，求得函数的导数 ，令 ， 得 ，即 . 设 ,则 ， 当 时，得 ；当 时，得 或 ， 所以函数 在区间 和 上单调递减，在区间 上单调递增. 因为函数 有且只有一个极值点， 所以直线 与函数 的图象有一个交点，所以 或 . 当 时 恒成立，所以 无极值，所以 . 【点睛】本题主要考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中根据题意把函数 有且 只有一个极值点，转化为直线 与函数 的图象有一个交点是解答的关键，着重考查 了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13.二项式 的展开式中 的系数是________. 【答案】-10 【解析】 分析】 根据二项式展开式的公式得到 ，当 r=3 时，可得到最终的结果. 【详解】由已知得 ，故当 时， ， 于是 的系数为 . 故答案为：-10. 【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略： (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 项，再由特定项的特点求出 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 项，由 特定项得出 值，最后求出其参数. 【 1 lnf x a x x（ ） （ ）′ = + − 0f x′ =（ ） 1 ln 0a x x+ − =（ ） 101 ln xa x xx e = > ≠+ （ ， ） 101 ln xg x x xx e = > ≠+（ ） （ ， ） 2 ln 1 ln xg x x ′ = +（ ）（ ） 0g x′ >（ ） 1x > 0g x′ <（ ） 10 x e < < 1 1xe < < g x（ ） 10 e （ ，） 1 1e （ ，） 1（， ）+ ∞ 21ln 2f x ax x x a= − +（ ） y a= 101 ln xg x x xx e = > ≠+（ ） （ ， ） 0a < 1a = 1a = ln 1 0f x x x（ ）′ = − + ≤ y f x= （ ） 0a < ( )f x y a= g x（ ） 51( )x x − 2x− ( ) 5 3 2 1 5 1 r rr rT C x − + = − ( ) ( ) 5 35 2 1 5 5 1 1 r rr rr r rT C x C xx −− +  = − = −   3r = 5 3 22 r− = − 2x− ( )33 5 1 10C − = − 1r + r 1r + r 14.已知 f（x）为奇函数，当 x≤0 时， ，则曲线 y＝f（x）在点（1，-4）处 的切线方程为_______. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意，根据函数的奇偶性，求得 ，再根据导数的几何意义，即可 求解曲线在点 处的切线方程，得到答案. 【详解】由题意，设 ，则 ，则 . 又由函数 是奇函数，所以 ，即 ， 则 ，所以 ，且 ， 由直线的点斜式方程可知 ，所以 . 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求得在某点处的切线方程，其中解答中熟记导 数的几何意义的应用，合理、准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基 础题. 15.已知数列 满足 ，则 的前 50 项的和为______. 【答案】1375 【解析】 因 为 ， 所 以 ， 则 ， 即 ， 又 ，应填答案 。 16.三棱锥 中，底面 满足 ， ， 在面 的射影为 的中点，且该三棱锥的体积为 ，当其外接球的表面积最小时，P 到面 ABC 的距离为 2( ) 3f x x x= − 5 1 0x y+ − = 2f x x 3x x 0= − − >（ ） （ ） ( )1, 4− 0x > 0x− < 2 2f x x 3 x x 3x− = − − − = +（ ）（ ） （ ） ( )f x 2f x x 3x− = +（ ） 2f x x 3x x 0= − − >（ ） （ ） f x 2x 3（ ）= − −′ f 1 2 3 5= −′ − = −（） f 1 4= −（） y 4 5 x 1 5x 5+ = − − = − +（ ） 5x y 1 0+ − = { }na ( )2 4 cos πna n n n= + { }na 24( 1) ( 1)n n na n n= − + − 50 1 2S S S= + 1 2 2 2 50 2 1 ( 1) 1 ( 1) 2 ( 1) 50S = − × + − × +⋅⋅⋅+ − 2 2 2 1 1 2 3 ( 49) 50 1 2 3 50 1275S = − + − +⋅⋅⋅+ − + = + + +⋅⋅⋅+ = 2 4[( 1) 1 1 2 ( 1) 3 50] 4[2 1 4 3 50 49] 4 25 100S = − × + × + − × +⋅⋅⋅+ = − + − + − = × = 50 1 2 1275 100 1375S S S= + = + = 1375 P ABC− ABC∆ BA BC= 2ABC π∠ = P ABC AC 9 2 _______. 