2018-2019学年山东省德州市高二下学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年山东省德州市高二下学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年山东省德州市高二下学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．设全集为，集合，，则（）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求解集合的补集，再求解的结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，则.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的补集、交集运算，难度较易.‎ ‎2．命题，，则为（）‎ A.， B.，‎ C.， D.，‎ ‎【答案】C ‎【解析】含有一个量词命题的否定方法：改变量词，否定结论.‎ ‎【详解】‎ 量词改为：，结论改为：，则，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查含一个量词命题的否定，难度较易.含一个量词命题的否定方法：改量词，否结论.‎ ‎3．设复数满足，则（）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】对于复数除法计算，通过分母实数化计算的值，再求的值.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的计算以及共轭复数的概念，难度较易.分式型复数计算，常用的方法是分母实数化.‎ ‎4．某所大学在10月份举行秋季越野接力赛，每个专业四人一组，其中计算机专业的甲、乙、丙、丁四位大学生将代表本专业参加拉力赛，需要安排第一棒到第四棒的顺序，四个人去询问教练的安排，教练对甲说：“根据训练成绩，你和乙都不适合跑最后一棒”；然后又对乙说：“你还不适合安排在第一棒”，仅从教练回答的信息分析，要对这四名同学讲行合理的比赛棒次安排，那么不同情形的种数共有（ ）‎ A.6 B.8 C.12 D.24‎ ‎【答案】B ‎【解析】这里将“乙”看做特殊元素，考虑“乙”的位置，再考虑甲的位置，运用分类加法去计算.‎ ‎【详解】‎ 根据条件乙只能安排在第二棒或第三棒；若“乙”安排在第二棒，此时有：种，若“乙”安排在第三棒，此时有：种，则一共有：种.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）排列组合中，遵循特殊元素优先排列的原则；‎ ‎（2）两个常用的计数原理：分类加法和分步乘法原理.‎ ‎5．函数的图象可能是（）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】先考虑函数的奇偶性，再考虑的正负.‎ ‎【详解】‎ 函数定义域为：，关于原点对称且，所以是偶函数，排除A、B；又，所以C符合.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 判断函数图象，可先从单调性、奇偶性方面分析，然后可以通过特殊值或者函数值正负再进行判断.‎ ‎6．已知正实数、、满足，，，则、、的大小关系是（）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】计算出的值，然后考虑的大小.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，则，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 指对式的比较大小，可以从正负的角度来分析，也可以从同指数的角度来分析大小.‎ ‎7．随着现代科技的不断发展，通过手机交易应用越来越广泛，其中某群体的每位成员使用微信支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用微信支付的人数，已知方差，，则期望（）‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ ‎【答案】A ‎【解析】服从二项分布，由二项分布的方差公式计算出的可能值，再根据 ‎，确定的值，再利用均值计算公式计算的值.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以或，‎ 又因为 ，则，解得，‎ 所以，则.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 二项分布的均值与方差计算公式：，.‎ ‎8．已知函数，，若存在2个零点，则的取值范围是（）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由于有两个零点，则图象与有两个交点，作出图象，讨论临界位置.‎ ‎【详解】‎ 作出图象与图象如图：‎ 当过点时，，将向下平移都能满足有两个交点，将向上平移此时仅有一个交点，不满足，又因为点取不到，所以.‎ ‎【点睛】‎ 分段函数的零点个数，可以用数形结合的思想来分析，将函数零点的问题转变为函数图象交点的个数问题会更加方便我们解决问题.