高二数学教案：第9讲 椭圆与双曲线

高二数学教案：第9讲 椭圆与双曲线

辅导教案 学员姓名： 学科教师：‎ 年 级： 辅导科目： ‎ 授课日期 ‎××年××月××日 ‎ 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 椭圆与双曲线 教学内容 ‎1. 巩固复习椭圆与双曲线的性质；‎ ‎2. 能综合运用椭圆与双曲线的性质解题。‎ ‎（以提问的形式回顾）‎ ‎1. 对比椭圆与双曲线的性质，你能发现他们哪些性质相近，而哪些性质又完全不同？‎ 可以从定义，焦点三角形面积公式，与直线的位置关系等等很多角度去总结。‎ ‎2. 讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．‎ 分析：由于，，则的取值范围为，，，分别进行讨论．‎ 解：（1）当时，，，所给方程表示椭圆，此时，，，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．‎ ‎（2）当时，，，所给方程表示双曲线，此时，，，，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．‎ ‎（3），，时，所给方程没有轨迹．‎ ‎（采用教师引导，学生轮流回答的形式）‎ 例1. 已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线C′：－=1写出具有类似特性的性质，并加以证明.‎ ‎【答案】：类似的性质为若MN是双曲线－=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.‎ 设点M的坐标为（m，n），‎ 则点N的坐标为（－m，－n），‎ 其中－=1.‎ 又设点P的坐标为（x，y），‎ 由kPM=，kPN=，‎ 得kPM·kPN=·=，‎ 将y2=x2－b2，n2=m2－b2，代入得 kPM·kPN=.‎ ‎【评注】：本题主要考查椭圆、双曲线的基本性质，考查类比、归纳、探索问题的能力.它是一道综合椭圆和双曲线基本知识的综合性题目，对思维能力有较高的要求.‎ 试一试：已知椭圆中心为，右顶点为，过定点作直线交椭圆于、两点.‎ ‎（1）若直线与轴垂直，求三角形面积的最大值；‎ ‎（2）若，直线的斜率为，求证：；‎ ‎（3）直线和的斜率的乘积是否为非零常数？请说明理由.‎ 解：设直线与椭圆的交点坐标为.‎ ‎（1）把代入可得：， ‎ 则，当且仅当时取等号 ‎ ‎（2）由得，，‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎（3）直线和的斜率的乘积是一个非零常数. ‎ 当直线与轴不垂直时，可设直线方程为：，‎ 由消去整理得 则 ① 又 ② ‎ 所以 当直线与轴垂直时，由得两交点，‎ 显然.所以直线和的斜率的乘积是一个非零常数.‎ 例2. 椭圆，轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）设与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点、，直线、分别与相交与、，证明：；‎ 解：（1）由题意知：半长轴为，则有 ∴ ‎ ‎（2）①由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为．‎ 由得， ‎ 设，，则，是上述方程的两个实根，于是，．‎ 又点的坐标为，所以 故，即，故 ‎ 例3. 已知椭圆C的长轴长与短轴长之比为，焦点坐标分别为,。‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）已知,,是椭圆C上异于、的任意一点，直线、分别交y轴于、,求的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若,,且，，分别以OG、OH为边作两正方形，求此两正方形的面积和的最小值，并求出取得最小值时的G、H点坐标。‎ 解：（1）、 ‎ 所以椭圆C的标准方程为。 ‎ ‎（2）设，直线 ‎ ‎ ‎ 令x=0，得：， ‎ 所以：=，‎ ‎（3）， ‎ 又 ‎ 两正方形的面积和为当且仅当时，等式成立。‎ 两正方形的面积和的最小值为10，此时G、H。‎ 例4. 已知椭圆的左右焦点分别为，短轴两个端点为，且四边形是边长为2的正方形。‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）若分别是椭圆长轴的左右端点，动点满足，连接，交椭圆于点。