江苏省连云港市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

江苏省连云港市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

连云港市2018～2019学年第二学期期末考试 高二数学（选修物理）‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上．‎ ‎1.已知复数（i为虚数单位），则的实部为____．‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 对复数进行四运算，化简成，求得的实部.‎ ‎【详解】因为，所以的实部为.‎ ‎【点睛】本题考查复数的四则运算及实部概念.‎ ‎2.已知一组数据1，3，2，5，4，那么这组数据的方差为____．‎ ‎【答案】2；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求这组数据的平均数，再代入方差公式，求方差.‎ ‎【详解】因为，‎ 方差.‎ ‎【点睛】本题考查平均数与方差公式的简单应用，考查基本的数据处理能力.‎ ‎3.某公司生产甲、乙、丙三种型号的吊车，产量分别为120台，600台和200台，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46台进行检验，则抽到乙种型号的吊车应是____台．‎ ‎【答案】30；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分层抽样的特点，抽出样本46台中乙种型号的吊车的比例，与总体中乙种型号的吊车的比例相等.‎ ‎【详解】抽到乙种型号的吊车台，则，解得：.‎ ‎【点睛】本题考查简单随机抽样中的分层抽样.‎ ‎4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为____．‎ ‎【答案】16；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 程序语言表示“当型循环结构”，由值控制循环是否终止，当时，输出的值.‎ ‎【详解】‎ 输出.‎ ‎【点睛】阅读程序语言时，要注意循环体执行的次数，何时终止循环是解题的难点.‎ ‎5.在的展开式中常数项为30，则实数的值是____．‎ ‎【答案】2；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二项展开式的通项，当的次幂为时，求得，再由展开式中常数项为30，得到关于的方程.‎ ‎【详解】因为，‎ 当时，，解得：.‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理中的展开式，考查基本运算求解能力，运算过程中要特别注意符号的正负问题.‎ ‎6.10件产品中有2件次品，从中随机抽取3件，则恰有1件次品的概率是____．‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用超几何分布概率公式，直接求出恰有1件次品的概率.‎ ‎【详解】设事件为“从中随机抽取3件，则恰有1件次品”，则.‎ ‎【点睛】求解概率问题的第一步是识别概率模型，再运用公式计算概率值，本题属于超几分布概率模型.‎ ‎7.总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表的第1行第4列数由左到右由上到下开始读取，则选出来的第5个个体的编号为____．‎ 第1行 78 16 65 71 02 30 60 14 01 02 40 60 90 28 01 98‎ 第2行 32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81‎ ‎【答案】02；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 第1行第4列数是6，由左到右进行读取10，06，01，09，02.‎ ‎【详解】第1行第4列数是6，由左到右进行读取10，06，01，09，02，‎ 所以第5个个体的编号为02.‎ ‎【点睛】随机数表中如果个体编号是2‎ 位数，则从规定的地方数起，是每次数两位数，如果碰到超出编号范围，则不选；如果碰到选过的，也不选.‎ ‎8.连续抛掷同一颗骰子3次，则3次掷得的点数之和为9的概率是____．‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分步计数原理，连续拋掷同一颗骰子3次，则总共有：6×6×6=216种情况，再列出满足条件的所有基本事件，利用古典概型的计算公式计算可得概率.‎ ‎【详解】每一次拋掷骰子都有1，2，3，4，5，6，六种情况，‎ 由分步计数原理：连续抛掷同一颗骰子3次，则总共有：6×6×6=216种情况，‎ 则3次掷得的点数之和为9的基本事件为25种情况即：‎ ‎(1,2,6)，(1,3,5)，(1,4,4)，(1,5,3)，(1,6,2)，‎ ‎(2,1,6)，(2,2,5)，(2,3,4)，(2,4,3)，(2,5,2)，(2,6,1)，‎ ‎(3,1,5)，(3,2,4)，(3,3,3)，(3,4,2)，(3,5,1)，‎ ‎(4,1,4)，(4,2,3)，(4,3,2)，(4,4,1)，‎ ‎(5,1,3)，(5,2,2)，(5,3,1)，‎ ‎(6,1,2)，(6,2,1)，共25个基本事件，所以.