2019-2020学年重庆市第一中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年重庆市第一中学高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年重庆市第一中学高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】化简集合，按照并集的定义，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎， ‎ ‎.‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查集合间的运算，属于基础题.‎ ‎2．已知函数，在下列区间中，函数一定有零点的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】判断选项中区间端点的函数值是否异号，即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 在是连续的增函数，‎ ‎，‎ ‎ 函数一定有零点,且在区间上.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查零点的存在性定理，属于基础题.‎ ‎3．计算的结果是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】化简，再用二倍角公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数化简求值，属于基础题.‎ ‎4．下列函数为奇函数的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据奇函数的定义逐项检验即可.‎ ‎【详解】‎ A选项中故不是奇函数，B选项中故不是奇函数, C选项中故不是奇函数, D选项中，是奇函数，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了奇函数的判定，属于中档题.‎ ‎5．要得到函数的图像，只需将函数的图象（ ）‎ A．把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位 B．把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位 C．把各点的横坐标伸长到原来的倍，再向右平移个单位 D．把各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位 ‎【答案】A ‎【解析】根据三角函数图像伸缩、平移关系，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 函数的图象各点的横坐标缩短到原来的倍，‎ 得到函数的图像，再将图像再向右平移个单位，‎ 得到函数的图像.‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数图像间的变换关系，属于基础题.‎ ‎6．已知函数的部分图像如图所示，则的解析式是（）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据图像的最大值和最小值得到，根据图像得到周期，从而求出，再代入点得到的值.‎ ‎【详解】‎ 由图像可得函数的最大值为2，最小值为-2，故 根据图像可知，‎ 所以，‎ 代入点得 所以，‎ 因为，所以 ‎ 所以，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据正弦型函数的图像求函数的解析式，属于简单题.‎ ‎7．已知，，，则，，的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用换底公式化简，而，利用在单调性比较与的大小关系，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查比较数的大小关系，涉及到对数换底公式、对数函数和正弦函数的单调性，属于中档题.‎ ‎8．已知函数，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】问题转化为，求出在上的最小值，而为或，解不等式组，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎，当时最小值为-1‎ 对任意，总存在，使得成立，‎ 只需，即，‎ 而为或，‎ 只需，解得.‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查不等式存在成立和恒成立问题，转化为函数的最值是解题的关键，属于中档题.‎ ‎9．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】令，要使已知函数的值域为，需 值域包含，对二次项系数分类讨论，结合二次函数图像，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 当时，不合题意；‎ 当时，，此时，满足题意；‎ 当时，要使函数的值域为，‎ 则函数值域包含，‎ ‎，解得，‎ 综上实数的取值范围是.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查复合函数的值域，属于中档题.‎ ‎10．函数在区间上的图像大致为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】结合选项对和函数分类讨论去绝对值，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查已知函数求图像，化简函数是解题的关键，属于中档题.‎ ‎11．已知函数，给出以下四个命题：①的最小正周期为；②在上的值域为；③的图像关于点中心对称；④的图像关于直线对称．其中正确命题的个数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】化简，根据函数的周期，值域，对称性逐项验证，即可求得结论.‎ ‎【详解】‎ 周期为，①正确；‎ ‎ ‎ 的值域为，②正确；‎ ‎，③正确；‎ 为的最大值，‎ ‎④正确.‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的化简，以及三角函数的性质，属于中档题.‎ ‎12．已知函数，若存在实数，，，使得且，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】做出函数图像，寻求，关系，，关系，以及，的范围，把转化为关于或的函数，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 做出函数图像如下图所示：‎ ‎，，‎ ‎， ‎ 根据三角函数的对称性，+=12，且，‎ ‎=,‎ ‎.‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查函数有关零点关系式的取值范围，解题关键要确定零点间的关系，转化为求函数的取值范围，属于较难题.‎ 二、填空题 ‎13．已知，，则___________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据二倍角公式，先求出，再根据的范围，判断符号，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数求值问题，熟记公式是解题关键，属于基础题。‎ ‎14．已知，，则的值为 ．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】【详解】‎ ‎，故答案为3.‎ ‎15．若函数满足：在定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“阶马格丁香小花花”函数．给出下列四个函数：①；②；③；④．