2011年高考数学真题分类汇编N
课标理数5.N1[2011·北京卷] 如图1－2，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.
图1－2
给出下列三个结论：
①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；
②AF·AG＝AD·AE；
③△AFB∽△ADG.
其中正确结论的序号是( )
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
课标理数5.N1[2011·北京卷] A 【解析】 因为AD、AE、BC分别与圆O切于点D、E、F，所以AD＝AE，BD＝BF，CF＝CE，又AD＝AB＋BD，所以AD＝AB＋BF，同理有AE＝CA＋FC.又BC＝BF＋FC，所以AD＋AE＝AB＋BC＋CA，故①正确；对②，由切割线定理有：AD2＝AF·AG，又AD＝AE，所以有AF·AG＝AD·AE成立；对③，很显然，∠ABF≠∠AGD，所以③不正确，故应选A.
图1－2
课标理数15.N1[2011·广东卷] (几何证明选讲选做题)如图1－2，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝________.
课标理数15.N1[2011·广东卷] 【解析】 因为PA为圆O切线，所以∠PAB＝∠ACB，又∠APB＝∠BAC，
所以△PAB∽△ACB，所以＝，所以AB2＝PB·CB＝35，所以AB＝.
课标文数15.N1[2011·广东卷] (几何证明选讲选做题)如图1－3，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，
图1－3
E、F分别为AD、BC上点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比
为________．
课标文数15.N1[2011·广东卷] 7∶5
图1－4
【解析】 图1－4延长AD与BC交于H点，由于DC∥EF∥AB，又＝，
所以＝，同理＝，所以S△HDC∶S梯形DEFC∶S梯形EFBA＝4∶5∶7，
所以梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为7∶5.
图1－2
课标理数11.N1[2011·湖南卷] 如图1－2，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________．
课标理数11.N1[2011·湖南卷] 【解析】 连结AO与AB，因为A，E是半圆上的三等分点，所以∠ABO＝60°，∠EBO＝30°.
因为OA＝OB＝2，所以△ABO为等边三角形．又因为∠EBO＝30°，∠BAD＝30°，所以F为△ABO的中心，易得AF＝.
课标理数22.N1[2011·课标全国卷]
图1－11
如图1－11，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合，已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．
(1)证明：C，B，D，E四点共圆；
(2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．
课标理数22.N1[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)证明：连结DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB＝mn＝AE×AC，
即＝，又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE∽△ACB，
因此∠ADE＝∠ACB，
即∠ACB与∠EDB互补，所以∠CED与DBC互补，
所以C，B，D，E四点共圆．
图1－12
(2)m＝4，n＝6时，方程x2－14x＋mn＝0的两根为x1＝2，x2＝12.
故AD＝2，AB＝12.
取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连结DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.
由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC，
从而HF＝AG＝5，DF＝(12－2)＝5，
故C，B，D，E四点所在圆的半径为5.
课标理数22.N1[2011·辽宁卷] 选修4－1：几何证明选讲
图1－11
如图1－11，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，EC＝ED.
(1)证明：CD∥AB；
(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．
课标理数22.N1[2011·辽宁卷] 【解答】 (1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.
因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA，故∠ECD＝∠EBA，所以CD∥AB.
图1－12
(2)由(1)知，AE＝BE，因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC.从而∠FED＝∠GEC.
连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.
又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA，
所以∠AFG＋∠GBA＝180°，
故A，B，G，F四点共圆．
课标文数22.N1[2011·辽宁卷] 如图1－10，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线
图1－10
与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.
(1)证明：CD∥AB；
(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．
课标文数22.N1[2011·辽宁卷] 【解答】 (1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.
图1－11
因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA.
故∠ECD＝∠EBA.
所以CD∥AB.
(2)由(1)知，AE＝BE，因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，
从而∠FED＝∠GEC.
连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.
又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA.
所以∠AFG＋∠GBA＝180°.
故A，B，G，F四点共圆．
课标文数22.N1[2011·课标全国卷] 如图1－10，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．
图1－10
已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．
(1)证明：C，B，D，E四点共圆；
(2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．
课标文数22.N1[2011·课标全国卷]
图1－11
【解答】 (1)证明：连结DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB＝mn＝AE×AC，
即＝，又∠DAE＝∠CAB ，从而△ADE∽△ACB.
