广西南宁市第二中学2018届高三2月月考数学（理）试题

广西南宁市第二中学2018届高三2月月考数学（理）试题

南宁二中2018年2月高三月考试题 理科数学 注意事项 ‎1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。‎ ‎2.答卷前，考生务必在答题卡上用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码，请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。‎ ‎3.答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。‎ ‎4.答第Ⅱ卷时，请用直径0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡各题的答题区域内作答。‎ ‎5.第（22）、（23）小题为选考题，请按题目要求从中任选一题做答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。‎ ‎6.考试结束后，将答题卡交回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合，，则为（）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.复数对应的点在复平面内位于（）‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.已知随机变量服从正态分布，且，则实数的值为（）‎ A. B. C. D.‎ ‎4.直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是（）‎ A. B. C. D.‎ ‎5.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）‎ A. B. C. D.‎ ‎6.展开式中，含项的系数为（）‎ A. B. C. D.‎ ‎7.在中，内角，，的对边分别是，，，若，，则（）‎ A.° B.° C.° D.°‎ ‎8.如图是一个算法的程序框图，当输入的的值为时，输出的值恰好是，则“？”处应填的关系式可能是（）‎ A. B. C. D.‎ ‎9.函数，（，，是常数，，，）的部分图像如图所示，若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是（）‎ A. B. C. D.‎ ‎10.球面上有三点,,组成这个球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中,,，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则球的表面积为（）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.抛物线的焦点，已知点和分别为抛物线上的两个动点，且满足°，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.定义在上的单调函数，，，则方程的解所在区间是（）‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答。第（22）~第（23）题为选考题，考生根据要求做答。‎ ‎13.若实数，满足条件，则的最大值为 ▲ .‎ ‎14.已知向量，，且在上的投影为，则与夹角为 ▲ .‎ ‎15.已知圆：与轴负半轴的交点为，为直线上一点，过作圆的切线，切点为，若，则的最大值为 ▲ .‎ ‎16.已知函数，，其中.若满足不等 的解的最小值为，则实数的取值范围是 ▲ .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程。‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 在中，角，，的对边分别是，，，且满足.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列，求的前项和.‎ ‎18.（本小题满分12分）对某地区儿童的身高与体重的一组数据，我们用两种模型①，②拟合，得到回归方程分别为，，作残差分析，如表：‎ 身高 ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎90‎ ‎100‎ ‎110‎ 体重 ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎18‎ ‎0.41‎ ‎0.01‎ ‎1.21‎ ‎0.41‎ ‎0.07‎ ‎0.12‎ ‎1.69‎ ‎（Ⅰ）求表中内实数的值；‎ ‎（Ⅱ）根据残差比较模型①，②的拟合效果，决定选择哪个模型；‎ ‎（Ⅲ）残差大于的样本点被认为是异常数据，应剔除，求剔除后对（Ⅱ）所选择的模型重新建立的线性回归方程，并检验一数据点身高，体重是否为异常数据.（结果保留到小数点后两位）‎ 附：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，.‎ ‎19.（本小题满分12分）如图长方体的，底面的周长为4，‎ 为的中点.‎ ‎（Ⅰ）判断两直线与的位置关系，不需要说明理由；‎ ‎（Ⅱ）当长方体体积最大时，求二面角的大小；‎ ‎（Ⅲ）若点满足，试求出实数的值，使得平面.‎ ‎20.（本小题满分12分）已知椭圆：和椭圆：，离心率相同，且点在椭圆上.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设为椭圆上一点，过点作直线交椭圆于，两点，且恰为弦的中点，则当点变化时，试问的面积是否为常数，若是，请求出此常数，若不是，请说明理由。‎ ‎21.