【答案】3 【解析】 【分析】 设 AB＝a，棱锥的高为 h，根据体积得出 a 与 h 的关系，根据勾股定理得出外接球半径 R 关于 h 的表达式，利用基本不等式得出 R 最小值时对应的 h 的值即可． 【详解】解：设 AC 的中点为 D，连接 BD，PD，则 PD⊥平面 ABC， ∵△ABC 是等腰直角三角形，∴外接球的球心 O 在 PD 上， 设 AB＝BC＝a，PD＝h，外接球半径 OC＝OP＝R， 则 OD＝ ，CD AC a， ∵VP﹣ABC ，∴a2 ， ∵CD2+OD2＝OC2，即（h﹣R）2 a2＝R2， ∴R 3 ， 当且仅当 即 h＝3 时取等号， ∴当外接球半径取得最小值时，h＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了棱锥的结构特征，棱锥与球的位置关系，考查空间想象能力与计算能力， 属于中档题． 三、解答题 h R﹣ 1 2 = 2 2 = 21 1 1 9 3 3 2 2ABCS h a h= ⋅ = ⋅ ⋅ =  27 h = 1 2 + 2 2 2 2 1 27 272 2 2 4 4 4 4 h a h h h h h h + = = + = + + ≥ 3 27 9 64 4 = 2 27 4 4 h h = 17.如图，在四棱柱 中，侧棱 底面 ， ， ， ， ，且点 和 分别为 和 的中点． （1）求证： 平面 ； （2）求二面角 的正弦值． 【答案】(1)见解析(2) 【解析】 试题分析：（Ⅰ）以 A 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能证明 MN∥平面 ABCD． （Ⅱ）求出两个平面的法向量，可计算两个平面所成二面角的余弦值的大小，再求正弦值即 可． 试题解析： （1）证明：如图，以 A 为坐标原点，以 AC、AB、AA1 所在直线分别为 x、y、z 轴建系， 则 A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，﹣2，0）， A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，﹣2，2）， 又∵M、N 分别为 B1C、D1D 的中点，∴M（1， ，1），N（1，﹣2，1）． 由题可知： =（0，0，1）是平面 ABCD 的一个法向量， =（0，﹣ ，0）， ∵ • =0，MN⊄平面 ABCD，∴MN∥平面 ABCD； （2）解：由（I）可知： =（1，﹣2，2）， =（2，0，0）， =（0，1，2）， 设 =（x，y，z）是平面 ACD1 的法向量， 由 ，得 ， 1 1 1 1ABCD A B C D− 1AA ⊥ ABCD AB AC⊥ 1AB = 1 2AC AA= = 5AD CD= = M N 1B C 1D D / /MN ABCD 1 1D ACB− 3 10 10 取 z=1，得 =（0，1，1）， 设 =（x，y，z）是平面 ACB1 的法向量， 由 ，得 ， 取 z=1，得 =（0，﹣2，1）， ∵cos＜ ， ＞= =﹣ ，∴sin＜ ， ＞= = ， ∴二面角 D1﹣AC﹣B1 的正弦值为 ； 点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空 间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”， 求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 18.2017 年 9 月支付宝宣布在肯德基 KPRO 餐厅上线刷脸支付，也即用户可以不用手机，单 单通过刷脸就可以完成支付宝支付，这也是刷脸支付在全球范围内的首次商用试点.某市随机 抽查了每月用支付宝消费金额不超过 3000 元的男女顾客各 300 人，调查了他们的支付宝使用 情况，得到如下频率分布直方图： 若每月利用支付宝支付金额超过 2 千元 顾客被称为“支付宝达人”，利用支付宝支付金额不 的 的 超过 2 千元的顾客称为“非支付宝达人”. （I）若抽取的“支付宝达人”中女性占 120 人，请根据条件完成上面的 列联表，并判断 能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“支付宝达人”与性别有关. （II）支付宝公司为了进一步了解这 600 人的支付宝使用体验情况和建议，从“非支付宝达 人”“支付宝达人”中用分层抽样的方法抽取 8 人.