因此∠ADE＝∠ACB，
即∠ACB与∠EDB互补，所以∠CED与∠DBC互补，
所以C，B，D，E四点共圆．
(2)m＝4，n＝6时，方程x2－14x＋mn＝0的两根为x1＝2，x2＝12.
故AD＝2，AB＝12.
取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连结DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.
由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC，从而HF＝AG＝5，DF＝(12－2)＝5.
故C，B，D，E四点所在圆的半径为5.
课标理数15.[2011·陕西卷] (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)
N4A.(不等式选做题)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是____________．
图1－5
N1B.(几何证明选做题)如图1－5，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________．
N3C.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．
课标理数15.(1)N4[2011·陕西卷] a≥3或a≤－3
【解析】 令t＝|x＋1|＋|x－2|得t的最小值为3，即有|a|≥3，解得a≥3或a≤－3.
课标理数15.(2)N1[2011·陕西卷] 4 【解析】 在Rt△ADC中，CD＝8；在Rt△ADC与Rt△ABE中，∠B＝∠D，所以△ADC∽△ABE，故＝，BE＝×CD＝4.
课标理数15.(3)N3[2011·陕西卷] 3 【解析】 由C1：消参得(x－3)2＋(y－4)2＝1；由C2：ρ＝1得x2＋y2＝1，两圆圆心距为5，两圆半径都为1，故|AB|≥3，最小值为3.
课标文数15.[2011·陕西卷] N4A.(不等式选做题)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．
图1－7
N1B.(几何证明选做题)如图1－7，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝________．
N3C.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．
课标文数15A.N4[2011·陕西卷] (－∞，3] 【解析】 由绝对值的几何意义得|x＋1|＋|x－2|≥3，要使得|x＋1|＋|x－2|≥a恒成立，则a≤3，即a∈(－∞，3]．
课标文数15B.N1[2011·陕西卷] 2 【解析】 根据图形由∠ACD＝90°，∠B＝∠D，得A，B，C，D四点共圆，连接BD，则∠DBA＝90°，AB＝6，AD＝12，所以∠BDA＝30°＝∠BCA.因为AE⊥BC，AE＝AC＝2.
课标文数15C.N3[2011·陕西卷] 1 【解析】 由C1：消参得(x－3)2＋y2＝1，由C2：ρ＝1得x2＋y2＝1，两圆圆心距为3，两圆半径都为1，故|AB|≥1，最小值为1.
课标数学21.[2011·江苏卷]
【选做题】 本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
图1－7
N1 A．选修4－1：几何证明选讲
如图1－7，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1>r2)．圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)．求证：AB∶AC为定值．
N2 B．选修4－2：矩阵与变换
已知矩阵A＝，向量β＝.求向量α，使得A2α＝β.
N3 C．选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆(φ为参数)的右焦点，且与直线(t为参数)平行的直线的普通方程．
N4 D．选修4－5：不等式选讲
解不等式x＋|2x－1|<3.
课标数学21.[2011·江苏卷] N1 A．选修4－1：几何证明选讲 本题主要考查两圆内切、相似比等基础知识，考查推理论证能力．
【解答】 证明：连结AO1，并延长分别交两圆于点E和点D.连结BD，CE.
因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上，故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径．
从而∠ABD＝∠ACE＝，所以BD∥CE，
于是＝＝＝.
所以AB∶AC为定值．
N2 B．选修4－2：矩阵与变换 本题主要考查矩阵运算等基础知识，考查运算求 解能力．
【解答】 A2＝＝.
设α＝.由A2α＝β，得＝，从而
解得x＝－1，y＝2，所以α＝.
N3 C．选修4－4：坐标系与参数方程 本题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识，考查转化问题的能力．
【解答】 由题设知，椭圆的长半轴长a＝5，短半轴长b＝3，从而c＝＝4，所以右焦点为(4，0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x－2y＋2＝0.
故所求直线的斜率为，因此其方程为y＝(x－4)，即x－2y－4＝0.
N4 D．选修4－5：不等式选讲 本题主要考查解绝对值不等式的基础知识，考查分类讨论、运算求解能力．
【解答】 原不等式可化为
或
解得≤x<或－2
0)，则BF＝2k，BE＝k.