其中是“阶马格丁香小花花”函数的所有函数的序号是___________；‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】判断函数是否为 “阶马格丁香小花花”，只需判断方程是否有实数解，逐个函数代入验证，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎①，方程为，‎ 整理得，无实根，①不是“阶马格丁香小花花”函数；‎ ‎②，方程为，‎ 整理得解得，②是“阶马格丁香小花花”函数； ‎ ‎③，方程为 ‎，整理得，‎ 方程无实根，③不是“阶马格丁香小花花”函数；‎ ‎④，方程为 ‎，整理得 ‎，‎ ‎ ④是“阶马格丁香小花花”函数.‎ 故答案为:②④‎ ‎【点睛】‎ 本题考查新定义问题，要认真审题，转化为判断方程是否有实数解，属于中档题.‎ ‎16．定义在上的函数满足是偶函数，且对任意恒有，又，则___________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】根据已知条件推导出是周期函数，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 是偶函数，所以，‎ ‎,‎ 的周期为12，.‎ 故答案为:1‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的性质，涉及函数的对称性和周期性，属于较难题.‎ 三、解答题 ‎17．（1）若，求值：；‎ ‎（2）计算：.‎ ‎【答案】（1）（2）0‎ ‎【解析】（1）根据诱导公式，化为齐次分式，即可求解；‎ ‎（2）根据对数运算法则、换底公式、对数恒等式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）原式；‎ ‎（2）原式．‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）考查三角函数的求值，化弦为切是解题的关键，属于基本运算；‎ ‎（2）考查对数计算，熟记有关对数计算公式，属于基础题.‎ ‎18．已知集合，集合 ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）化简集合，即求函数的定义域，化简集合，即解一元二次不等式，按交集定义即可求解；‎ ‎（2）由可得，对集合一元二次不等式分类讨论，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1），‎ 当时，因此；‎ ‎（2）而，故：‎ ‎1°当时，因此满足题意；‎ ‎2°当时；‎ ‎3°当时；‎ 综上的取值范围．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合间的关系，考查函数的定义域，和一元二次不等式的解法，属于中档题.‎ ‎19．已知函数.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求的单调递增区间.‎ ‎【答案】（1）（2），．‎ ‎【解析】（1）利用两角和正弦公式，降幂公式，辅助角公式化简，即可求解；‎ ‎（2）运用整体思想结合正弦函数的单调递增区间，即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）‎ ‎，‎ 因此；‎ ‎（2）令，由 ‎，‎ 即的单调递增区间为，．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的化简求值，以及函数的性质，熟记公式是解题的关键，属于中档题.‎ ‎20．已知函数的相邻两对称轴间的距离为，若将的图像先向左平移个单位，再向下平移个单位，所得的函数为奇函数．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若关于的方程在区间上有两个不等实根，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）根据相邻两对称轴间的距离求出值，由函数图像的变换关系，求出函数，再结合是奇函数，即可求出参数；‎ ‎（2）设，，原方程在区间上有两个不等实根，转化为方程在内仅有一个根，且另一个根，转化一元二次方程根的分布求参数，或分离参数转化为对勾函数与直线交点横坐标范围，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意知的周期，‎ 故，‎ 而 为奇函数，则，且 ‎，‎ 而，故，因此；‎ ‎（2）由（1）知，题意等价于 在区间上有两个不等实根，‎ 令，，则题意 方程在内仅有一个根，且另一个根．‎ 法一：令，则题意或；‎ 法二：显然不是该方程的根，题意 与的图像在内仅有一个交点且另一个交点不为，‎ 由于对勾函数在上单减，在上单增，‎ 故有或，因此．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数图像的变换关系，考查函数的零点分布常用的方法，一是直接研究函数与轴交点范围，结合零点存在性定理求出参数范围；二是转化为两个函数交点横坐标的范围.‎ ‎21．定义二元函数，，，如．已知二次函数过点，且对恒成立．‎ ‎（1）求的值，并求函数的解析式；‎ ‎（2）若函数，求在上的值域．‎ ‎【答案】（1）-4，（2）‎ ‎【解析】（1）根据已知设，由新定义得，已知不等式转化为，恒成立，得出，求出关系，结合已知转化的不等式恒成立，求出值，即可求解；‎ ‎ （2）求出，利用换元转化为求二次函数的值域.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设，，‎ 由 ‎，‎ 令，得，‎ 由得，‎ 于是，‎ 由题：，‎ ‎，‎ 检验知此时满足，，‎ 故；‎ ‎（2）由题知，‎ 令，显然在上单增，故当时，，‎ 则，，‎ 因此 也即在上的值域为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查新定义函数，认真审题领会题意，考查一元二次不等式恒成立求参数，考查换元法等价转化求二次函数的值域，属于较难题.‎ ‎22．已知定义在的奇函数满足：①；②对任意均有；③对任意，均有.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）利用定义法证明在上单调递减；‎ ‎（3）若对任意，恒有，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）0（2）见解析（3）‎ ‎【解析】（1）用赋值法令，即可求解；‎ ‎（2）根据函数的单调性定义，设，比较大小，做差，利用条件等式转化为一个函数值，或对按已知等式赋值将函数值的差转化为一个函数值，判断该函数值的正负，即可得出结论；‎ ‎（3）根据已知条件求出或，利用函数的单调性，不等式转化为对任意,不等式或者恒成立，令，，则，，则不等式等价于……①或……②对任意恒成立，，，转化二次函数最值的不等量关系，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）在中，‎ 令；‎ ‎（2）由题知：对任意都有，‎ 且对任意均有 证一：任取，则 ‎，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 即即，也即在单调递减；‎ 证二：任取，设，，，，‎ 则，‎ 因为，所以，即，‎ 也即在单调递减；‎ ‎（3）在中 令，‎ 令，，‎ 而为奇函数，故，‎ 又在及上均单调递减，‎ 因此原不等式等价于对任意，‎ 不等式或者恒成立，‎ 令，，则，‎ ‎，则不等式等价于 ‎……①或……②‎ 对任意恒成立，‎ 法一：令，立，开口向上，‎ 则不等式①；‎ 对于②，当时，由，‎ 即必不存在满足②.‎ 综上，.‎ 法二：‎ 令，，‎ 开口向上，对称轴为，‎ 且，，，‎ ‎1°当即时，问题等价于 或，解得；‎ ‎2°当即时，‎ 问题等价于或，‎ 解得；‎ ‎3°当即时，‎ 问题等价于或，‎ 解得；‎ ‎4°当即时，‎ 问题等价于或，解得；‎ 综上，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抽象函数，合理运用赋值法求函数值，证明函数的函数的单调性，并利用函数的单调性解不等式，考查不等式恒成立问题，等价转化求函数最值有关的不等式，属于难题.‎