2018-2019学年浙江省杭州市杭州第二中学高二上学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年浙江省杭州市杭州第二中学高二上学期期末数学试题（解析版）

‎2018-2019学年浙江省杭州市杭州第二中学高二上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．复数等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为,故选C.‎ ‎2．已知双曲线的一个焦点是，则其渐近线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先根据题意求出的值，从而得出双曲线方程，即可写出渐近线方程．‎ ‎【详解】‎ 由变形可得，又双曲线的一个焦点是，所以，所以，所以双曲线方程为，所以其渐近线方程为为．‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的性质及其渐近线方程，解题的关键是会根据焦点坐标求方程中参数的值．‎ ‎3．用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，下列假设正确的是 A．假设a，b，c都小于0‎ B．假设a，b，c都大于0‎ C．假设a，b，c中至多有一个大于0‎ D．假设a，b，c中都不大于0‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设要证命题的否定成立，根据要证命题的否定为：“假设a，b，c中都不大于0”，从而得出结论.‎ 详解：用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为：“假设a，b，c中都不大于0”.‎ 故选：D.‎ 点睛：用反证法证明命题的基本步骤 ‎(1)反设，设要证明的结论的反面成立．‎ ‎(2)归谬，从反设入手，通过推理得出与已知条件或公理、定理矛盾．‎ ‎(3)否定反设，得出原命题结论成立．‎ ‎4．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的（ ）‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】分析：由题意考查充分性和必要性即可求得最终结果.‎ 详解：若，则，又，所以；‎ 若，当时，直线与平面的位置关系不确定，无法得到.‎ 综上，“”是“”的充分不必要条件.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：本题主要考查线面平行的判断定理，面面平行的判断定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎5．已知椭圆与抛物线的交点为A，B．A，B连线经过抛物线焦点F，且线段AB的长度等于椭圆的短轴长，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先由题意根据抛物线和椭圆的对称线可设，，点代入椭圆和抛物线方程求出，再根据，‎ 即可求出离心率．‎ ‎【详解】‎ 由抛物线和椭圆的对称线可设，，将点代入椭圆和抛物线方程可得，所以，所以．‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆与双曲线的性质和离心率，解题的关键是找出a，b，c间的关系．‎ ‎6．设直线l：，圆C：，则下列说法中正确的是（ ）‎ A．直线l与圆C有可能无公共点 B．若直线l的一个方向向量为，则 C．若直线l平分圆C的周长，则 D．若直线l与圆C有两个不同交点M、N，则线段MN的长的最小值为 ‎【答案】D ‎【解析】直线l过定点，圆C：的圆心半径，所以点在圆C的内部，所以直线l与圆C一定有公共点；‎ 若直线l的一个方向向量为，则；因为l平分圆C的周长，所以直线过圆心，所以；‎ 线段MN的长的最小值为．‎ ‎【详解】‎ 由直线l：变形可得，联立，解得直线l过定点，圆C：的圆心半径，点与圆心的距离，所以点在圆C的内部，所以直线l与圆C一定有公共点，所以A项错误；‎ 由线l的一个方向向量为，则，解得，故B项误；‎ 因为l平分圆C的周长，所以直线过圆心，即，所以，故C项错误；若直线l与圆C有两个不同交点M、N，则线段MN的长的最小值为，故D项正确．‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆与直线的位置关系，以及弦长公式，解题关键是熟练掌握圆的有关性质．‎ ‎7．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，记A1F与平面BCC1B1所成的角为θ，下列说法正确的个数是（ ）‎ ‎①点F的轨迹是一条线段 ‎②A1F与D1E不可能平行 ‎③A1F与BE是异面直线 ‎④‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】在①中设平面D1AE与直线BC交于点G，连接AG，EG，则G为BC的中点，分别取BB1、C1B1的中点M、N，连接AM、MN、AN，推出面A1MN∥平面D1AE，即可得出结论；在②中F与M重合时，A1F与D1E平行；③中A1F与BE既不平行也不相交；在④中当F与MN重合时B1F最小，此时．‎ ‎【详解】‎ 在①中设平面D1AE与直线BC交于点G，连接AG，EG，则G为BC的中点，分别取BB1、C1B1的中点M、N，连接AM、MN、AN，所以A1M∥平面D1AE，MN∥平面D1AE，‎ 所以平面A1MN∥平面D1AE，又A1F∥平面D1AE，所以F应在线段MN上运动，故①正确；‎ 在②中由①知当F与M重合时，A1F与D1E平行，故②错误；‎ 在③中A1F与BE既不平行也不相交，故③正确；‎ 在④中当F与M，N重合时B1F最小，此时，故④正确．‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查立体几何中的线面关系、线线关系及线面角．‎ ‎8．已知、为椭圆与双曲线的公共焦点，P为它们的一个公共点，且.则该椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（）.‎ A． B． C．l D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】【详解】‎ 设，.‎ 椭圆方程为，‎ 双曲线方程为 两曲线的半焦距为、，且.‎ 由圆锥曲线定义得 ‎，.‎ 于是，，.‎ 又由余弦定理得 ‎.‎ 由均值不等式得.‎ 当，时，上式等号成立.‎ 从而，该椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为.‎ 二、填空题 ‎9．抛物线y＝2x2的焦点坐标__________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先把抛物线化成标准型，再求焦点坐标.‎ ‎【详解】‎ 由题意知，所以抛物线的焦点在y轴正半轴上，且坐标为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用抛物线的方程求解焦点坐标，注意要把非标准方程化为标准形式，再进行求解.‎ ‎10．设平面α的法向量为，平面β的法向量为，若α⊥β，则_____．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】根据题意可知⊥，所以•0，解出λ的值，从而得出，利用模长公式求出向量模长即可．‎ ‎【详解】‎ 平面α的法向量为，平面β的法向量为，‎ 因为α⊥β，所以⊥，所以•2﹣2λ+8＝0，解得λ＝5，所以（2，5，4），‎ 所以3．‎ 故答案为：3‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查法向量及其模长公式，属于基础题．‎ ‎11．用数学归纳法证明: ,在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是__________（用含有的式子作答).‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】假设n=k成立，即，则n=k+1成立时有，所以左边增加得项数是： ‎ ‎12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先由三视图分析出原图为一个三棱柱剪去一个三角锥，所以几何体的体积为三棱柱的体积减去三棱锥的体积．‎ ‎【详解】‎ 由三视图可知，几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥，‎ 三棱柱的体积V1为：‎ 剪去的三棱锥体积V2为：‎ 所以几何体的体积为：．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三视图以及几何体体积的计算方法，解题关键是能根据三视图还原几何体．‎ ‎13．圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8＝0关于直线ax+2by﹣2＝0（a，b＞0）对称，则的最小值为_____．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】先由直线过圆心得出，再由基本不等式即可出的最小值．‎ ‎【详解】‎ 由圆方程为可转化为圆心为，由题意可知圆心在直线上，所以，‎ ‎（）（a+b）＝55+4＝9，当且仅当，因为a，b＞0，‎ a，b时取最小值9．‎ 故答案为：9‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查基本不等式，解题的关键是熟练应用基本不等式．‎ ‎14．已知是双曲线（，）的右焦点，是双曲线上位于第一象限内的一点，，直线的方程为，则双曲线的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由，可得轴，从而求得，代入直线的方程为，可得结果.‎ 详解：，‎ ‎，轴，‎ 令，得，‎ 又的方程为，，，‎ 即，，，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．‎ ‎15．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝1，AC＝CD＝DA＝2，动点M在边DC上（不同于D点），P为边AB上任意一点，沿AM将△ADM翻折成△AD'M，当平面AD'M垂直于平面ABC时，线段PD'长度的最小值为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】过D′作AM的垂线，垂足为H，根据H到直线AB的距离最小值及勾股定理计算即可．‎ ‎【详解】‎ 过D′作AM的垂线，垂足为H，由题意可知D′A＝DA＝2，随着点M在边DC上向点C方向移动，DM逐渐变大，即D'M越来越大，又D′H为三角形AD'M中AM边上的高，D′A长度不变，D'M越来越大，所以垂足为H越来越靠近点A，所以当点M与C重合即折痕为AC时，H到直线AB的距离最小，又AC＝CD＝DA＝2，所以AC＝CD′＝D′A＝2，此时H为AC的中点，所以D′H＝DH，此时，H到直线AB的最小距离为hBC，所以PD′的最小距离为．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查立体几何中的综合应用，利用勾股定理求线段长．‎ 三、解答题 ‎16．已知命题：方程表示圆；命题：方程表示焦点在轴上的椭圆.‎ ‎（1）若命题为真命题时，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）;（2）.