由DF·FC＝AF·BF，得2＝8k2，即k＝.
∴AF＝2，BF＝1，BE＝，AE＝，
由切割线定理得CE2＝BE·EA＝×＝，
∴CE＝.
课标文数13.N1[2011·天津卷] 如图1－5，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________．
图1－5
课标文数13.N1[2011·天津卷] 【解析】 设AF＝4k(k>0)，则BF＝2k，BE＝k.
由DF·FC＝AF·BF得2＝8k2，即k＝.
∴AF＝2，BF＝1，BE＝，AE＝，
由切割线定理得CE2＝BE·EA＝×＝，
∴CE＝.
课标理数21.[2011·福建卷]
N2(1)选修4－2：矩阵与变换
设矩阵M＝(其中a>0，b>0)．
①若a＝2，b＝3，求矩阵M的逆矩阵M－1；
②若曲线C：x2＋y2＝1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：＋y2＝1，求a，b的值．
N3(2)坐标系选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)．
①已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；
②设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
N4(3)选修4－5：不等式选讲
设不等式|2x－1|<1的解集为M.
①求集合M；
②若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．
课标理数21.[2011·福建卷] 【解答】 N2(1)①设矩阵M的逆矩阵M－1＝)，则MM－1＝)．
又M＝)，所以))＝)．
所以2x1＝1，2y1＝0，3x2＝0，3y2＝1，即x1＝，y1＝0，x2＝0，y2＝.
故所求的逆矩阵M－1＝)．
②设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P′(x′，y′)．
则))＝)，即
又点P′(x′，y′)在曲线C′上，所以＋y′2＝1.
则＋b2y2＝1为曲线C的方程．
又已知曲线C的方程为x2＋y2＝1，故
又a>0，b>0，所以
N3(2)①把极坐标系下的点P化为直角坐标，
得P(0，4)．
因为点P的直角坐标(0，4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．
②因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cosα，sinα)，
从而点Q到直线l的距离为
d＝＝
＝cos＋2.
由此得，当cos＝－1时，d取得最小值，且最小值为.
N4(3)①由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，解得00.
故ab＋1>a＋b.
课标数学21.[2011·江苏卷]
【选做题】 本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
图1－7
N1 A．选修4－1：几何证明选讲
如图1－7，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1>r2)．圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)．求证：AB∶AC为定值．
N2 B．选修4－2：矩阵与变换
已知矩阵A＝，向量β＝.求向量α，使得A2α＝β.
N3 C．选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆(φ为参数)的右焦点，且与直线(t为参数)平行的直线的普通方程．
N4 D．选修4－5：不等式选讲
解不等式x＋|2x－1|<3.
课标数学21.[2011·江苏卷] N1 A．选修4－1：几何证明选讲 本题主要考查两圆内切、相似比等基础知识，考查推理论证能力．
【解答】 证明：连结AO1，并延长分别交两圆于点E和点D.连结BD，CE.
因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上，故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径．
从而∠ABD＝∠ACE＝，所以BD∥CE，
于是＝＝＝.
所以AB∶AC为定值．
N2 B．选修4－2：矩阵与变换 本题主要考查矩阵运算等基础知识，考查运算求 解能力．
【解答】 A2＝＝.
设α＝.由A2α＝β，得＝，从而
解得x＝－1，y＝2，所以α＝.
N3 C．选修4－4：坐标系与参数方程 本题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识，考查转化问题的能力．
【解答】 由题设知，椭圆的长半轴长a＝5，短半轴长b＝3，从而c＝＝4，所以右焦点为(4，0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x－2y＋2＝0.
故所求直线的斜率为，因此其方程为y＝(x－4)，即x－2y－4＝0.
N4 D．选修4－5：不等式选讲 本题主要考查解绝对值不等式的基础知识，考查分类讨论、运算求解能力．
【解答】 原不等式可化为
或
解得≤x<或－20，b>0)．
①若a＝2，b＝3，求矩阵M的逆矩阵M－1；
②若曲线C：x2＋y2＝1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：＋y2＝1，求a，b的值．
N3(2)坐标系选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)．
①已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；
②设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
N4(3)选修4－5：不等式选讲
设不等式|2x－1|<1的解集为M.
