2018-2019学年浙江省“温州十五校联合体”高二下学期期中考试数学试题 解析版

2018-2019学年浙江省“温州十五校联合体”高二下学期期中考试数学试题 解析版

绝密★启用前 浙江省“温州十五校联合体”2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合，，则＝ (　 )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式求得集合，然后求两个集合的交集得出正确结论.‎ ‎【详解】‎ 由，解得，故，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎2．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点为 (　 )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数除法运算，化简为的形式，由此求得对应的点的坐标.‎ ‎【详解】‎ 依题意，对应的点为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查复数的除法运算，考查复数对应点的坐标，属于基础题.‎ ‎3．下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是 (　 )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的奇偶性和单调性，对选项逐一分析，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，，故函数为非奇非偶函数.对于B选项，，函数为奇函数，当时，为递增函数，根据奇函数图像关于原点对称可知函数在时也是增函数，且，故函数在上为递增函数，符合题意，B选项正确.对于C选项，函数的定义域为，函数在这个区间上没有单调性，C选项不符合题意.对于D选项，由于函数定义域是，且，所以函数为偶函数，不符合题意.综上所述，本小题选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，考查利用定义判断函数的奇偶性，属于基础题.‎ ‎4．若,则下列结论正确的是 (　 )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先用作为分段点，找到小于和大于的数.然后利用次方的方法比较大小.‎ ‎【详解】‎ 易得，而，故，所以本小题选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查指数式和对数式比较大小，考查指数函数和对数函数的性质，属于基础题.‎ ‎5．已知,为的导函数，则的图像是 （ ）‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得函数的导函数，再对导函数求导，然后利用特殊点对选项进行排除，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 依题意，令，则.由于，故排除C选项.由于，故在处导数大于零，故排除B,D选项.故本小题选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查导数的运算，考查函数图像的识别，属于基础题.‎ ‎6．在的展开式中，含项的系数是 (　 )‎ A．165 B．164 C．120 D．119‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项式展开式的通项公式，求得表达式中每一项中展开式的项的系数，然后相加求得结果.‎ ‎【详解】‎ 依题意，项的系数为 .故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查二项式的性质，属于中档题.‎ ‎7．已知是函数，的图象上的两个动点，则当达到最小时,的值为 (　 )‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得图像上切线斜率为的切点的横坐标，即是的值.‎ ‎【详解】‎ 依题意可知，当图像上的切线和平行时，取得最小值，令，解得，故，所以选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题考查函数导数，考查切线斜率与导数的对应关系，属于基础题.‎ ‎8．现有甲，乙，丙，丁，戊5位同学站成一列，若甲不在右端，且甲与乙不相邻的不同站法共有(　 )‎ A．60种 B．36种 C．48种 D．54种 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先排甲，然后排乙，最后排丙、丁、戊，由此计算出不同的站法数.‎ ‎【详解】‎ 甲排号位，乙可以排号位，故方法数有种.甲排号位，乙可以排号位，故方法数有种.甲排号位，乙可以排号位，故方法数有种.甲排号位，乙可以排号位，故方法数有种.故总的方法数有种.故选D.‎ 甲1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ 甲2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎2‎ 甲3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 甲4‎ ‎5‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查有限制条件的排列组合问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎9．下列命题正确的是 (　 )‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，利用导数求得函数的单调性，由此判断出正确的选项.‎ ‎【详解】‎ 根据对数函数的定义域可知.构造函数，，故在上是增函数.故当，即时，根据单调性可知.故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数的单调性，考查构造函数法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎10．已知函数 ，若方程有且只有三个不同的实数根，则的取值范围是 (　 )‎ A． B．∪‎ C． D．∪‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别令和，画出和的图像，根据两个图像交点的个数，对选项进行排除，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 当时，，画出函数和 的图像如下图所示，由图可知，有且仅有三个不同的实数根，符合题意，由此排除A,D两个选项.‎ 当时，，注意到，即，此时判别式，有两个根.由此画出函数和的图像如下图所示，由图可知，有且仅有三个不同的实数根，符合题意，由此排除C选项.故本小题选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查含有绝对值的函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎11．已知函数，且，则=_____，实数_______.‎ ‎【答案】 2 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分段函数解析式，求得的值.利用求得的值.‎ ‎【详解】‎ 依题意.，，解得.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查分段函数求值，考查复合函数求值，属于基础题.‎ ‎12．在探究“杨辉三角”中的一些秘密时，小明同学发现了一组有趣的数：；； ； ，请根据上面数字的排列规律，写出下一组的规律并计算其结果：____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察等式左边表达式的上标和下标，找到规律；观察等式右边表达式可知，右边是斐波那契数列中的某些项，由此写出下一组的规律并计算其结果.‎ ‎【详解】‎ 观察等式左边表达式可知，下一组有六个式子相加，上标从逐一递减至，下标从逐一递增至.斐波那契数列为，故等式右边为，由此可知下一组为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查合情推理，考查分析与思考问题的能力，属于基础题.‎ ‎13．若，则=____， = ___.‎ ‎【答案】128 21 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，求得的值.利用展开式的通项公式，求得的值.‎ ‎【详解】‎ 令，得.展开式的通项公式为，当时，为，即.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查赋值法求解二项式系数有关问题，属于基础题.‎ ‎14．