‎ ‎9．某校组织《最强大脑》赛，最终、两队讲入决赛，两队各由3名选手组成，每局两队各派一名洗手，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者得0分.假设每局比赛队选手获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时队的得分高于队的得分的概率为（）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】先将队得分高于队得分的情况列举出来，然后进行概率计算.‎ ‎【详解】‎ 比赛结束时队的得分高于队的得分可分为以下种情况：‎ 第一局：队赢，第二局：队赢，第三局：队赢；‎ 第一局：队赢，第二局：队赢，第三局：队赢；‎ 第一局：队赢，第二局：队赢，第三局：队赢；‎ 则对应概率为：，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查独立事件的概率计算，难度较易.求解相应事件的概率，如果事件不符合特殊事件形式，可从“分类加法”的角度去看事件，然后再将结果相加.‎ ‎10．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据得到的单调性，再变形不等式根据单调性求解集.‎ ‎【详解】‎ 设，则，所以在 上单调递增，又，所以，则有，即.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 常见的可根据导函数不等式推导抽象函数的情况：‎ ‎（1）已知，则可设；‎ ‎（2）已知，则可设；‎ ‎（3）已知，则可设；‎ ‎（4）已知，则可设.‎ 二、多选题 ‎11．设离散型随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎0.4‎ ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ 若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（）‎ A. B.，‎ C.， D.，‎ ‎【答案】ACD ‎【解析】先计算的值，然后考虑、的值，最后再计算、的值.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，故A正确；‎ 又，‎ ‎，故C正确；因为，所以，，故D正确.‎ 故选：ACD.‎ ‎【点睛】‎ 随机变量的均值与方差的线性变化：若随机变量与随机变量满足，则，.‎ ‎12．在统计中，由一组样本数据，，利用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为，那么下面说法正确的是（）‎ A.直线至少经过点，，中的一个点 B.直线必经过点 C.直线表示最接近与之间真实关系的一条直线 D.，且越接近于1，相关程度越大；越接近于0，相关程度越小 ‎【答案】BCD ‎【解析】理解回归直线的含义，逐项分析.‎ ‎【详解】‎ A．直线由点拟合而成，可以不经过任何样本点，故A错；‎ B．直线必过样本点中心即点，故B正确；‎ C．直线是采用最小二乘法求解出的直线方程，接近真实关系，故C正确；‎ D．相关系数的绝对值越接近于，表示相关程度越大，越接近于，相关程度越小，故D正确.‎ 故选：BCD.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查回归直线方程的应用以及相关系数，难度较易.其中相关系数，反映的是变量之间相关程度的大小，越接近，相关程度就越大，越接近，则越小.‎ ‎13．若函数具有下列性质：①定义域为；②对于任意的，都有；③当时，，则称函数为的函数.若函数为的函数，则以下结论正确的是（）‎ A.为奇函数 B.为偶函数 C.为单调递减函数 D.为单调递增函数 ‎【答案】AC ‎【解析】分析奇偶性：通过令值找到与之间的关系；分析单调性：通过令值找到与的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 定义域关于原点对称，令则有：，令，则有，所以，故是奇函数；令，，且，所以，又且，，则 ，即，所以，所以是单调减函数.‎ 故选：AC.‎ ‎【点睛】‎ 判断抽象函数的单调性和奇偶性，一般采用令值的方法解决问题.令值的时候注意构造出与之间的关系以及与的大小.‎ 三、填空题 ‎14．已知函数，若，则________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】考虑的奇偶性，利用奇偶性解决问题.‎ ‎【详解】‎ 令，则有，且定义域为，关于原点对称，所以是奇函数，则，即，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查类奇偶函数的运用，难度较易.关键是先构造出奇偶函数，然后利用新函数的值去分析结果.‎ ‎15．按照国家标准规定，袋装奶粉每袋质量必须服从正态分布，经检测某种品牌的奶粉，一超市一个月内共卖出这种品牌的奶粉400袋，则卖出的奶粉质量在以上袋数大约为________‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】根据正态分布曲线的特征，计算出的概率，然后再根据总体计算出满足要求的袋数.