①求集合M；
②若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．
课标理数21.[2011·福建卷] 【解答】 N2(1)①设矩阵M的逆矩阵M－1＝)，则MM－1＝)．
又M＝)，所以))＝)．
所以2x1＝1，2y1＝0，3x2＝0，3y2＝1，即x1＝，y1＝0，x2＝0，y2＝.
故所求的逆矩阵M－1＝)．
②设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P′(x′，y′)．
则))＝)，即
又点P′(x′，y′)在曲线C′上，所以＋y′2＝1.
则＋b2y2＝1为曲线C的方程．
又已知曲线C的方程为x2＋y2＝1，故
又a>0，b>0，所以
N3(2)①把极坐标系下的点P化为直角坐标，
得P(0，4)．
因为点P的直角坐标(0，4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．
②因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cosα，sinα)，
从而点Q到直线l的距离为
d＝＝
＝cos＋2.
由此得，当cos＝－1时，d取得最小值，且最小值为.
N4(3)①由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，解得00.
故ab＋1>a＋b.
课标理数14.N3[2011·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为
(0≤θ<π)和(t∈R)，它们的交点坐标为________．
课标理数14.N3[2011·广东卷] 【解析】 把参数方程化为标准方程得＋y2＝1(y≥0)，把化为标准方程得y2＝x(x>0)，联立方程得x＝1或x＝－5(舍去)，
把x＝1代入y2＝x得y＝或y＝－(舍去)，所以交点坐标为.
课标理数9.N3[2011·湖南卷] 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0，则C1与C2的交点个数为________．
课标理数9. N3[2011·湖南卷] 2 【解析】 曲线C1的参数方程化为普通方程：x2＋(y－1)2＝1，圆心为(0，1)，r＝1，曲线C2的方程为ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0化为普通方程：x－y＋1＝0，
则圆心在曲线C2上，直线与圆相交，故C1与C2的交点个数为2.
课标文数9.N3[2011·湖南卷] 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0，则C1与C2的交点个数为________．
课标文数9.N3[2011·湖南卷] 2 【解析】 曲线C1的参数方程为化为普通方程：＋＝1 ①，
曲线C2的方程为ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0化为普通方程：x－y＋1＝0 ②.
联立①，②得7x2＋8x－8＝0，此时Δ＝82－4×7×(－8)>0.故C1与C2的交点个数为2.
课标理数15.N3[2011·江西卷] (1)(坐标系与参数方程选做题)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．
课标理数15.N3[2011·江西卷] 【答案】 x2＋y2－4x－2y＝0
【解析】 (1)由 ⇒cosθ＝，sinθ＝，ρ2＝x2＋y2，代入ρ＝2sinθ＋4cosθ得，ρ＝＋⇒ρ2＝2y＋4x⇒x2＋y2－4x－2y＝0.
课标理数23.N3[2011·课标全国卷] 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)
M是C1上的动点，P点满足＝2，P点的轨迹为曲线C2.
(1)求C2的参数方程；
(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，
射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.
课标理数23.N3[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)设P(x，y)，则由条件知M，由于M点在C1上，所以
即
从而C2的参数方程为
(α为参数)
(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ.
射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin，
射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin.
所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝2.
课标理数23.N3[2011·辽宁卷] 选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，曲线C2的参数方程为(a＞b＞0，φ为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝时，这两个交点重合．
(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；
(2)设当α＝时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α＝－时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．
课标理数23.N3[2011·辽宁卷] 【解答】 (1)C1是圆，C2是椭圆．
当α＝0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1，0)，(a，0)．
因为这两点间的距离为2，所以a＝3.
当α＝时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0，1)，(0，b)．
因为这两点重合，所以b＝1.
(2)C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和＋y2＝1.
当α＝时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝，与C2交点B1的横坐标为x′＝.
当α＝－时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称．因此四边形A1A2B2B1为梯形，故四边形A1A2B2B1的面积为＝.
课标文数23.N3[2011·辽宁卷] 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，曲线C2的参数方程为(a＞b＞0，φ为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝时，这两个交点重合．
(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；
(2)设当α＝时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α＝－时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．
课标文数23.N3[2011·辽宁卷] 【解答】 (1)C1是圆，C2是椭圆．
当α＝0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1，0)，(a，0)，因为这两点间的距离为2，所以a＝3.