若需从这 8 人中随机选取 2 人进行问卷调 查，求至少有 1 人是“支付宝达人”的概率. 附：参考公式与参考数据如下 ，其中 . 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（I）详见解析；（II） . 【解析】 【分析】 （I）由频率分布直方图得，“支付宝达人”的人数和男性的人数，得出 列联表，利用公 式，求得 的值，即可作出判断； （II）由题意及分层抽样得到所抽取的 8 人中，“支付宝达人”有 人，利用列举法求得基本 事件的总数和至少有一个“支付宝达人”所包含的基本事件的个数，利用古典概型及概率的 计算公式，即可求解. 【详解】（I）由频率分布直方图得，“支付宝达人”共有 600 （0.3+0.2） 0.5=150 人，故 “支付宝达人”中男性为 150-120=30 人， 列联表如下： 支付宝达人 非支付宝达人 合计 男性 30 270 300 2 2× 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + （ ） （ ）（ ）（ ）（ ） n a b c d= + + + 2 0P K k≥（ ） 0k 13 28 2 2× 2K 2 × × 2 2× 女性 120 180 300 合计 150 450 600 由表格数据，代入公式可得 的观测值 所以能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“支付宝达人”与性别有关. （II）由题意及分层抽样的特点可知，抽取的比例为 所以抽取的 8 人中，“支付宝 达人”有 人，分别记为 ；“非支付宝达人”有 6 人，分别记为 从这 8 人中选取两人，不同的取法有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 28 种. 其中至少有一个“支付宝达人”的取法有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 13 种. 故所求事件的概率 . 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及独立性检验的应用，其中解答中根 据题意得出 列联表，以及利用列举法列举出基本事件和要求事件的事件数，准确计算是 解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 19.已知数列 满足 （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）求数列 的前 项和 ． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 【解析】 2K 2600 270 120 180 30 72 10.828150 450 300 300k × × − ×= = >× × × （ ） 8 1 .600 75 = 1150 275 × = A B， a b c d e f， ， ， ， ， { }A B， { }A a， { }A b， { }A c， { }A d， { }A e， { }A f， { }B a， { }B b， { }B c， { }B d， { }B e， { }B f， { }a b， { }a c， { }a d， { }a e， { }a f， { }b c， { }b d， { }b e， { }b f， { }c d， { }c e， { }c f， { }d e， { }d f， { }e f， { }A B， { }A a， { }A b， { }A c， { }A d， { }A e， { }A f， { }B a， { }B b， { }B c， { }B d， { }B e， { }B f， 13 28P = 2 2× { }na 132 1 42 1 2 ( ), log2 2 2 nn n nn a aaa n N b a+ ∗ −+ + +…+ = ∈ = { }na n 1 1{ }b nb +⋅ n nT 2 1 4, 1 2 , 2n n na n− ==  ≥ 4 2 3 2 1nT n = − + 【分析】 （Ⅰ）由题意两式相减可得 ，注意检验 是否成立； （Ⅱ）利用裂项相消法求和即可. 【详解】（Ⅰ）当 时， ， 当 时由 可得 ， 两式相减得 ，即 ， 且上式对于 时不成立． 所以数列 的通项公式 ， （Ⅱ）因为 ， ， 所以 = … 【点睛】本题考查利用递推关系求通项公式，裂项相消法求和，考查转化能力与计算能力， 属于中档题. 20.