证明：为定值；[来源:学|科|网]‎ ‎（3）在（2）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。‎ 解：（1），，椭圆方程为。‎ ‎（2），设，则。‎ 直线：，即， ‎ 代入椭圆得 ‎。‎ ‎，。[来源:学科网ZXXK]‎ ‎，‎ ‎（定值）。‎ ‎（3）设存在满足条件，则。‎ ‎，， ‎ 则由得 ，从而得。‎ 存在满足条件。‎ ‎（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）‎ 1. 已知椭圆的方程为，长轴是短轴的2倍，且椭圆过点，斜率为的直线过点，为直线的一个法向量，坐标平面上的点满足条件．‎ ‎（1）写出椭圆方程，并求点到直线的距离；‎ ‎（2）若椭圆上恰好存在3个这样的点，求的值．‎ 解：（1）由题意得 解得 ‎ ‎∴椭圆方程为： ‎ 直线的方程为，其一个法向量，设点B的坐标为，由及 得 ‎ ‎∴到直线的距离为 ‎ ‎（2）由（1）知，点B是椭圆上到直线的距离为1的点，即与直线的距离为1的二条平行线与椭圆恰好有三个交点。 ‎ 设与直线平行的直线方程为 由得，即 ‎……①‎ 当时，……②‎ 又由两平行线间的距离为1，可得……③‎ 把②代入③得，即，‎ 即，或 ‎ 当时，代入②得，代回③得或 ‎ 当，时，由①知 此时两平行线和与椭圆只有一个交点，不合题意； ‎ 当时，代入②得，代回③得或 当，时，由①知 此时两平行线和，与椭圆有三个交点，‎ ‎∴‎ ‎2. 已知椭圆的两焦点分别为，是椭圆在第一象限内的一点，并满足，过作倾斜角互补的两条直线分别交椭圆于两点． （1）求点坐标；（2）当直线经过点时，求直线的方程；(3)求证直线的斜率为定值．‎ ‎ [解]（1）由题可得，，设则，，∴，（1分）∵点在曲线上，则，解得点的坐标为． ‎ ‎（2）当直线经过点时，则的斜率为，因两条直线的倾斜角互补，故的斜率为，‎ 由得，‎ 即，故，（2分）同理得，‎ ‎∴直线的方程为 ‎ ‎(3) 依题意，直线的斜率必存在，不妨设的方程为：‎ ‎．由 得 ‎，（2分）设，则 ‎，，同理，‎ 则，同理． ‎ 所以：的斜率为定值．‎ ‎3. 已知双曲线的中心在原点,是它的一个顶点,是它的一条渐近线的一个方向向量.‎ ‎（1）求双曲线的方程;‎ ‎（2）若过点()任意作一条直线与双曲线交于两点 (都不同于点),求的值;‎ ‎（3）对于双曲线G:,为它的右顶点,为双曲线G上的两点(都不同于点),且,求证:直线与轴的交点是一个定点. ‎ 解:(1)设双曲线C的方程为,则, ‎ 又 ,得,所以,双曲线C的方程为 ‎ ‎(2) 当直线垂直于轴时,其方程为,的坐标为(,)、(,), ‎ ‎,所以=0 ‎ 当直线不与轴垂直时,设此直线方程为, ‎ 由得. ‎ 设,则, , ‎ 故 ‎ ‎ ‎ ‎++=0 .综上,=0 ‎ ‎(3) 设直线的方程为:, ‎ 由,得, ‎ 设,则, , ‎ 由,得, ‎ 即, ‎ ‎, ‎ 化简得, 或 (舍), ‎ 所以,直线过定点(,0) ‎ ‎ ‎ 本节课主要知识点：椭圆与双曲线性质的综合应用 ‎【巩固练习】‎ ‎1. 在平面直角坐标系中,方向向量为的直线经过椭圆的右焦点,与椭圆相交于、两点 ‎(1)若点在轴的上方,且,求直线的方程;‎ ‎(2)若,,求△的面积;‎ ‎(3)当(且)变化时,试求一点,使得直线和的斜率之和为.‎ 解： (1)由题意,得,所以 ‎ 且点在轴的上方,得 ‎ ‎, ‎ 直线:,即直线的方程为 ‎ ‎(2)设、,当时,直线: ‎ 将直线与椭圆方程联立, ‎ 消去得,,解得, ‎ ‎,所以 ‎ ‎(3)假设存在这样的点,使得直线和的斜率之和为0,由题意得, ‎ 直线:() ‎ ‎,消去得, ‎ 恒成立, ‎ ‎, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ 解得,所以存在一点,使得直线和的斜率之和为0 ‎ ‎【预习思考】‎ ‎1. 直线的一个方向向量为___________；‎ ‎2. 经过直线与直线的交点，且与直线平行的直线的一般式方程为___________；‎ ‎3. 已知两定点A（1,3），B（-3,1），动点P（x，y）满足，如果，则动点P的坐标所满足的直线方程为___________；‎ ‎4. 过点（3，-2）且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程是___________ .‎ ‎5. 已知双曲线的左、右焦点分别为，直线l过点交双曲线的左支于A、B两点，且，则的周长为___________；‎