‎ ‎【点睛】本题考查分步计数原理和古典概型概率计算，计数过程中如果前两个数固定，则第三个数也相应固定.‎ ‎9.曲线绕坐标原点顺时针旋转后得到的曲线的方程为____．‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 曲线绕坐标原点顺时针旋转，这个变换可分成两个步骤：先是关于直线对称，再关于轴对称得到.‎ ‎【详解】绕坐标原点顺时针旋转90°等同于先关于直线翻折，再关于轴翻折，‎ 关于直线翻折得到，再关于轴翻折得到.‎ ‎【点睛】本题表面考查旋转变换，而实质考查的是两次的轴对称变换，要注意指数函数与同底数的对数函数关于直线对称.‎ ‎10.计算____．‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据阶乘定义：，计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查阶乘的计算，考查基本的运算求解能力，要求计算过程耐心、细心，才不会出错.‎ ‎11.甲、乙两名运动员进行乒乓球单打比赛，已知每一局甲胜的概率为．比赛采用“五局三胜（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束）制”，则甲获胜的概率是____．‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用相互独立事件同时发生的概率计算求解，甲获胜，则比赛打了5局，且最后一局甲胜利.‎ ‎【详解】由题意知，前四局甲、乙每人分别胜2局，则甲获胜的概率是：‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，属于基础题.‎ ‎12.已知，N*，满足，则所有数对的个数是____．‎ ‎【答案】4；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为，即，所以 ‎，因为已知，N*，所以，，继而讨论可得结果。‎ ‎【详解】因为，即，‎ 所以，因为已知，N*，所以，，又，‎ 故有以下情况：‎ 若，得：，‎ 若得：，‎ 若得：，‎ 若得：，‎ 即的值共4个。‎ ‎【点睛】本题考查数论中的计数问题，是创新型问题，对综合能力的考查要求较高。‎ ‎13.观察下列算式：‎ ‎，，，，…，，‎ 则____．‎ ‎【答案】142；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察已知等式的规律，可猜想第行左边第一个奇数为 后续奇数依次为：由第行第一个数为，即：，解得：，可得：，即可得解.‎ ‎【详解】第行等号左边第一个加数为第个奇数，即，于是第一个加数为，所以第个等式为，，‎ ‎【点睛】本题主要考查归纳与推理，猜想第行左边第一个奇数为进而后续奇数依次为：是解题的关键.‎ ‎14.集合，满足，，若，中的元素个数分别不是，中的元素，则满足条件的集合的个数为____．（用数字作答）‎ ‎【答案】44．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别就集合中含有共8个元素逐一分析，求和后得答案.‎ ‎【详解】含1元，含7元，则，，于是，，共；同理：含2元，含6元，共6个；含3元，含5元，共15个；含5元，含3元，共15个；含6元，含2元，共6个；含7元，含1元，共1个．‎ ‎【点睛】本题主要考查排列组合的应用，根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键.‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内．‎ ‎15.已知直线：（为参数）和圆的极坐标方程：．‎ ‎（1）分别求直线和圆的普通方程并判断直线与圆的位置关系；‎ ‎（2）已知点，若直线与圆相交于，两点，求的值．‎ ‎【答案】（1）直线，圆，直线和圆相交（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）消去直线参数方程中参数，可得直线的普通方程，把两边同时乘以，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线的直角坐标方程，再由圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断直线和圆的位置关系；‎ ‎（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，化为关于的一元二次方程，利用参数的几何意义及根与系数的关系，求的值.‎ ‎【详解】解：（1）由：（为参数），消去参数得．‎ 由得，因，，‎ 则圆的普通方程为． ‎ 则圆心到直线的距离，故直线和圆相交． ‎ ‎（2）设，，‎ 将直线的参数方程代入得， ‎ 因直线过点，且点在圆内，‎ 则由的几何意义知．‎ ‎【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程和普通方程的互化，关键是直线参数方程中参数的几何意义的应用，属于中档题.‎ ‎16.已知，R，矩阵的两个特征向量，．‎ ‎（1）求矩阵的逆矩阵；‎ ‎（2）若，求．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由矩阵的特征向量求法，解方程可得，再由矩阵的逆矩阵可得所求；‎ ‎（2）求得，再由矩阵的多次变换，可得所求.