椭圆 的离心率是 ，过点 P（0，1）做斜率为 k 的直线 l，椭 圆 E 与直线 l 交于 A，B 两点，当直线 l 垂直于 y 轴时 ． （1）求椭圆 E 的方程； （2）当 k 变化时，在 x 轴上是否存在点 M（m，0），使得△AMB 是以 AB 为底的等腰三角形， 若存在求出 m 的取值范围，若不存在说明理由． 1 22 nn n a − = 1n = 1n = 1 4a = 2n ≥ 132 1 2 1+ 2 32 2 2 nn n a aaa + −+ + + = − 3 12 1 2 2+ 2 32 2 2 nn n a aaa − −+ + + = − 1 22 nn n a − = 2 12 n na −= 1n = { }na 2 1 4, 1 2 , 2n n na n− ==  ≥ 11 1,n b= =时， 2 12 2n nn b −≥ =当 时， 1 1 4 1 12(2 1)(2 1) 2 1 2 1n nb b n n n n+  = = − ⋅ − + − +  1 2 2 3 1 1 1 1 n n n T b b b b b b + = + + +⋅ ⋅ ⋅ 2 1 1 1 1 1 12 2 21 3 3 5 5 7 2 1 2 1n n      = + − + − + + −     × − +      4 2 3 2 1n − + ( )2 2 2 2 1 0x yE a ba b + =： ＞ ＞ 5 3 3 3AB = 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)见解析。 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由椭圆的离心率为 得到 ，于是椭圆方程为 ．有根据题意得到 椭圆过点 ，将坐标代入方程后求得 ，进而可得椭圆的方程．（Ⅱ）假设存在 点 ，使得 是以 为底的等腰三角形，则点 为线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点．由题意得设出直线 的方程，借助二次方程的知识求得线段 的中点 的坐标， 进而得到线段 的垂直平分线的方程，在求出点 的坐标后根据基本不等式可求出 的取 值范围． 【详解】（Ⅰ）因为椭圆的离心率为 ， 所以 ，整理得 ． 故椭圆的方程为 ． 由已知得椭圆过点 ， 所以 ，解得 ， 所以椭圆的 方程为 ． （Ⅱ）由题意得直线 的方程为 ． 由 消去 整理得 ， 其中 ． 2 2 19 4 x y+ = 5 3 2 24 9b a= 2 2 2 2 14 9 x y a a + = 3 3 ,12       2 9a = ( ),0M m AMB∆ AB M AB AB C AB M m 5 3 2 2 51 3 c b a a = − = 2 24 9b a= 2 2 2 2 14 9 x y a a + = 3 3 ,12       2 2 927 1 4 4a a + = 2 9a = E 2 2 19 4 x y+ = l 1y kx= + 2 2 1 19 4 y kx x y = + + = y ( )2 24 9 18 27 0k x kx+ + − = 2 2 218 4 9( ) 4 27 ( ) 432(3 1) 0k k k∆ = + × × = + >+ 设 ， 的中点 则 ， 所以 ∴ ， ∴点 C 的坐标为 ． 假设在 轴存在点 ，使得 是以 为底的等腰三角形， 则点 为线段 的垂直平分线与 x 轴的交点． ①当 时，则过点 且与 垂直的直线方程 ， 令 ，则得 ． 若 ，则 ， ∴ ． 若 ，则 ， ∴ ． ②当 时，则有 ． 综上可得 ． 所以存在点 满足条件,且 m 的取值范围是 . 【点睛】求圆锥曲线中的最值或范围问题时，常用的方法是将所求量表示成某个参数的代数 式的形式，然后再求出这个式子的最值或范围即可．求最值或范围时一般先考虑基本不等式， 此时需要注意不等式中等号成立的条件；若无法利用基本不等式求解，则要根据函数的单调 性求解．由于此类问题一般要涉及到大量的计算，所以在解题时要注意计算的合理性，合理 ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y AB ( )0 0,C x y 1 2 1 22 2 18 27,4 9 4 9 kx x x xk k + = − = −+ + 1 2 0 2 9 2 4 9 x x kx k + −= = + ， 0 0 2 41 4 9y kx k = + = + 2 2 9 4,4 9 4 9 kC k k −   + +  x ( ),0M m AMB∆ AB ( ),0M m AB 0k ≠ C l 2 2 1 9 4 4 9 4 9 ky xk k k  = − + + + +  0y = 2 5 5 44 9 9 kx m k kk = = − = −+ + 0k > 5 5 5 4 1249 2 9k kk k ≤ = + × 5 012 m− ≤ < 0k < 5 5 5 4 4 129 9k kk k = − ≥ − + − − 50 12m< ≤ 0k = 0m = 5 5 12 12m− ≤ ≤ M 5 5,12 12  −   利用变形、换元等方法进行求解． 