（本小题满分12分）已知函数，其中 ‎（Ⅰ）若，且当时，总成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若，，，若存在两个极值点，，求证：‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为：，直线的参数方程是（为常数，‎ ‎）‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与曲线交于两点，，且线段的中点为，求.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数，且的解集为 ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，，都是正实数，且，求证：.‎ 南宁二中2018届毕业班测试题 理科数学参考答案 ‎1.【答案】B.‎ 解析：，，，，选B.‎ ‎2.【答案】D.‎ 解析：，复数在复平面内对应的点的坐标为，在第四象限内.故选D.‎ ‎3.【答案】A.‎ 解析：由正态密度曲线关于对称，所以，选A.‎ ‎4.【答案】C.‎ 解析：圆，圆心到直线的距离小于半径，由点到直线的距离公式：，计算，所以选C.‎ ‎5.【答案】A.‎ 解析：该几何体由底半径为1的半圆锥与底面为边长等于2正方形的四棱锥组成，且高都为，因此该几何体体积为.选A.‎ ‎6.【答案】B.‎ 解析：∵展开式的通项公式为，∴展开式中，含项的系数为，故选B.‎ ‎7.【答案】A.‎ 解析：由，结合正弦定理得，又，那么，由余弦定理得，所以°.‎ ‎8.【答案】A.‎ 解析：依题意，输入的的值为7，执行4次循环体，的值变为，这时，如果输出的值恰好是，则函数关系式可能为.故应选A.‎ ‎9.【答案】B.‎ 解析：由图可知，函数周期等于，所以，，过点，于是，计算，所以，，结合图形可知，选B.‎ ‎10.【答案】A.‎ 解析：由∵，∴为直角三角形，其外接圆半径为，即截面的圆的半径为，又球心到截面的距离为，‎ ‎∴，，∴.选A.‎ ‎11.【答案】D.‎ 解析：过和分别作准线的垂线，垂足分别为和,由抛物线定义知：,故,又在三角形ABF中，，所以 ‎，而,则 ‎，即,因此，当且仅当取等号.‎ ‎12.【答案】C.‎ 解析：令，由函数单调可知为正常数，则，且 ‎，即，设，，所以在上是增函数，又，所，∴，而，所以方程可化为，记，而，所以在上是增函数，又，所以方程的解在区间内.‎ ‎13.【答案】.‎ 解析：作出可行域如图，令，在点处达到最大值10，则达到最大值.‎ ‎14.【答案】.‎ 解析：由公式：在上的投影=得，，求解得，所以，由向量夹角公式，则与夹角.‎ ‎15.【答案】.‎ 解析：设，由可得，化简得，可转化为直线与圆有公共点，所以，解得.‎ ‎16.【答案】或.‎ 解析：由得，即，令，则，由题意知是方程的. ∴，得，又，∴，即，解得或.选D.‎ ‎17．解析：(Ⅰ)∵，∴，……4分 又，∴；……5分 ‎(Ⅱ)设的公差为，由已知得，且，‎ ‎∴．又不为零，∴，……9分∴……10分 ‎∴……11分 ‎∴……12分18.解析：（Ⅰ）根据残差分析，把代入得..所以表中空格内的值为.…………2分 ‎（Ⅱ）模型①残差的绝对值和为，‎ 模型②残差的绝对值和为.‎ ‎，所以模型①的拟合效果比较好，选择模型①.…………6分 ‎（Ⅲ）残差大于的样本点被剔除后，剩余的数据如表 身高 ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎100‎ ‎110‎ 体重 ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎18‎ ‎0.41‎ ‎0.01‎ ‎0.41‎ 由公式：，.得回归方程为.…………11分 代入，得，故该数据不是异常数据.…………12分 ‎19．解析：(Ⅰ)与是相交直线．……2分 不需要说明理由（连接，，则是平行四边形，也是的中点，‎ ‎∴，∴为梯形，，，，四点共面，与为梯形两腰，故与相交.）‎ ‎(Ⅱ)设，，‎ 当且仅当，时取等号……3分 分别以边，，所在直线为，，轴，建立如图所示直角坐标系，则，，，………………4分 ‎，，，‎ 设平面的法向量为，‎ 则，取，则……6分 同理平面的法向量………………7分 设所求二面角为，则，又二面角为钝角，所以°………………8分 ‎(Ⅲ)设点，，，由，可得，……9分 所以，…………10分 由，得，…………12分 ‎20．解析：(Ⅰ)因为且即，，∴椭圆的方程为……4分 ‎(Ⅱ)当直线的斜率不存在时，必有，此时，；……5分 当直线的斜率存在时，设其斜率为、点，则：‎ 与椭圆联立，得，‎ 设，，则，即……8分 又，∴……9分 ‎，综上，无论怎样变化，△AOC的面积为常数．……12分 ‎21.解析：(Ⅰ)因为在有意义，所以…………1分 若，则，，所以…………2分 若，则………………3分 当时，…………4分 当时，在上为减函数，在上为增函数，，不成立，综上，.…………6分 ‎(Ⅱ)由于，，因为有两个极值点，所以，因此…………7分 令，因此极值点，为方程的两个根，又 ‎，‎ 注意到，，，，…………9分 所以…………10分 注意到，因此…………11分 又，‎ 因此.…………12分 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.解析: (Ⅰ)曲线：，即，于是有，‎ 化为直角坐标方程为:…………5分 ‎(Ⅱ)方法1: ‎ 即…………6分 由的中点为得,有，所以…………8分 由 得.…………10分 方法2:设，则 ‎，‎ ‎∵，∴，由 得.‎ 方法3: 设，，则由是的中点得 ‎，‎ ‎∵，∴，，知，‎ ‎∴，由 得.‎ 方法4:依题意设直线：，与联立得，‎ 即 由得 ，因为 ,所以.‎ ‎23.解析：(Ⅰ)依题意,即，‎ ‎∴ ‎ ‎(Ⅱ)方法1:∵‎ ‎∴‎ 当且仅当，即，，时取等号 ‎ 方法2: ∵‎ ‎∴由柯西不等式得 整理得 当且仅当,即，，时取等号.‎ ‎ ‎