2019-2020学年甘肃省兰州第一中学高一上学期期中考试数学试题

2019-2020学年甘肃省兰州第一中学高一上学期期中考试数学试题

兰州一中2019-2020-1学期期中考试试题 高一数学 命题人： 审题人： ‎ 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设集合, 则满足的集合的个数是（ ）‎ ‎ A. 1 B. ‎2 C. 4 D. 8 ‎ ‎2. 对于映射，，且，则与 中的元素对应的中的元素为 （ ） ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 下列函数中表示同一函数的是 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎4. 函数的定义域是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 已知是定义在上的奇函数，对任意，都有，‎ 若，则等于 （ ）‎ A. 2019 B. －2 C. 2020 D. 2‎ ‎6. 已知函数（是常数，且）在区间上有最大值3，‎ 最小值，则的值是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 若，b=x2， ,则当时，a，b，c的大小关系是 （ ）‎ A. a < b < c B. c < b < a C. c < a < b D. a < c < b ‎8. 已知函数，且，则 （ ）‎ A. － B. － C. － D. － ‎9. 若函数的图象如右图，其中为常数．‎ 则函数的图象大致是 （ ）‎ A B C D ‎10. 若函数在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数 在上是增函数，则a = （ ）‎ A. B. C. 2 D. 4 ‎ ‎11. 函数,在上是增函数,则实数 的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12. 若定义在上的函数，其图象是连续不断的，且存在常数使得对任意的实数都成立，则称是一个“特征函数”.下列结论中正确的个数为 （ ）‎ ‎①是常数函数中唯一的“特征函数”； ②不是“特征函数”；‎ ‎③“特征函数”至少有一个零点； ④是一个“特征函数”.‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 如果，则当时，=________. ‎ ‎14. 已知函数的零点，则_________. ‎ ‎15. 设函数f (x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________.‎ ‎16. 下列几个命题：‎ ‎ ①函数是偶函数，但不是奇函数；‎ ‎ ②方程的有一个正实根，一个负实根，则；‎ ‎③是定义在R上的奇函数，当时，，‎ 则当时，； ‎ ‎④函数的值域是.‎ 其中正确命题的序号为 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17. (本小题满分10分) ‎ 计算：（1） ‎ ‎（2） ‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ 已知集合，.‎ ‎（1）若为非空集合，求实数的取值范围； ‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 已知幂函数在（0，＋∞）上是增函数．‎ ‎（1）求的解析； ‎ ‎（2）若，求的最大值．‎ ‎20. (本小题满分12分)‎ 函数是定义在R上的奇函数，且．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）判断并用定义证明在的单调性．‎ ‎21. (本小题满分12分)‎ 已知函数．‎ ‎（1） 当时，函数f (x)恒有意义，求实数a的取值范围；‎ ‎（2） 是否存在实数a，使得函数f (x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．‎ ‎22. (本小题满分12分)‎ 若指数函数满足，定义域为的函数是奇函数．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若函数在上有零点，求的取值范围；‎ ‎（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ 兰州一中2019-2020-1学期高一年级期中试题答案 数 学 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C A B D B A C D D A B C 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13． 14．2或-3 15．[0，1) 16. ②④‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17.(本小题满分10分) ‎ 计算：（1） ‎ ‎（2） ‎ 解：（1）原式 ‎ ‎（2）原式 ‎18. (本小题满分12分)‎ 已知集合，.‎ ‎（1）若为非空集合，求实数的取值范围； ‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ 解：（1）作出数轴可知若则有，解得：‎ 可得实数的取值范围为 ‎ ‎（2）则有如下三种情况：‎ ‎1），即，解得：；‎ ‎ 2），，则有解得：无解；‎ ‎3），，则有解得：.‎ 综上可得时实数的取值范围为 ‎19. (本小题满分12分)‎ 已知幂函数在（0，＋∞）上是增函数．‎ ‎（1）求的解析； ‎ ‎（2）若，求的最大值．‎ 解：（1）因为是幂函数，‎ 所以 即或 ‎ 因为在上是增函数，所以2m+1＞0，即m＞-，则m=1‎ 故=.‎ ‎（2）因为为R上的增函数. ‎ 所以， 解得. 故y=的取值范围为.‎ 所以y的最大值为16‎ ‎20. (本小题满分12分)‎ 函数是定义在R上的奇函数，且．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）判断并用定义证明在的单调性．‎ 解：（1）根据题意，f（x）=是定义在R上的奇函数，且f（1）=1，‎ 则f（-1）=-f（1）=-1，‎ 则有，解可得a=5，b=0；‎ ‎（2）由（1）的结论，f（x）=，‎ 任取＜x1＜x2，‎ f（x1）-f（x2）=-=，‎ 又由＜x1＜x2，则（1-4x1x2）＜0，（x1-x2）＜0，‎ 则f（x1）-f（x2）＞0，‎ 则函数f（x）在（，+∞）上单调递减．‎ ‎21. (本小题满分12分)‎ 已知函数．‎ ‎（1） 当时，函数f (x)恒有意义，求实数a的取值范围；‎ ‎（2） 是否存在实数a，使得函数f (x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．‎ 解：‎ ‎　 (1) ∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，‎ 则t(x)＝3－ax为减函数，‎ x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a，‎ 当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，‎ 即x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立.‎ ‎∴3－2a>0.∴a<.又a>0且a≠1，‎ ‎∴a∈(0，1)∪.‎ ‎(2) t(x)＝3－ax，∵a>0， ∴函数t(x)为减函数.‎ ‎∵f(x)在区间[1，2]上为减函数， ∴y＝logat为增函数，‎ ‎∴a>1，x∈[1，2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，‎ ‎∴ 即 故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.‎ ‎22. (本小题满分12分)‎ 若指数函数满足，定义域为的函数是奇函数．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若函数在上有零点，求的取值范围；‎ ‎（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ 解：‎ ‎（1）设,则，a=3, ‎ ‎，　‎ ‎，‎ 因为是奇函数，所以，即 , ‎ ‎∴，又，‎ ‎；‎ ‎．‎ ‎（2） 由（Ⅰ）知：，又因在（0，1）上有零点，‎ 从而，即， ‎ ‎∴，　∴，‎ ‎∴k取值范围为．‎ ‎（3）由（Ⅰ）知，‎ ‎∴在R上为减函数（不证明不扣分）． ‎ 又因是奇函数，‎ 所以=， ‎ 因为减函数，由上式得：,‎ 即对一切，有恒成立，‎ 令m(t)=,,易知m(t)在上递增，‎ 所以，‎ ‎∴，即实数k的取值范围为解：‎ ‎（1）设,则，a=3, ‎ ‎，　‎ ‎，‎ 因为是奇函数，所以，即 , ‎ ‎∴，又，‎ ‎；‎ ‎．‎ ‎（2）由（Ⅰ）知：，又因在（0，1）上有零点，‎ 从而，即， ‎ ‎∴，　∴，‎ ‎∴k取值范围为．‎ ‎（3）由（Ⅰ）知，‎ ‎∴在R上为减函数（不证明不扣分）． ‎ 又因是奇函数，‎ 所以=， ‎ 因为减函数，由上式得：,‎ 即对一切，有恒成立，‎ 令m(x)=, ,易知m(x)在上递增，‎ 所以，‎ ‎∴，即实数的取值范围为． ‎