21.已知 . (1)当 时，① 在 处的切线方程；②当 时，求证： . (2)若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【试题分析】（1）依据题设条件导数的几何意义建立方程求出参数，进而构造函数运用导数 知识推证；（2）先将不等式问题进行等价转化，再构造函数借助导数与函数单调性之间的关 系进行分析探求： （1） 时， ， ① ， ，所以 在 处的切线方程为 ②设 所以， 在 上递增，所以 所以， 在 上递增，所以 （2）原问题 使得 设 在 单调增 当 时， 在 单调增， ( ) ( )2e lnxf x x a= + + 1a = ( )f x ( )0,1 0x ≥ ( ) ( )21f x x x≥ + + [ )0 0,x ∞∈ + ( ) ( ) 2 0 0 02lnf x x a x+ +＜ a a e> 1a = ( ) ( )2 ln 1xf x e x= + + ( ) 2 12 1 xf x e x ′ = + + ( )0 1f = ( ) 10 2 31f = + =′ ( )f x ( )0,1 3 1y x= + ( ) ( ) ( ) ( )22 ln 1 1 0xF x e x x x x= + + − + − ≥ ( ) ( )2 12 2 1 11 xF x e xx −+ ′ = + + − ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 l l4 2 2 1 0 1 1 x x x xF x e e e e x x   = − − = − + − + >  + +   ′′ ( )F x′ [ )0,+∞ ( ) ( )0 0F x F′ ′≥ = ( )F x [ )0,+∞ ( ) ( )0 0F x F≥ = 0 0x⇔ ∃ ≥ ( )02 2 0 0ln 0xe x a x− + − < ( ) ( )2 2lnxu x e x a x= − + − ( ) 2 12 2xu x e xx a = − −+ ′ ( ) 2 2 14 2 0xu x e x a ′ = + − >+（ ） ( )u x∴ ′ [ )0,+∞ ( ) ( ) 10 2u x u a ∴ ′≥ = −′ 1 1 2a ≥ ( ) 10 2 0u a = − ≥′ ( )u x∴ [ )0,+∞ ( ) ( )min 0 1 ln 0u x u a∴ = = − < 当 时， 设 另 在 单调递减，在 单调递增 设 在 单调递增 在 单调递增 当 时， 恒成立，不合题意 点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，设置了两道问题，旨在考查导数知识在研究函数 的单调性、极值（最值）等方面的综合运用。解答本题第一问时，先依据题设条件导数的几 何意义建立方程求出参数，进而构造函数运用导数知识进行分析推证，使得问题获解；解答 a e∴ > 2 1 2a < ( ) 1ln ln 2x a x + < +   ( ) 1 1ln ,( 0)2 2h x x x x = − − + >   ( ) 1 1 21 1 1 2 2 x h x x x − = =′ − + + ( ) ( )1 10 , 0 02 2h x x h x x′ ′> ⇒ > < ⇒ < < ( )h x∴ 10, 2      1 ,2  +∞   ( ) 1 02h x h ∴ ≥ =   ( ) 2 2 1 ,( 0)2 xg x e x x x = − − − >   ( ) 22 2 1xg x e x′ = − − ( )' 24 2 4 2 0xg x e=′ − > − > ( )g x∴ ′ ( )0,+∞ ( ) ( )0 1 0g x g∴ ′> = >′ ( )g x∴ ( )0,+∞ ( ) ( )0 0g x g∴ > > ( )2 2 1 1ln ln2 2 xe x x x x a ∴ − > − > + > +   ∴ 1 2a < ( ) ( ) 22lnf x x a x> + + 第二问时，先将不等式进行等价转化，再构造函数借助导数与函数单调性之间的关系进行分 析探求，从而使得问题获解。 选考题：本小题满分共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答. 22.