‎ ‎【详解】‎ 因为且，所以，所以以上袋数大约为：袋.故答案为10.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正态分布曲线的对称性，难度较易.正态分布曲线是一个对称图象，对称轴即为也就是均值，计算相应概率时可借助对称性计算.‎ ‎16．已知，则________，________‎ ‎【答案】126 49 ‎ ‎【解析】（1）令值计算，再令值计算，然后两式相减即可；（2）考虑可能出现的组合情况，然后分别计算系数.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）令，则有，令，所以，则；‎ ‎（2）因为，所以.‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）二项展开式中计算形如的式子，可考虑令去计算；‎ ‎（2）针对于复杂的二项展开式，计算某一项的系数时，需要考虑该项是否能由多种情况组合而成.‎ ‎17．设函数，，对于任意的，不等式 恒成立，则正实数的取值范围________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先分析的单调性，然后判断的正负，再利用恒成立的条件确定的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎，令，则，所以在单调递减，在单调递增，则；，令，则，所以在单调递增，在单调递减，则；‎ 当，所以不成立，故；‎ 因为恒成立，所以恒成立，所以，即 ，解得，即.‎ ‎【点睛】‎ 恒成立问题解题思路：当恒成立时，则；‎ 存在性问题解题思路：当存在 满足时，则有.‎ 四、解答题 ‎18．已知，.‎ ‎（1）若，求实数的值；‎ ‎（2）若，，若是的充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】（1）求解出集合，再根据交集范围计算的值；（2）由是的充分条件，得到集合之间的关系，然后再计算的取值.‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ ‎，‎ ‎（1）‎ ‎∴‎ ‎∴∴；‎ ‎（2）∵是的充分条件，‎ ‎∴或，‎ ‎∴或 即或.‎ ‎【点睛】‎ 现有集合，且，，若集合是集合的充分条件，则有：；若集合是集合的必要条件，则有：.‎ ‎19．网购是现在比较流行的一种购物方式，现随机调查50名个人收入不同的消费者是否喜欢网购，调杳结果表明：在喜欢网购的25人中有19人是低收入的人，另外6人是高收入的人，在不喜欢网购的25人中有8人是低收入的人，另外17人是高收入的人.‎ ‎（1）试根据以上数据完成列联表，并用独立性检验的思想，指出有多大把握认为是否喜欢网购与个人收入高低有关系；‎ 喜欢网购 不喜欢网购 总计 低收入的人 高收入的人 总计 ‎（2）将5名喜欢网购的消费者编号为1、2、3、4、5，将5名不喜欢网购的消费者编号也记作1、2、3、4、5，从这两组人中各任选一人讲行交流，求被选出的2人的编号之和为2的倍数的概率.‎ 参考公式：‎ 参考数据：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）填表见解析，有99.5%的把握认为是否喜欢网购与个人收入高低有关系；（2）‎ ‎【解析】（1）表格填空，然后根据公式计算的值，再根据表格判断相应关系；（2）利用古典概型的概率计算方法求解概率即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）列联表如下，‎ 喜欢网购 不喜欢网购 总计 低收入的人 ‎19‎ ‎8‎ ‎27‎ 高收入的人 ‎6‎ ‎17‎ ‎23‎ 总计 ‎25‎ ‎25‎ ‎50‎ ‎；‎ ‎；‎ 故有99.5%的把握认为是否喜欢网购与个人收入高低有关系；‎ ‎（2）由题意，共有种情况，‎ 和为2的有1种，和为4的有3种，和为6的有5种，和为8的有3种，和为10的有1种，‎ 故被选出的2人的编号之和为2的倍数概率为.‎ ‎【点睛】‎ 独立性检验计算有多大把握的步骤：（1）根据列联表计算出的值；（2）找到参考表格中第一个比大的值，记下对应的概率；（3）有多大把握的计算：对应概率.‎ ‎20．在二项式的展开式中.‎ ‎（1）若展开式后三项的二项式系数的和等于67，求展开式中二项式系数最大的项；‎ ‎（2）若为满足的整数，且展开式中有常数项，试求的值和常数项.‎ ‎【答案】（1）展开式中二项式系数最大的项为第6和第7项，，（2），常数项为 ‎【解析】（1）根据条件求出的值，然后判断第几项二项式系数最大，并求之；（2）常数项其实说明的指数为，根据这一特点，利用项数与第几项的关系求解出的值.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由已知 整理得，显然 则展开式中二项式系数最大的项为第6和第7项 ‎（2）设第项为常数项，为整数，‎ 则有，‎ 所以，或 当时，；时，（不合题意舍去），所以 常数项为 ‎【点睛】‎ 对于形如的展开式，展开后一共有项，若为奇数，则二项式系数最大的项有项，分别为项，为若为偶数，则二项式系数最大的项有项，即为项（也可借助杨辉三角的图分析）.