当α＝时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0，1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b＝1.
(2)C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和＋y2＝1.
当α＝时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝，与C2交点B1的横坐标为x′＝.
当α＝－时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形．
故四边形A1A2B2B1的面积为＝.
课标文数23.N3[2011·课标全国卷] 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)
M是C1上的动点，P点满足＝2，P点的轨迹为曲线C2.
(1)求C2的参数方程；
(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.
课标文数23.N3[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)设P(x，y)，则由条件知M，由于M点在C1上，所以
即
从而C2的参数方程为(α为参数)
(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ.
射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin，
射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin.
所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2.
课标理数15.[2011·陕西卷] (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)
N4A.(不等式选做题)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是____________．
图1－5
N1B.(几何证明选做题)如图1－5，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________．
N3C.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．
课标理数15.(1)N4[2011·陕西卷] a≥3或a≤－3
【解析】 令t＝|x＋1|＋|x－2|得t的最小值为3，即有|a|≥3，解得a≥3或a≤－3.
课标理数15.(2)N1[2011·陕西卷] 4 【解析】 在Rt△ADC中，CD＝8；在Rt△ADC与Rt△ABE中，∠B＝∠D，所以△ADC∽△ABE，故＝，BE＝×CD＝4.
课标理数15.(3)N3[2011·陕西卷] 3 【解析】 由C1：消参得(x－3)2＋(y－4)2＝1；由C2：ρ＝1得x2＋y2＝1，两圆圆心距为5，两圆半径都为1，故|AB|≥3，最小值为3.
课标文数15.[2011·陕西卷] N4A.(不等式选做题)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．
图1－7
N1B.(几何证明选做题)如图1－7，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝________．
N3C.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．
课标文数15A.N4[2011·陕西卷] (－∞，3] 【解析】 由绝对值的几何意义得|x＋1|＋|x－2|≥3，要使得|x＋1|＋|x－2|≥a恒成立，则a≤3，即a∈(－∞，3]．
课标文数15B.N1[2011·陕西卷] 2 【解析】 根据图形由∠ACD＝90°，∠B＝∠D，得A，B，C，D四点共圆，连接BD，则∠DBA＝90°，AB＝6，AD＝12，所以∠BDA＝30°＝∠BCA.因为AE⊥BC，AE＝AC＝2.
课标文数15C.N3[2011·陕西卷] 1 【解析】 由C1：消参得(x－3)2＋y2＝1，由C2：ρ＝1得x2＋y2＝1，两圆圆心距为3，两圆半径都为1，故|AB|≥1，最小值为1.
课标数学21.[2011·江苏卷]
【选做题】 本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
图1－7
N1 A．选修4－1：几何证明选讲
如图1－7，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1>r2)．圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)．求证：AB∶AC为定值．
N2 B．选修4－2：矩阵与变换
已知矩阵A＝，向量β＝.求向量α，使得A2α＝β.
N3 C．选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆(φ为参数)的右焦点，且与直线(t为参数)平行的直线的普通方程．
N4 D．选修4－5：不等式选讲
解不等式x＋|2x－1|<3.
课标数学21.[2011·江苏卷] N1 A．选修4－1：几何证明选讲 本题主要考查两圆内切、相似比等基础知识，考查推理论证能力．
【解答】 证明：连结AO1，并延长分别交两圆于点E和点D.连结BD，CE.
因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上，故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径．
从而∠ABD＝∠ACE＝，所以BD∥CE，
于是＝＝＝.
所以AB∶AC为定值．
N2 B．选修4－2：矩阵与变换 本题主要考查矩阵运算等基础知识，考查运算求 解能力．
【解答】 A2＝＝.
设α＝.由A2α＝β，得＝，从而
解得x＝－1，y＝2，所以α＝.
N3 C．选修4－4：坐标系与参数方程 本题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识，考查转化问题的能力．
【解答】 由题设知，椭圆的长半轴长a＝5，短半轴长b＝3，从而c＝＝4，所以右焦点为(4，0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x－2y＋2＝0.
故所求直线的斜率为，因此其方程为y＝(x－4)，即x－2y－4＝0.