‎ ‎【详解】解：（1）设矩阵的特征向量对应的特征值为，特征向量对应的特征值为，‎ 则 ‎ ‎，则． ‎ ‎（2）因， ‎ 所以 ‎．‎ ‎【点睛】本题考查矩阵的特征值和特征向量，考查矩阵的逆矩阵，以及矩阵的变换，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎17.羽毛球比赛中采用每球得分制，即每回合中胜方得1分，负方得0分，每回合由上回合的胜方发球．设在甲、乙的比赛中，每回合发球，发球方得1分的概率为0.6，各回合发球的胜负结果相互独立．若在一局比赛中，甲先发球．‎ ‎（1）求比赛进行3个回合后，甲与乙的比分为的概率；‎ ‎（2）表示3个回合后乙的得分，求的分布列与数学期望．‎ ‎【答案】（1）0.336（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）记“第回合发球，甲胜”为事件，=1，2，3，且事件相互独立，设“3个回合后，甲与乙比分为2比1”为事件，由互斥事件概率加法公式和相互独立事件乘法公式求出比赛进行3个回合后，甲与乙比分为2比1的概率；‎ ‎（2）的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此求出的分布列和数学期望.‎ ‎【详解】解：记“第回合发球，甲胜”为事件，=1，2，3，且事件相互独立．‎ ‎（1）记“3个回合后，甲与乙比分为2比1”为事件，‎ 则事件发生表示事件或或发生，‎ 且，，互斥． ‎ 又，‎ ‎，‎ ‎． ‎ 由互斥事件概率加法公式可得 ‎．‎ 答：3个回合后，甲与乙比分为2比1的概率为0.336． ‎ ‎（2）因表示3个回合后乙的得分，则0，1，2，3．‎ ‎，， ‎ ‎．‎ ‎． ‎ 所以，随机变量的概率分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.216‎ ‎0.336‎ ‎0.304‎ ‎0.144‎ 故随机变量的数学期望为 ‎=．‎ 答：的数学期望为1.376．‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.‎ ‎18.已知数列满足：，（R，N*）．‎ ‎（1）若，求证：；‎ ‎（2）若，求证：．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）用数学归纳法证明结论即可；‎ ‎（2）因为（N*），‎ 则，然后用反证法证明当时有矛盾，所以原不等式成立即可.‎ ‎【详解】（1）当时，．下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当时，，结论成立； ‎ ‎②假设当时，有成立，则当时，‎ 因，‎ 所以时结论也成立．‎ 综合①②可知（N*）成立． ‎ ‎（2）因（N*），‎ 则， ‎ 若，则当时，，与矛盾．‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题考查数列的递推公式、数学归纳法证明、反证法等知识，属于中档题.‎ ‎19.如图，已知点是椭圆上的任意一点，直线与椭圆交于，两点，直线，的斜率都存在．‎ ‎（1）若直线过原点，求证：为定值；‎ ‎（2）若直线不过原点，且，试探究是否为定值．‎ ‎【答案】（1）见解析（2），详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，，由椭圆对称性得，把点，的坐标都代入椭圆得到两个方程，再相减，得到两直线斜率乘积的表达式；‎ ‎（2）设，，，则，由得：，进而得到直线的方程，再与椭圆方程联立，利用韦达定理得到坐标之间的关系，最后整体代入消元，得到为定值.‎ ‎【详解】（1）当过原点时，设，，由椭圆对称性得，‎ 则． ‎ ‎∵，都在椭圆上，∴，，‎ 两式相减得：，即．‎ 故． ‎ ‎（2）设，，，则，∵，‎ ‎∴，设直线的方程为()， ‎ 联立方程组消去，‎ 整理得．‎ ‎∵在椭圆上，∴，‎ 上式可化为．‎ ‎∴，， ‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴‎ ‎；‎ ‎．‎ ‎∴（定值）．‎ ‎【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，对综合运算能力要求较高，对坐标法进行深入的考查，要求在运算过程中要大胆、耐心、细心地进行运算.‎ ‎20.对任意正整数，，定义函数满足如下三个条件：‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③．‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）求的解析式．‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知关系式直接推得即可；（2）由依次推出，再由，，依次推出即可.‎ ‎【详解】解：（1）因，令代入得:‎ ‎，令，代入得:‎ ‎，‎ 又，令代入得：‎ ‎．‎ 令，代入得：． ‎ ‎（2）由条件②可得 ‎，‎ ‎，‎ ‎……‎ ‎．‎ 将上述个等式相加得：． ‎ 由条件③可得：，‎ ‎，‎ ‎… …‎ ‎．‎ 将上述个等式相加得：‎ ‎ ．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的递推关系式，注意观察规律，细心完成即可.‎ ‎ ‎ ‎ ‎