【数学】2018届一轮复习人教A版双曲线教案
第六节 双曲线
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[考纲传真] 1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合的思想.4.了解双曲线的简单应用．
1．双曲线的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．
(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，
其中a，c为常数且a>0，c>0.
①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；
②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；
③当2a>|F1F2|时，M点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
3.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝.
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )
(3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.( )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．(教材改编)已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝( )
A．2 B.
C. D．1
D [依题意，e＝＝＝2，
∴＝2a，则a2＝1，a＝1.]
3．(2017·福州质检)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( )
A．11 B．9
C．5 D．3
B [由题意知a＝3，b＝4，∴c＝5.由双曲线的定义||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，∴|PF2|＝9.]
4．(2016·全国卷Ⅰ)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )
A．(－1,3) B．(－1，)
C．(0,3) D．(0，)
A [∵原方程表示双曲线，且两焦点间的距离为4.
∴则
因此－1
0，b>0)的一条渐近线为2x＋y
＝0，一个焦点为(，0)，则双曲线的方程为__________．
x2－＝1 [由于2x＋y＝0是－＝1的一条渐近线，
∴＝2，即b＝2a，①
又∵双曲线的一个焦点为(，0)，则c＝，
由a2＋b2＝c2，得a2＋b2＝5，②
联立①②得a2＝1，b2＝4.
∴所求双曲线的方程为x2－＝1.]
双曲线的定义及应用
(2017·哈尔滨质检)已知双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝|PF2|，则△F1PF2的面积为( )
A．48 B．24
C．12 D．6
B [由双曲线的定义可得
|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，
解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，
由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，因此S△PF1F2＝|PF1|×|PF2|＝24.]
[规律方法] 1.应用双曲线的定义需注意的问题：
在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义的转化应用．
2．在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||PF1|－|PF2||＝2a平方，建立|PF1|·|PF2|间的联系．
[变式训练1] 已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝( )
A. B.
C. D.
A [由e＝＝2得c＝2a，如图，由双曲线的定义得|F1A|－|F2A|＝2a.
又|F1A|＝2|F2A|，故|F1A|＝4a，
|F2A|＝2a，
∴cos∠AF2F1＝＝.]
双曲线的标准方程
(1)(2017·广州模拟)已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为( ) 【导学号：31222317】
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
(2)(2016·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为( )
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
(1)C (2)A [(1)由焦点F2(5,0)知c＝5.
又e＝＝，得a＝4，b2＝c2－a2＝9.
∴双曲线C的标准方程为－＝1.
(2)由焦距为2得c＝.因为双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，所以＝.
又c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1，
所以双曲线的方程为－y2＝1.]
[规律方法] 1.确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件．“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b
的值，常用待定系数法．若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．
2．对于共焦点、共渐近线的双曲线方程，可灵活设出恰当的形式求解．若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．
[变式训练2] (1)(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________________．
(2)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为__________．
(1)－y2＝1 (2)－＝1 [(1)∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点(4，)，
∴λ＝16－4×()2＝4，
∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
(2)由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5,0)，设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8.
由双曲线的定义知：a＝4，b＝3.
故曲线C2的标准方程为－＝1，即－＝1.]
双曲线的简单几何性质
(1)(2016·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( )
A. B.
C. D．2
(2)(2017·石家庄调研)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线为__________. 【导学号：31222318】
(1)A (2)x±y＝0 [(1)如图，因为MF1⊥x轴，所以|MF1|＝.
在Rt△MF1F2中，由sin∠MF2F1＝得
tan∠MF2F1＝.
所以＝，即＝，即＝，
整理得c2－ac－a2＝0，
两边同除以a2得e2－e－1＝0.
解得e＝(负值舍去)．
(2)由题设易知A1(－a,0)，A2(a,0)，B，C.
因为A1B⊥A2C，
所以·＝－1，整理得a＝b.
因此该双曲线的渐近线为y＝±x，即x±y＝0.]
[规律方法] 1.(1)求双曲线的渐近线，要注意双曲线焦点位置的影响；(2)求离心率的关键是确定含a，b，c的齐次方程，但一定注意e>1这一条件．
2．双曲线中c2＝a2＋b2，可得双曲线渐近线的斜率与离心率的关系＝.抓住双曲线中“六点”、“四线”、“两三角形”，研究a，b，c，e间相互关系及转化，简化解题过程．
[变式训练3] (2015·全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )
A. B．2
C. D.
D [不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，
∴M点的坐标为.