已知某口袋中装有除颜色外其余完全相同的2个白球和3个黑球，现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球）. 记换好后袋中的白球个数为，则的数学期望=___，方差=___ .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得的可能取值，然后求得分布列，由此计算出期望和方差.‎ ‎【详解】‎ 依题意可知的可能取值为，且.故的分布列为 X P 所以,.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查分布列的计算，考查数学期望和方差的计算，属于基础题.‎ ‎15．已知定义域为的函数的导函数的图象如图所示，且 ，则函数的增区间为_______，若 ，则不等式的解集为_________. ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导函数图像的正负判断出函数的增区间.化简，对进行分类讨论，由此求得不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ 根据导函数图像可知，当时，，函数单调递增，故函数的增区间为.不等式等价于.由于，且函数在上递减，在上递增，所以：当时，，则；当时，；当时，；当时，.故不等式的解集为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用导函数的图像判断原函数的单调性，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎16．已知函数在内不单调，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得函数的导函数，对分成两类，根据函数在内不单调列不等式，解不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域为，，当时，，单调递增，不符合题意.当时，构造函数，函数的对称轴为，要使在内不单调，则需，即，解得或.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎17．已知函数，若且，则的取值范围是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出的图像，根据图像判断出，由此求得的表达式，利用二次函数值域的求法求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由且得.画出的图像，如下图所示，由图可知，，故 ，故的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎18． 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若为偶函数，求在上的值域；‎ ‎（Ⅱ）若在区间上是减函数，求在上的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）根据函数为偶函数，利用求得的值.根据的取值范围求得函数值的取值范围.（II）根据二次函数的对称轴判断出函数在区间上的单调性，比较的函数值，由此求得在上的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）因为函数为偶函数，故，得.，因为，所以,故值域为：. ‎ ‎（Ⅱ）若在区间上是减函数，则函数对称轴 因为，所以时，函数递减，时，函数 递增，故当时， ，， ‎ ‎ ‎ 由于 ，故在上的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数的奇偶性，考查二次函数的值域，考查二次函数的单调区间，属于中档题.‎ ‎19．已知函数，，设 ‎（Ⅰ）求函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）求不等式的解集.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）解不等式和，求得的取值范围，由此求得的表达式.（II）对分成“”和“或”两种情况，去绝对值，求得不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）当时， ,解得.‎ 当时，.解得或.‎ 所以 ‎ ‎（Ⅱ）（1）当时，由，得，所以 解得或 ，于是 ‎ ‎（2）当或时由，得 ‎①若时，不等式化为， 无解. ‎ ‎②若时，不等式化为，解得 ‎ 由（1），（2）得. ‎ 故不等式的解集为 .‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查分段函数解析式的求法，考查含有绝对值的不等式的解法，属于中档题.‎ ‎20．已知正项数列满足，前项和满足，‎ ‎（Ⅰ）求，，的值 ‎（Ⅱ）猜测数列的通项公式，并用数学归纳法证明.‎ ‎【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）先求得的值，然后求得的值，进而求得的值.（II）先猜想出数列的通项公式.然后证明当，的通项公式符合，假设当时结论成立，证得当时结论成立，由此得到数列的通项公式.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）当时，， 解得 当时，，‎ 当时，， .‎ ‎（Ⅱ）猜想得 ‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎①时，满足. ‎ ‎②假设时，结论成立，即，则时 ‎ ‎， ‎ 将代入化简得 ， ‎ 故时 结论成立 . ‎ 综合①②可知，．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查求数列的前几项，考查利用数学归纳法求数列的通项公式，属于中档题.‎ ‎21．已知函数，‎ ‎（Ⅰ）若的图像在处的切线与直线垂直，求实数的值及切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若过点存在3条直线与曲线相切，求的取值范围 ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）利用导数求得函数图像在处切线的斜率，根据两条直线垂直斜率的关系列方程，解方程求得的值，求得切点坐标后求出切线方程.（II）设切点坐标，利用导数求得切线方程，将代入切线方程并化简，构造函数，将条切线问题转化为直线与有三个不同交点问题来解决，利用导数求得的极大值和极小值，由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由得，于是在处的切线的斜率为.‎ 由于切线与直线垂直，所以. 故实数的值为. ‎ 当时，切点为，切线为;‎ 当时，切点为，切线为. ‎ ‎（Ⅱ）设切点坐标，切线斜率为，则有，所以切线方程为： ‎ 因为切线过，所以将代入直线方程可得：‎ ‎ ,‎ 所以问题等价于方程，令,‎ 即直线与有三个不同交点.‎ 由，令解得,‎ 所以在单调递减，在单调递增.的极大值为，极小值为,所以若有三个交点，则,‎ 所以当时，过点存在条直线与曲线相切 .‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用导数求解有关切线的问题，考查两直线垂直时斜率的关系，考查利用导数研究函数的极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.‎ ‎22．已知函数，为大于0的常数. ‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若函数有两个极值点，且，求证：.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分子所对应的二次函数,分情况讨论的正负以及根与1的大小关系，即可；（2）由（1）得两个极值点满足，所以，则，将化简整理为的函数即，构造函数求导证明不等式即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)函数的定义域为.‎ 由题意，. ‎ ‎（i）若，则，于是，当且仅当时，，所以在单调递减. ‎ ‎（ii）若，由，得或，‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 所以在单调递减，单调递增. ‎ ‎（iii）若，则，‎ 当时，；当时，；‎ 所以在单调递减，单调递增 ‎ 综上所述，当时，函数在上单调递减；‎ 当时，函数在上单调递减，上单调递增；‎ 当时，函数在上单调递减，上单调递增. ‎ ‎（2）由（1）知，有两个极值点当且仅当， ‎ 由于的两个极值点满足，所以，则，‎ 由于 ‎.‎ 设.‎ ‎.‎ 当时，，所以. ‎ 所以在单调递减，又.‎ 所以，即.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数导数与单调性，证明不等式，第一问讨论要全面，并且要关注定义域，第二问减元思想的运用，是难题.‎