N4 D．选修4－5：不等式选讲 本题主要考查解绝对值不等式的基础知识，考查分类讨论、运算求解能力．
【解答】 原不等式可化为
或
解得≤x<或－20)相切，则r＝________．
课标理数11.N3[2011·天津卷] 【解析】 由抛物线的参数方程 消去t，得y2＝8x，∴焦点坐标为(2，0)．
∴直线l的方程为y＝x－2.
又∵直线l与圆(x－4)2＋y2＝r2相切，
∴r＝＝.
课标理数21.[2011·福建卷]
N2(1)选修4－2：矩阵与变换
设矩阵M＝)(其中a>0，b>0)．
①若a＝2，b＝3，求矩阵M的逆矩阵M－1；
②若曲线C：x2＋y2＝1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：＋y2＝1，求a，b的值．
N3(2)坐标系选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)．
①已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；
②设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
N4(3)选修4－5：不等式选讲
设不等式|2x－1|<1的解集为M.
①求集合M；
②若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．
课标理数21.[2011·福建卷] 【解答】 N2(1)①设矩阵M的逆矩阵M－1＝)，则MM－1＝)．
又M＝)，所以))＝)．
所以2x1＝1，2y1＝0，3x2＝0，3y2＝1，即x1＝，y1＝0，x2＝0，y2＝.
故所求的逆矩阵M－1＝)．
②设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P′(x′，y′)．
则))＝)，即
又点P′(x′，y′)在曲线C′上，所以＋y′2＝1.
则＋b2y2＝1为曲线C的方程．
又已知曲线C的方程为x2＋y2＝1，故
又a>0，b>0，所以
N3(2)①把极坐标系下的点P化为直角坐标，
得P(0，4)．
因为点P的直角坐标(0，4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．
②因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cosα，sinα)，
从而点Q到直线l的距离为
d＝＝
＝cos＋2.
由此得，当cos＝－1时，d取得最小值，且最小值为.
N4(3)①由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，解得00.
故ab＋1>a＋b.
课标理数10.N4，E6[2011·湖南卷] 设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为________．
课标理数10.N4，E6[2011·湖南卷] 9 【解析】 方法一：＝1＋4x2y2＋＋4≥5＋2＝9，当且仅当4x2y2＝时，“＝”成立．
方法二：利用柯西不等式：≥＝9，当且仅当4x2y2＝时，等号成立．
课标理数15.N4[2011·江西卷] (2)(不等式选做题)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．
课标理数15.N4[2011·江西卷] 【答案】 5
【解析】 |x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，当x＝0，y＝3时，|x－2y＋1|取得最大值5.
课标文数15.N4[2011·江西卷] 对于x∈R，不等式－≥8的解集为________．
课标文数15.N4[2011·江西卷] [0，＋∞) 【解析】 由题意可得
或或解得x∈[0，＋∞)．
课标理数24.N4[2011·课标全国卷] 设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a＞0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．
课标理数24.N4[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2.
由此可得x≥3或x≤－1.
故不等式f(x)≥3x＋2的解集为
{x|x≥3或x≤－1}．
(2)由f(x)≤0得
|x－a|＋3x≤0.
此不等式可化为不等式组
或
即或
因为a＞0，所以不等式组的解集为.
由题设可得－＝－1，故a＝2.
课标理数24.N4[2011·辽宁卷] 选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.
(1)证明：－3≤f(x)≤3；
(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．
课标理数24.N4[2011·辽宁卷] 【解答】 (1)f(x)＝|x－2|－|x－5|＝
当2＜x＜5时，－3＜2x－7＜3.
所以－3≤f(x)≤3.
(2)由(1)可知，
当x≤2时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为空集；
当2＜x＜5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－≤x＜5}；
当x≥5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5≤x≤6}．
综上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－≤x≤6}．
课标文数24.N4[2011·辽宁卷] 已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.
(1)证明：－3≤f(x)≤3；
(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．
课标文数24.N4[2011·辽宁卷] 【解答】
(1)f(x)＝|x－2|－|x－5|＝
当2＜x＜5时，－3＜2x－7＜3.
所以－3≤f(x)≤3.