‎ ‎【解析】试题分析：(1) 若命题p为真命题，根据圆的一般方程与椭圆的标注方程满足的条件建立不等式关系，即可求实数m的取值范围；(2) 若是的必要不充分条件，则，从而建立关于实数a的不等关系.‎ 试题解析：‎ ‎（1）若命题为真命题时，则由方程 即表示圆，∴解之得 ‎∴‎ ‎（2）由成立得 ‎∴，‎ 若是的必要不充分条件，则，‎ ‎∴解之得 ‎∴‎ ‎17．若，，（n＝1，2，…）．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）令，写出，，，的值，观察并归纳出这个数列的通项公式，并用数学归纳法证明．‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2），猜想：an，证明见解析 ‎【解析】（1利用反证法假设，代入 进而得出此数列是0或1的常数列，与，矛盾，所以假设错误；‎ ‎（2）由在通过递推公式直接写出，，，的值，猜想出，再用数学归纳法进行证明．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：假设，又an+1，解得an＝0或an＝1，‎ 从而或，这与题设或 相矛盾，所以不成立．故成立．‎ ‎（2）由题意得，‎ 由此猜想：．‎ ‎①当n＝1时，a1，猜想成立，‎ ‎②假设n＝k时，成立，‎ 当n＝k+1时，，‎ 所以当n＝k+1时，猜想也成立，‎ 由①②可知，对一切正整数，都有an成立．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查数列的递推公式的应用以及数学归纳法证明命题的运用．‎ ‎18．在四棱锥P﹣ABCD中，，E是PC的中点，平面PAC⊥平面ABCD．‎ ‎（1）证明：ED∥平面PAB；‎ ‎（2）若，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】（1）取PB的中点F，连接AF，EF，通过证明四边形ADEF是平行四边形，得到DE∥AF，从而证出ED∥平面PAB；‎ ‎（2）通过做辅助线找到二面角A﹣PC﹣D的平面角，求出其余弦值即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：取PB的中点F，连接AF，EF．‎ ‎∵EF是△PBC的中位线，∴EF∥BC，且EF．‎ 又AD＝BC，且ADBC，∴AD∥EF且AD＝EF，‎ ‎∴四边形ADEF是平行四边形．∴DE∥AF，‎ 又DE⊄面ABP，AF⊂面ABP，‎ ‎∴ED∥面PAB．‎ ‎（2）解：取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC且AD＝MC，‎ ‎∴四边形ADCM是平行四边形，‎ ‎∴AM＝MC＝MB，则A在以BC为直径的圆上．‎ ‎∴AB⊥AC，可得AC．‎ 过D作DG⊥AC于G，‎ ‎∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD＝AC，‎ ‎∴DG⊥平面PAC，则DG⊥PC．‎ 过G作GH⊥PC于H，则PC⊥面GHD，连接DH，则PC⊥DH，‎ ‎∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角．‎ 在△ADC中，GD，‎ 连接AE， cos∠ACE，‎ AE，‎ ‎∵点P到AC的距离d1，‎ ‎∴点A到PC的距离．‎ GH．‎ 在Rt△GDH中，HD，‎ ‎∴cos∠GHD．‎ 即二面角A﹣PC﹣D的余弦值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线面平行的证明和二面角的求法．‎ ‎19．已知椭圆E：1（a＞0）的中心为原点O，左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，点P是直线x上任意一点，点Q在椭圆E上，且满足0．‎ ‎（1）试求出实数a；‎ ‎（2）设直线PQ与直线OQ的斜率分别为k1与k2，求积k1•k2的值；‎ ‎（3）若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l与椭圆交于不同的两点M、N，在线段MN上取异于点M、N的点H，满足，证明点H恒在一条定直线上．‎ ‎【答案】（1）a＝3（2）（3）证明见解析 ‎【解析】（1）根据椭圆的离心率列方程求出实数a的值；‎ ‎（2）由（1）可设点P（，t），Q（x0，y0），根据0得出再由点Q在椭圆E上得出，用斜率公式及可求出k1•k2的值；‎ ‎（3）设过P（，1）的直线l与椭圆交于两个不同点M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 点H（x，y），代入椭圆方程得出，，再设λ，即，，代入数据整理即可得出点H恒在一条定直线上．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解：设椭圆E的半焦距为c，‎ 由题意可得，解得a＝3；‎ ‎（2）解：由（1）可知，直线x，点F1（，0）．‎ 设点P（，t），Q（x0，y0），‎ ‎∵0，∴（，﹣t）•（x0，﹣y0）＝0，‎ 得．‎ ‎∵点Q（x0，y0）在椭圆E上，∴，即．‎ ‎∴k1•k2，‎ ‎∴k1•k2的值是；‎ ‎（3）证明：设过P（，1）的直线l与椭圆交于两个不同点M（x1，y1），‎ N（x2，y2），点H（x，y），则，，‎ 设λ，则，，‎ ‎∴（x1，y1﹣1）＝λ（x2，y2﹣1），（x﹣x1，y﹣y1）＝λ（x2﹣x，y2﹣y），‎ 整理得，x，1，y，‎ 从而，y，‎ 由于，，‎ ‎∴9y36．‎ ‎∴点H恒在直线．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系．‎