已知极点为直角坐标系的原点，极轴为 轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线 ， （ 为参数）. （Ⅰ）求曲线 上的点到曲线 距离的最小值； （Ⅱ）若把 上各点的横坐标都扩大原来为原来的 2 倍，纵坐标扩大原来的 倍，得到曲 线 ，设 ，曲线 与 交于 ， 两点，求 . 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）求出曲线 C1 的直角坐标方程为：x2+y2＝1，C2：y＝x+2，再求出圆心到直线距离，由此 能求出曲线 C1 上的点到曲线 C2 距离的最小值； （Ⅱ）利用伸缩变换得到 ，把 （ 为参数）化成标准方程 为： , 代入曲线 ，得 ．由此能求出|PA|+|PB|． 【详解】（Ⅰ） ，圆心为 ，半径为 ， 圆心到直线距离 ，所以 上的点到 的最小距离为 ； （Ⅱ）伸缩变换为 ，所以 把 （ 为参数）化成标准方程为： , x 1 : 1C ρ = 2 2 1: 2 1 x tC y t  = − = + t 1C 2C 1C 3 1C ′ ( )1,1P − 2C 1C ′ A B PA PB+ 2 1− 12 2 7 2 2 1 : 14 3 x yC ′ ′′ + = 2 2 1: 2 1 x tC y t  = − = + t ' 2 2 12 2 12 x t C y t  = −  = + ： ' 1C 27 2 2 10 0t t+ − = 2 2 1 : 1C x y+ = (0,0) 1 2 : 2C y x= + | 2 | 2 2 d = = 1C 2C 2 1− 2 3 x x y y = = ′ ′ 2 2 1 : 14 3 x yC ′ ′′ + = 2 2 1: 2 1 x tC y t  = − = + t ' 2 2 12 2 12 x t C y t  = −  = + ： 将 和 联立，得 .因为 【点睛】本题考查曲线上的点到直线的距离的最小值的求法，考查两线段和的求法，考查极 坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归 与转化思想、函数与方程思想，是中档题． 23.已知函数 , ． (1)当 时，求不等式 的解集； （2）若 ，都有 恒成立，求 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）当 时，f（x）＝|2x|+|2x+3|-2＝ ，分段解不等式即可． （2）f（x）＝|2x|+|2x+3|+m＝ ．当 时，得 ，当 时，得 ，利用恒成立求最值，可得 m 的取值范 围． 【详解】（1）当 m＝﹣2 时，f（x）＝|2x|+|2x+3|-2＝ ' 2C 1C′ 27 2 2 10 0t t+ − = 1 2 0t t < 2 1 2 1 2 1 2 1 2 12 2| | | | | | | | | | ( ) 4 7PA PB t t t t t t t t∴ + = + = − = + − ⋅ = ( ) 2 2 3f x x x m= + + + m R∈ 2m = − ( ) 3f x ≤ ( ),0x∀ ∈ −∞ ( ) 2f x x x ≥ + m 12, 2  −   3 2 2m ≥ − − 2m = − 4 1, 0 31, 02 34 5, 2 x x x x x   + ≥  − < <  − − ≤ − 33 , 02 34 3 , 2 m x x m x  + − < < − − + ≤ − 3 02 x− < < 23 m x x + ≥ + 3 2x ≤ − 25 3m x x ≥ + + 4 1, 0 31, 02 34 5, 2 x x x x x   + ≥  − < <  − − ≤ − 当 ，解得 ； 当 恒成立 当 解得﹣2 ， 此不等式的解集为 （2）当 x∈（﹣∞，0）时 f（x）＝|2x|+|2x+3|+m＝ ． 当 时，得 恒成立，由 当且仅当 即 时等号成立．∴ ， ∴ 当 时，得 ．∴ 恒成立，令 ， ， ∵ ，∴ 在 上是增函数． ∴当 时， 取到最大值为 ∴ . 又 ， 所以 【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法，考查利用恒成立求参数的问题，考查学生分析解 决问题的能力，属于中档题． 33 , 02 34 3 , 2 m x x m x  + − < < − − + ≤ − 3 02 x− < < 23 m x x + ≥ + 3 2x ≤ − 24 3x m x x − − + ≥ + 25 3m x x ≥ + + 25 3y x x = + + 22 2 2 8 375 5 5 9 93 2 y x = − ≥ − = − =     ′ − 35 6 − 35 173 3 2 26 6 − = − − < − − 3 2 2m ≥ − −