(2)由(1)可知，
当x≤2时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为空集；
当2＜x＜5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－≤x＜5}；
当x≥5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5≤x≤6}．
综上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－≤x≤6}．
课标文数24.N4[2011·课标全国卷] 设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．
课标文数24.N4[2011·课标全国卷] 【解答】 (1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2.
由此可得x≥3或x≤－1，
故不等式f(x)≥3x＋2的解集为
{x|x≥3或x≤－1}．
(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0.
此不等式可化为不等式组
或
即或
因为a>0，所以不等式组的解集为.
由题设可得－＝－1，故a＝2.
课标理数15.[2011·陕西卷] (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)
N4A.(不等式选做题)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是____________．
图1－5
N1B.(几何证明选做题)如图1－5，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________．
N3C.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．
课标理数15.(1)N4[2011·陕西卷] a≥3或a≤－3
【解析】 令t＝|x＋1|＋|x－2|得t的最小值为3，即有|a|≥3，解得a≥3或a≤－3.
课标理数15.(2)N1[2011·陕西卷] 4 【解析】 在Rt△ADC中，CD＝8；在Rt△ADC与
Rt△ABE中，∠B＝∠D，所以△ADC∽△ABE，故＝，BE＝×CD＝4.
课标理数15.(3)N3[2011·陕西卷] 3 【解析】 由C1：消参得(x－3)2＋(y－4)2＝1；由C2：ρ＝1得x2＋y2＝1，两圆圆心距为5，两圆半径都为1，故|AB|≥3，最小值为3.
课标文数15.[2011·陕西卷] N4A.(不等式选做题)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．
图1－7
N1B.(几何证明选做题)如图1－7，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝________．
N3C.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．
课标文数15A.N4[2011·陕西卷] (－∞，3] 【解析】 由绝对值的几何意义得|x＋1|＋|x－2|≥3，要使得|x＋1|＋|x－2|≥a恒成立，则a≤3，即a∈(－∞，3]．
课标文数15B.N1[2011·陕西卷] 2 【解析】 根据图形由∠ACD＝90°，∠B＝∠D，得A，B，C，D四点共圆，连接BD，则∠DBA＝90°，AB＝6，AD＝12，所以∠BDA＝30°＝∠BCA.因为AE⊥BC，AE＝AC＝2.
课标文数15C.N3[2011·陕西卷] 1 【解析】 由C1：消参得(x－3)2＋y2＝1，由C2：ρ＝1得x2＋y2＝1，两圆圆心距为3，两圆半径都为1，故|AB|≥1，最小值为1.
课标数学21.[2011·江苏卷]
【选做题】 本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
图1－7
N1 A．选修4－1：几何证明选讲
如图1－7，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1>r2)．圆O1的弦AB交圆
O2于点C(O1不在AB上)．求证：AB∶AC为定值．
N2 B．选修4－2：矩阵与变换
已知矩阵A＝，向量β＝.求向量α，使得A2α＝β.
N3 C．选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆(φ为参数)的右焦点，且与直线(t为参数)平行的直线的普通方程．
N4 D．选修4－5：不等式选讲
解不等式x＋|2x－1|<3.
课标数学21.[2011·江苏卷] N1 A．选修4－1：几何证明选讲 本题主要考查两圆内切、相似比等基础知识，考查推理论证能力．
【解答】 证明：连结AO1，并延长分别交两圆于点E和点D.连结BD，CE.
因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上，故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径．
从而∠ABD＝∠ACE＝，所以BD∥CE，
于是＝＝＝.
所以AB∶AC为定值．
N2 B．选修4－2：矩阵与变换 本题主要考查矩阵运算等基础知识，考查运算求 解能力．
【解答】 A2＝＝.
设α＝.由A2α＝β，得＝，从而
解得x＝－1，y＝2，所以α＝.
N3 C．选修4－4：坐标系与参数方程 本题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识，考查转化问题的能力．
【解答】 由题设知，椭圆的长半轴长a＝5，短半轴长b＝3，从而c＝＝4，所以右焦点为(4，0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x－2y＋2＝0.
故所求直线的斜率为，因此其方程为y＝(x－4)，即x－2y－4＝0.
N4 D．选修4－5：不等式选讲 本题主要考查解绝对值不等式的基础知识，考查分类讨论、运算求解能力．
【解答】 原不等式可化为
或
解得≤x<或－2
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