∵M点在双曲线上，∴－＝1，a＝b，
∴c＝a，e＝＝.故选D.]
[思想与方法]
1．求双曲线标准方程的主要方法：
(1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a2，b2，得双曲线方程．
(2)待定系数法：即“先定位，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论．
①若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．
②当已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)．
③与双曲线－＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
2．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程，只需将双曲线的标准方程中“1”改为“0”即可．
[易错与防范]
1．区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.
2．双曲线的离心率大于1，椭圆的离心率e∈(0,1)．求它们的离心率，不要忽视这一前提条件，否则会产生增解或扩大取值范围．
3．直线与双曲线有一个公共点时，不一定相切，也可能直线与渐近线平行．
课时分层训练(五十) 双曲线
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C.－x2＝1 D．y2－＝1
C [由于焦点在y轴上，且渐近线方程为y＝±2x.
∴＝2，则a＝2b.C中a＝2，b＝1满足．]
2．(2015·湖南高考)若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
D [由双曲线的渐近线过点(3，－4)知＝，∴＝.
又b2＝c2－a2，∴＝，
即e2－1＝，∴e2＝，∴e＝.]
3．已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为( )
A.－＝1(y>0)
B.－＝1(x>0)
C.－＝1(y>0)
D.－＝1(x>0)
B [由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为－＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5.
所以点P的轨迹方程为－＝1(x>0)．]
4．已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( )
A. B．3
C.m D．3m
A [由双曲线方程知a2＝3m，b2＝3，
∴c＝＝.
不妨设点F为右焦点，则F(，0)．
又双曲线的一条渐近线为x－y＝0，
∴d＝＝.]
5．(2017·成都调研)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝( )
A. B．2
C．6 D．4
D [由题意知，双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，将x＝c＝2代入得y＝±2，即A，B两点的坐标分别为(2,2)，(2，－2)，所以|AB|＝4.]
二、填空题
6．(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距是________．
2 [由双曲线的标准方程，知a2＝7，b2＝3，所以c2＝a2＋b2＝10，所以c＝，从而焦距2c＝2.]
7．已知双曲线－y2＝1(a>0)的一条渐近线为x＋y＝0，则a＝__________.
【导学号：31222319】
[双曲线－y2＝1的渐近线为y＝±，已知一条渐近线为x＋y＝0，即y＝－x，因为a>0，所以＝，所以a＝.]
8．(2016·山东高考)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．
2 [如图，由题意知|AB|＝，|BC|＝2c.
又2|AB|＝3|BC|，
∴2×＝3×2c，即2b2＝3ac，
∴2(c2－a2)＝3ac，两边同除以a2，并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(负值舍去)．]
三、解答题
9．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程.
【导学号：31222320】
[解] 椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.3分
设双曲线G的方程为－＝1(a>0，b>0)，
∴渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，8分
又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3.
∴＝3，得a＝3，b＝4，10分
∴双曲线G的方程为－＝1.12分
10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)，点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积. 【导学号：31222321】
[解] (1)∵e＝，则双曲线的实轴、虚轴相等．
∴设双曲线方程为x2－y2＝λ.2分
∵过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6.4分
(2)证明：∵＝(－3－2，－m)，
＝(2－3，－m)．
∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2.6分
∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴·＝0.8分
(3)△F1MF2的底|F1F2|＝4.
由(2)知m＝±.10分
∴△F1MF2的高h＝|m|＝，
∴S△F1MF2＝×4×＝6.12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2017·河南中原名校联考)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A，B两点，若△OAB的面积为，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
D [由题意可求得|AB|＝，所以S△OAB＝××c＝，整理得＝.因此e＝.]
2．(2017·天津河西区质检)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为__________．
x2－＝1 [由双曲线的渐近线y＝±x，即bx±ay＝0与圆(x－2)2＋y2＝3相切，
∴＝，则b2＝3a2.①
又双曲线的一个焦点为F(2,0)，
∴a2＋b2＝4，②
联立①②，解得a2＝1，b2＝3.
故所求双曲线的方程为x2－＝1.]
3．已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·>2(其中O为原点)，求k的取值范围. 【导学号：31222322】
[解] (1)设双曲线C2的方程为－＝1(a>0，b>0)，则a2＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.4分
故C2的方程为－y2＝1.5分
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得
∴k2≠且k2<1.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－.8分
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)
＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.
又·>2，得x1x2＋y1y2>2，
∴>2，即>0，
解得
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