2019届二轮复习第2讲数形结合思想学案（全国通用）
第二讲 数形结合思想
要点一 利用数形结合思想研究函数的零点、
方程的根、图象的交点问题
[解析] (1)在同一坐标系下画出函数y＝e－2x与y＝|lnx|的大致图象，结合图象不难看出，这两条曲线的两个交点中，其中一个交点横坐标属于区间(0,1)，另一个交点横坐标属于区间(1，＋∞)，不妨设x1∈(0,1)，x2∈(1，＋∞)，则有e－2x1＝|lnx1|＝－lnx1∈，e－2x2＝|lnx2|＝lnx2∈，e－2x2－e－2x1＝lnx2＋lnx1＝ln(x1x2)∈，于是有e
0.当－20.若存在实数b，使得关于x的方程
f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是 ．
[解析] 作出f(x)的图象如图所示．当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，
∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m20.又m>0，解得m>3.
[答案] (3，＋∞)
2．设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是 ．
[解析] 如图所示，由题意可知M在直线y＝1上运动，设直线y＝1与圆x2＋y2＝1相切于点P(0,1)．当x0＝0即点M与点P
重合时，显然圆上存在点N(±1,0)符合要求；当x0≠0时，过M作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45°，只需∠OMP≥45°.特别地，当∠OMP＝45°时，有x0＝±1.结合图形可知，符合条件的x0的取值范围为[－1，1]．
[答案] [－1,1]
要点二 利用数形结合思想解决最值问题
[解析] (1)方程(x－2)2＋y2＝3的几何意义为坐标平面上的一个圆，圆心为M(2,0)，半径为r＝(如图)，而＝则表示圆M上的点A(x，y)与坐标原点O(0,0)的连线的斜率．
所以该问题可转化为动点A在以M(2,0)为圆心，以为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值．
由图可知当∠OAM在第一象限，且直线OA与圆M相切时，OA的斜率最大，
此时OM＝2，AM＝，OA⊥AM，则OA＝＝1，tan∠AOM＝＝，故的最大值为，故选D．
(2)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m，因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝|AB|＝m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．
因为|OC|＝＝5，
所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6，故选B．
[答案] (1)D (2)B
利用数形结合思想解决最值问题的3点思路
(1)对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解．
(2)对于求最大值、最小值问题，先分析所涉及知识，然后画出相应图象，数形结合求解．
(3)如果(不)等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解．
[对点训练]
3．(2018·广东广州测试)若x，y满足约束条件则 ＝x2＋2x＋y2的最小值为( )
A． B．
C．－ D．－
[解析] 画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示， ＝x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y2－1，其几何意义是平面区域内的点(x，y)到定点(－1,0)的距离的平方再减去1，观察图形可得，平面区域内的点到定点(－1,0)的距离的最小值为，故 ＝x2＋2x＋y2的最小值为 min＝－1＝－，选D．
[答案] D
4．(2018·武汉二模)已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为 ．
[解析] 因为(－2)2<8×4，所以点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部，
如图，设抛物线的准线为l，
过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ，由抛物线的定义可知△APF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，
当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|.
因为A(－2,4)，
所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0)，
代入x2＝8y，得y0＝，
故使△APF的周长最小的抛物线上的点P的坐标为
，故填.
[答案]
要点三 利用数形结合思想解决不等式、参数问题
[解析] (1)设y＝g(x)＝(x≠0)，
则g′(x)＝，
当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，
∴g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数，
且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0.
∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，
∴g(x)的图象的示意图如图所示．
当x>0时，由f(x)>0，得g(x)>0，由图知00，得g(x)<0，由图知x<－1，
∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A．
(2)对任意x∈R，都有f(x)≤|k－1|成立，
即f(x)max≤|k－1|.
因为f(x)的草图如图所示，
观察的图象可知，当x＝时，函数f(x)max＝，所以|k－1|≥，解得k≤或k≥.
[答案] (1)A (2)∪
利用数形结合思想解不等式或
求参数范围问题的技巧
求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答．
[对点训练]
5．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－1,2)
C．(－2,1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
[解析] 因为f(x)是奇函数，所以当x<0时，f(x)＝－x2＋2x.作出函数f(x)的大致图象(如图中实线所示)，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)>f(a)，得2－a2>a，解得－2时，作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示(含边界)．
y＝2x－ 过点B时，直线在y轴上的截距最小，此时 ＝2x－y取得最大值．
易求点B.
∴最大值为 ＝2×－＝2，解得m＝1.
[答案] C
5．函数f(x)＝lnx－x－a有两个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)
C．[－1，＋∞) D．(－1，＋∞)
[解析]
函数f(x)＝lnx－x－a的零点，即关于x的方程lnx－x－a＝0的实根，将方程lnx－x－a＝0化为方程lnx＝x＋a，令y1＝lnx，y2＝x＋a，由导数知识可知，直线y2＝x＋a与曲线y1＝lnx相切时有a＝－1，如图所示，若关于x的方程lnx－x－a＝0有两个不同的实根，则实数a的取值范围是(－∞，－1)．故选B．
[答案] B
6．(2018·九江十校联考)设A，B在圆x2＋y2＝1上运动，且|AB|＝，点P在直线l：3x＋4y－12＝0上运动，则|＋|的最小值为( )
A．3 B．4
C． D．
[解析] 设AB的中点为D，则＋＝2.
∴当且仅当O，D，P三点共线时，|＋|取得最小值，
此时OP⊥AB，且OP⊥l.
∵圆心到直线的距离为＝，|OD|＝ ＝，
∴|＋|的最小值为2＝.
[答案] D
二、填空题
7．函数f(x)＝3－x＋x2－4的零点个数是 ．
[解析] 令f(x)＝0，则x2－4＝－x，分别作出函数g(x)＝x2－4，h(x)＝－x的图象，由图可知，显然h(x)与g(x)的图象有2个交点，故函数f(x)的零点个数为2.
[答案] 2
8．设函数f(x)＝x|x－a|的图象与函数g(x)＝|x－1|的图象有三个不同的交点，则a的取值范围是 ．
[解析] 易知a＝0时不满足题意．当a<0时，f(x)与g(x)的图象如图(1)，不满足题意．
当a>0时，f(x)与g(x)的图象如图(2)．根据图(2)知要满足f(x)与
g(x)的图象有三个不同交点，需a>1.∴a的取值范围是(1，＋∞)．
[答案] (1，＋∞)
9．(2018·山西四校模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为 ．
[解析] 由题意可得
即又a4＝a1＋3d，故此题可转化为线性规划问题．画出可行域如图阴影部分所示．
作出直线a1＋3d＝0，经平移可知当直线a4＝a1＋3d过可行域内点A(1,1)时，纵截距最大，此时a4取最大值4.
[答案] 4
三、解答题
10．(2018·海口模拟)设关于θ的方程cosθ＋sinθ＋a＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实数α、β.
(1)求实数a的取值范围；
(2)求α＋β的值．
[解]
(1)原方程可化为sin＝－，
作出函数y＝sin(x∈(0,2π))的图象．
由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是即－2
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