‎ ‎21．已知函数的导函数为，的图象在点 处的切线方程为，且.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若对任意的：，存在零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）根据切线、函数值、导数值计算解析式；（2）计算出在时的值域，再根据求解出的范围.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵，‎ ‎∴，，‎ ‎∵，∴，①‎ ‎∵的图象在点处的切线方程为，‎ ‎∴当时，，且切线斜率，‎ 则，②.‎ ‎，③，‎ 联立解得，，，即；‎ ‎（2）‎ 当时，‎ 当时，‎ 当时，‎ 又，，，.‎ 所以 因为对任意的，存在零点，‎ 所以，即，‎ 所以 ‎【点睛】‎ 对于形如的函数零点问题，可将其转化为的方程根的问题，或者也可以利用与的函数图象交点来解决问题.‎ ‎22．某市实施二手房新政一年多以来，为了了解新政对居民的影响，房屋管理部门调查了2018年6月至2019年6月期间购买二手房情况，首先随机抽取了其中的400名购房者，并对其购房面积（单位：平方米，）讲行了一次统计，制成了如图1所示的频率分布直方图，接着调查了该市2018年6月至2019年6月期间当月在售二手房的均价（单位：万元/平方米），制成了如图2所示的散点图（图中月份代码1－13分别对应2018年6月至2019年6月）‎ ‎（1）试估计该市市民的平均购房面积（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；‎ ‎（2）从该市2018年6月至2019年6月期间所有购买二手房的市民中任取3人，用频率估计概率，记这3人购房面积不低于100平方米的人数为，求的分布列与数学期望；‎ ‎（3）根据散点图选择和两个模型讲行拟合，经过数据处理得到两个回归方程，分别为和，并得到一些统计量的值，如表所示：‎ ‎0.005459‎ ‎0.005886‎ ‎0.006050‎ 请利用相关系数判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测2019年8月份的二手房购房均价（精确到0.001）.‎ 参考数据：，，，，，‎ 参考公式：‎ ‎【答案】（1）；（2）1.2；（3）模型的拟合效果更好，预测2019年8月份的二手房购房均价万元/平方米.‎ ‎【解析】（1）求解每一段的组中值与频率的乘积，然后相加得出结果；（2）分析可知随机变量服从二项分布，利用二项分布的概率计算以及期望计算公式来解答；（3）根据相关系数的值来判断选用哪一个模型，并进行数据预测.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）.‎ ‎（2）每一位市民购房面积不低干100平方米的概率为，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.216‎ ‎0.432‎ ‎0.288‎ ‎0.064‎ ‎∴.‎ ‎（3）设模型和的相关系数分别为，‎ 则，，‎ ‎∴，‎ ‎∴模型的拟合效果更好，‎ ‎2019年8月份对应的，‎ ‎∴万元/平方米.‎ ‎【点睛】‎ 相关系数反映的是变量间相关程度的大小：当越接近，相关程度就越大，当越接近，则相关程度越小.‎ ‎23．已知实数为整数，函数，‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）如果存在，使得成立，试判断整数是否有最小值，若有，求出值；若无，请说明理由（注：为自然对数的底数）.‎ ‎【答案】（1）函数的单调递减区间是，单调递增区间是（2）的最小值为1‎ ‎【解析】（1）求导函数后，注意对分式分子实行有理化，注意利用平方差公式，然后分析单调性；（2）由可得不等式，通过构造函数证明函数的最值满足相应条件即可；分析函数时，注意极值点唯一的情况，其中导函数等于零的式子要注意代入化简.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）已知，函数的定义域为，‎ 因此在区间上，在区间上，‎ 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.‎ ‎（2）存在，，使得成立 设，只要满足即可 ‎，易知在上单调递增，‎ 又，，，‎ 所以存在唯一的，使得，‎ 且当时，；当时，.‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎，‎ 又，即，‎ 所以.‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 则，又.‎ 所以的最小值为1.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的综合运用，难度较难，也是高考必考的考点.对于极值点唯一的情况，一定要注意极值点处导函数等于零对应的表达式，这对于后面去计算函数的最值时去化简有直接用途.‎